三角函数：三角恒等变换专项训练
考点目录
两角和与差公式的应用
倍角公式的应用
降幂公式与半角公式的应用
辅助角公式的应用
给值求值、给角求值、给值求角
三角恒等变换的应用
1．（24-25 高一下·甘肃庆阳·期末）sin400 cos20
cos40 cos110
°
°-
°
° = （ ）
A．
3
2
-
B．
3
2
C．
1
2
-
D．
1
2
【答案】B
【详解】
sin400 cos20
cos40 cos110
sin 360
40
cos20
cos40 cos 90
20
°
°-
°
° =
°+
°
°-
°
°+
°
sin40 cos20
cos40
sin20
sin40 cos20
cos40 sin20
=
°
°-
° -
° =
°
°+
°
°
3
sin 40
20
sin60
2
=
°+
° =
° =
.
故选：B.
2．（24-25 高一下·辽宁大连·期末）已知
sin
3sin
a
b
a
b
+
=
-
，tan
tan
m
a
b
=
，则m = （ ）
A．1
3
B．
1
2
C．2
D．3
【答案】C
【详解】已知
sin
3sin
a
b
a
b
+
=
-
，根据两角和与差公式，
将等式展开得到：
sin cos +cos
sin
3 sin
cos
cos
sin
a
b
a
b
a
b
a
b
=
-
，
展开得：4cos
sin
2sin
cos
a
b
a
b
=
，
因为
sin
tan
cos
x
x
x
=
，由4cos
sin
2sin
cos
a
b
a
b
=
，
两边同时除以2cos
sin
a
b （cos
0
a ¹
且cos
0
b ¹
，若cos
0
a =
或cos
0
b =
，则正切函数无意义），
可得：4cos
sin
2sin
cos
2tan
tan
2cos
sin
2cos
sin
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
=
Þ
=
，
已知tan
tan
m
a
b
=
，又2tan
tan
b
a
=
，
所以
2
m =
.
故选：C.
3．（24-25 高一下·辽宁大连·期末）在
ABC
V
中，已知tanA，tanB是关于x 的方程
2
1
1
0
x
p x
+
+
+ =
的两个实根，
考点一
两角和与差公式的应用
则C = （ ）
A．π
6
B．π
4
C．2π
3
D．3π
4
【答案】D
【详解】因为tanA，tanB是关于x 的方程
2
1
0
x
px
p
+
+
+ =
的两个实根，
所以tan
tan
,tan
tan
1
A
B
p
A
B
p
+
= -
=
+ ，
所以
tan
tan
tan
tan π
tan
1
1
tan
tan
1
1
A
B
p
C
A
B
A
B
A
B
p
+
-
é
ù
=
-
+
= -
+
= -
= -
= -
ë
û
-
-
+
，
因为
0,π
C Î
，所以
3π
4
C =
.
故选：D
4．（24-25 高一下·河南洛阳·期末）已知
3
sin
5
a
b
+
=
，
1
tan
tan
2
a
b
=
，则
sin a
b
-
= （ ）
A．1
5
B．
1
5
-
C．2
5
D．
2
5
-
【答案】B
【详解】由
3
sin
5
a
b
+
=
，可得
3
sin
cos
cos
sin
5
a
b
a
b
+
=
，
由
1
tan
tan
2
a
b
=
，可得sin
1 sin
cos
2 cos
a
b
a
b
=
，所以2sin
cos
cos
sin
a
b
a
b
=
，
所以
1
2
sin
cos
,cos
sin
5
5
a
b
a
b
=
=
，
所以
sin
sin
cos
cos
sin
5
1
a
b
a
b
a
b
-
=
-
= -
.
故选：B.
5．（24-25 高三上·四川广安·阶段练习）已知tan
, tan
a
b 是方程
2
2
3
0
x
mx
+
-
=
的两个根，且
60
a
b
+
=
°，则m =
（ ）
A．2 3
-
B．2 3
C．4 3
-
D．4 3
【答案】A
【详解】由韦达定理可得，tan
tan
2m
a
b
+
= -
，tan
tan
3
a
b = - ，
又
tan
tan
2
tan 60
tan
3
1
tan
tan
4
m
a
b
a
b
a
b
+
-
° =
+
=
=
=
-
，故
2 3
m = -
.
故选：A
6．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）已知
1
sin
3
a
b
+
=
，
2
sin
3
a
b
-
=
，则（ ）
A．tan
3tan
0
a
b
-
=
B．tan
3tan
0
a
b
+
=
C．3tan
tan
0
a
b
-
=
D．3tan
tan
0
a
b
+
=
【答案】B
【详解】由
1
sin
sin
cos
cos
sin
3
a
b
a
b
a
b
+
=
+
=
，
2
sin
sin
cos
cos
sin
3
a
b
a
b
a
b
-
=
-
=
，
所以
1
sin
cos
2
a
b =
，
1
cos
sin
6
a
b = -
，则
sin
cos
tan
3
cos
sin
tan
a
b
a
a
b
b
=
= - ，故tan
3tan
0
a
b
+
= .
故选：B
7．（24-25 高一下·甘肃酒泉·期末·多选）下列选项中，与
25π
cos(
)
3
-
的值相等的是（ ）
A．2cos15 cos75
°
°
B．sin86 cos56
cos86 sin56
°
°-
°
°
C．
1
1
tan3
1
tan 42
+
°
+
°
D．cos 45 cos15
cos 45 cos 75
°
° +
°
°
【答案】ABC
【详解】因
25π
π
1
cos(
)
cos( 8π
)
3
3
2
-
=
-
-
=
.
对于A，
2
2cos15 cos75
2cos1
3
5
15
1
sin
sin 0
°
° =
°
° =
=
o
，故A 正确；
对于B，
2
s
)
in86 cos56
cos86 sin
1
sin
n
56
8
(
si 3
6
0
56
° =
°
°-
°
°-
° =
=
o
，故B 正确；
对于C，因
tan 42
tan3
tan 45
tan(42
3 )
1
1
tan 42
tan3
+
=
+
=
=
-
×
o
o
o
o
o
o
o
，则有tan 42
tan3
tan 42
tan3
1
+
+
×
=
o
o
o
o
，
故
1
1
1
1
tan3
1
tan 42
tan 42
tan3
tan 42
tan3
1
2
=
=
+
°
+
°
+
+
×
+
o
o
o
o
，故C 正确；
对于D，cos45 cos15
cos45 cos75
cos45 cos15
sin 45 sin15
°
°+
°
° =
°
°+
°
°
3
cos(45
15 )
cos30
2
=
°-
° =
=
o
，故D 错误.
故选：ABC.
8．（24-25 高一下·山西·期末·多选）已知
π
0
2
a
b
<
<
<
，且π
π
2
a
b
<
+
<
，若
2
cos
cos
5
a
b =
，
7
tan
tan
2
a
b
+
=
，
则（ ）
A．
7 2
sin(
)
10
a
b
+
=
B．
2
sin
sin
10
a
b =
C．
π
6
a
b
-
= -
D．
1
tan
2
a =
【答案】AD
【详解】A 选项，由
7
tan
tan
2
a
b
+
=
，得sin
sin
7
cos
cos
2
a
b
a
b
+
=
，
所以sin
cos
cos
sin
7
cos
cos
2
a
b
a
b
a
b
+
=
，则sin(
)
7
cos
cos
2
a
b
a
b
+
=
，
所以
7
7 2
sin(
)
cos
cos
2
10
a
b
a
b
+
=
=
，A 正确；
B 选项，由π
π
2
a
b
<
+
<
，得
2
2
cos(
)
1 sin (
)
10
a
b
a
b
+
= -
-
+
= -
，
即
2
cos
cos
sin
sin
10
a
b
a
b
-
= -
，又
2
cos
cos
5
a
b =
，
解得
3 2
sin
sin
10
a
b =
，B 错误；
C 选项，
2
cos(
)
cos
cos
sin
sin
2
a
b
a
b
a
b
-
=
+
=
，
又
π
0
2
a
b
<
<
<
，故
π
0
2
a
b
-
<
-
<
，所以
π
4
a
b
-
= -
，C 错误；
D 选项，由
π
4
a
b
-
= -
，得
tan
tan
tan(
)
1
1
tan
tan
a
b
a
b
a
b
-
-
=
= -
+
，
所以
sin
sin
3
5
tan
tan
1
tan
tan
1
1
cos
cos
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
-
= - -
= - -
= - -
= -
，
与
7
tan
tan
2
a
b
+
=
联立，得
1
tan
2
a =
，D 正确.
故选：AD.
9．（24-25 高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知
1
sin(
)
,tan
4tan
3
a
b
a
b
+
=
=
，则sin(
)
a
b
-
=
.
【答案】1
5 /0.2
【详解】由tan
4tan
a
b
=
，得sin
4sin
cos
cos
a
b
a
b
=
，即sin
cos
4cos
sin
a
b
a
b
=
，
由
1
sin(
)
3
a
b
+
=
，得
1
sin
cos
cos
sin
3
a
b
a
b
+
=
，联立解得
4
sin
cos
15
1
cos
sin
15
a
b
a
b
ì
=
ïïí
ï
=
ïî
，
所以
5
sin
co
s
1
s n
s
co
sin
i (
)
a
b
a
b
a
b
-
=
=
-
.
故答案为：1
5
10．（24-25 高一下·四川成都·期末）计算cos37.5 cos7.5
sin37.5 sin 7.5
°
°-
°
° =
．
【答案】
2
2
【详解】
2
cos37.5 cos7.5
sin37.5 sin 7.5
cos 37.5
7.5
cos45
2
°
°-
°
° =
°+
° =
° =
.
故答案为：
2
2 .
11．（2025·湖北·模拟预测）已知
0,π
a Î
，且
2
sin(
)sin
cos(
)cos
3
a
b
b
a
b
b
-
-
-
= -
，则tana =
．
【答案】
5
2
/ 1
5
2
【详解】因为
2
sin(
)sin
cos(
)cos
3
a
b
b
a
b
b
-
-
-
= -
，
所以
2
cos(
)cos
sin(
)sin
3
a
b
b
a
b
b
-
-
-
=
，
所以
2
cos(
)
3
a
b
b
-
+
=
，即
2
cos
3
a =
，
又因为
0,π
a Î
，所以
2
2
2
5
sin
1 cos
1
3
3
a
a
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
2
5
sin
5
3
tan
2
cos
3
a
a
a
=
=
=
.
故答案为：
5
2
.
12．（2025·重庆九龙坡·三模）设
π
0, 2
b
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，已知
2
tan
cos
cos
sin
5
a
b
a
b
a
=
+
=
,
，则 sin2b = .
【答案】24
25 /0.96
【详解】tan
cos
a
b
=
可得sin
cos cos
a
a
b
=
，
又
2
cos
sin
cos
cos
sin
sin
5
a
b
a
a
b
a
b
+
=
=
-
，
故
2
cos
sin
sin
sin
sin
5
a
b
a
a
a
b
+
=
=
-
，
由于sin
0
a ¹
，所以
3
sin
5
b =
，结合
π
0, 2
b
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
4
cos
5
b =
，
故
3
4
24
sin2
2sin cos
2
5
5
25
b
b
b
=
=
´
´
=
，
故答案为：24
25
13．（2025·山东青岛·三模）若
2
sin
cos
2
a
b
-
=
，
1
cos
sin
2
a
b
+
=
，则sin(
)
a
b
-
=
．
【答案】5
8 /0.625
【详解】由题意可得，
2
2
2
1
sin
cos
sin
cos
2sin
cos
2
a
b
a
b
a
b
-
=
+
-
=
，
2
2
2
1
cos
sin
cos
sin
2cos
sin
4
a
b
a
b
a
b
+
=
+
+
=
，
两式相加得，
4
2
2
s
2
i
o
n
c
3
c
os
s
sin
a
a
b
b
+
-
=
，即
8
s n
5
i
a
b =
-
.
故答案为：5
8
14．（24-25 高一下·甘肃庆阳·期末）已知
2
2
cos
, cos
10
2
a
b
a
b
+
=
-
= -
，则tan
tan
a
b =
.
【答案】3
2
【详解】已知
2
cos(
)
cos
cos
sin
sin
10
a
b
a
b
a
b
+
=
-
=
；
2
cos(
)
cos
cos
sin
sin
2
a
b
a
b
a
b
-
=
+
= -
.
联立方程组
2
cos
cos
sin
sin
10
2
cos
cos
sin
sin
2
a
b
a
b
a
b
a
b
ì
-
=
ïïí
ï
+
= -
ïî
，解得：
2
cos
cos
5
3 2
sin
sin
10
a
b
a
b
ì
= -
ïïí
ï
= -
ïî
.
由cos
cos
0
a
b ¹
，所以
3 2
sin
sin
3
10
tan
tan
cos
cos
2
2
5
a
b
a
b
a
b
-
=
=
=
-
.
故答案为：3
2
1．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知角a 按逆时针方向旋转π
3 ，其终边经过点
4,3 ，则
π
sin 2
6
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．7
25
B．18
25
C．
16
25
-
D．
7
25
-
【答案】D
【详解】角α 逆时针旋转π
3 后，终边经过点(4,3)，设旋转后的角度为
π
3
q
a
=
+
,
点(4,3)到原点的距离
2
2
4
3
5
r =
+
=
，
根据三角函数定义：
3
sin
5
q =
，
4
cos
5
q =
，
π
π
π
π
2
2
2
6
3
6
2
a
q
q
æ
ö
+
=
-
+
=
-
ç
÷
è
ø
，
π
sin 2
6
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
π
sin 2
cos2
2
q
q
æ
ö
-
= -
ç
÷
è
ø
，
因为
2
2
4
7
cos2
2cos
1
2
1
5
25
q
q
æ
ö
=
- =
- =
ç
÷
è
ø
，
所以
π
sin 2
6
a
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
7
25
= -
，
故选；D.
2．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）若
π
3
tan(
)
4
4
a +
=
，则cos2a = （ ）
A．
7
25
-
B．7
25
C．
24
25
-
D．24
25
【答案】D
【详解】依题意，
π
tan
tan
π
tan
1
3
4
tan(
)
π
4
1
tan
4
1
tan tan 4
a
a
a
a
a
+
+
+
=
=
=
-
-
，解得
1
tan
7
a = -
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
1
tan
24
cos2
cos
sin
sin
cos
tan
1
25
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
=
-
=
=
=
+
+
.
故选：D
3．（2025·湖南岳阳·三模）已知
π
,
0, 2
a b
æ
ö
Îç
÷
è
ø，
2
3
sin
2
2
cos
a
b
-
=
-
，则tan tan2
a
b = （ ）
A．2
B．1
C．3
2
D．
1
2
【答案】B
【详解】由
2
3
sin
2
2
cos
a
b
-
=
-
得：
2
sin =1 2cos
sin =cos2
a
b
a
b
-
-
Þ
，
考点二
倍角公式的应用
再两边平方得:
2
2
2
2
2
2
sin
=cos 2
1 cos
1 sin 2
cos
sin 2
a
b
a
b
a
b
Þ -
= -
Þ
=
,
又因为
π
,
0, 2
a b
æ
ö
Îç
÷
è
ø，所以cos
sin 2
a
b
=
，
则
sin sin2
cos2 sin2
tan tan2
1
cos
cos2
sin2
cos2
a
b
b
b
a
b
a
b
b
b
=
=
= ，
故选：B.
4．（24-25 高一下·山东德州·期末）已知(1,2) 是角a 终边上一点，则tan2a = （ ）
A．
4
3
-
B．
3
4
-
C．3
4
D．4
3
【答案】A
【详解】∵(1,2) 是角a 终边上一点，∴tan
2
a =
，
∴
2
2
2tan
2
2
4
tan 2
.
1
tan
1
2
3
a
a
a
´
=
=
= -
-
-
故选：A.
5．（24-25 高二下·云南昭通·期末）已知a 是第一象限角，1
2
sin
cos2
3
3
a
a
+
=
，则tana = （ ）
A．
2
4
B．
3
3
C．
3
D．2 2
【答案】B
【详解】
a
Q
是第一象限角，3cos2
sin
2
a
a
+
=
，
2
3 1
2sin
sin
2
a
a
\
-
+
=
，
2
6sin
sin
1
0
a
a
\
-
- =
，
解得
1
sin
3
a = -
（舍去）或
1
sin
2
a =
，
故
2
3
cos
1 sin
2
a
a
=
-
=
,
sin
3
tan
cos
3
a
a
a
\
=
=
.
故选：B.
6．（24-25 高一下·四川巴中·期末）化简计算1 tan 40
2cos50
2
°-
°的值为（ ）
A．
3
B．
3
2
-
C．
3
3
D．
3
-
【答案】B
【详解】1
sin 40
4cos40 sin 40
tan 40
2cos50
2
2cos40
2cos40
°
°
°
°-
° =
-
°
°
sin 40
2sin80
sin 40
2cos10
2cos40
2cos40
°-
°
°-
°
=
=
°
°
sin 40
2cos 40
30
2cos40
°-
°-
°
=
°
3
1
sin 40
2
cos40
sin 40
2
2
2cos40
æ
ö
°-
°+
°
ç
÷
è
ø
=
°
3 cos40
3
2cos40
2
-
°
=
= -
°
.
故选：B.
7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
π
3
sin 2
3sin 2
2
a
a
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
，则tana = （ ）
A．1
B．2
C．1
- 或2
D．1 或2
【答案】D
【详解】因为
π
3
sin 2
3sin 2
2
a
a
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
，所以3
cos2
3sin 2
a
a
+
=
，
所以
2
2
2
2
3 cos
sin
cos
sin
6sin
cos
a
a
a
a
a
a
+
+
-
=
，
即
2
2
2cos
sin
3sin
cos
a
a
a
a
+
=
，
所以
2
2
tan
3tan
a
a
+
=
，即
2
tan
3tan
2
0
a
a
-
+
=
，解得tana = 1 或2.
故选：D
8．（2025·山西·模拟预测）若
1
cos(
)cos
m
a
b
b
+
=
，
3cos
tan(
)
sin
b
a
b
b
+
=
，则cos2
=
a
（ ）
A．
2
32
1
m -
B．
2
16
1
m -
C．
2
4
1
m -
D．
2
2
1
m -
【答案】A
【详解】由
1
cos(
)cos
m
a
b
b
+
=
得
1
cos(
)
cos
m
a
b
b
+
=
，
由
sin(
)
sin(
)
3cos
tan(
)
cos
sin(
)
1
cos(
)
sin
cos
m
m
a
b
a
b
b
a
b
b
a
b
a
b
b
b
+
+
+
=
=
=
+
=
+
，
得
3
sin(
)sin
m
a
b
b
+
=
，
1
3
4
cos
cos
cos
cos
sin
sin
m
m
m
a
a
b
b
a
b
b
a
b
b
=
+
-
=
+
+
+
=
+
=
é
ù
ë
û
，
所以
2
2
2
4
32
cos2
2cos
1
2
1
1
m
m
a
a
æ
ö
=
- =
- =
-
ç
÷
è
ø
，
故选：A.
9．（24-25 高一下·辽宁沈阳·期中·多选）下列选项化简值为1 的有（ ）
A．
2
2
π
π
2 cos
sin
12
12
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．1
3
1
4 sin20
cos20
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
° ø
°
è
C．
2
3
sin70
4
2cos 10
-
-
°
°
D．tan 20
4sin 20
+
°
°
【答案】BC
【详解】对于A,
2
2
π
π
π
2 cos
sin
2cos
3
1
12
12
6
æ
ö
-
=
=
¹
ç
÷
è
ø
，A 错误，
对于B，
2sin 60
20
1
3
1
1
3cos20
sin20
1
1
1
4 sin20
cos20
4
sin20 cos20
4
sin 40
2
æ
ö
æ
ö
-
°
°
-
=
=
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
°
°
è
ø
°
ø
°
°
°
è
°
-
，B 正确，
对于C,
2
3
sin70
3
sin70
3
sin70
3
cos20
1
4
2cos 10
4
1 cos20
3
cos 0
3
cos 0
2
2
-
-
-
-
=
=
=
=
-
°
-
+
°
-
°
°
-
°
°
°
°
，C 正确，
对于D，
sin 20
sin 20
4sin 20 cos20
sin 20
2sin 40
tan 20
4sin 20
4sin 20
cos20
cos20
cos20
°
°+
°
°
°+
°
°+
° =
+
° =
=
°
°
°
sin 20
2sin 60
20
sin 20
2 sin 60 cos20
cos60 sin 20
cos20
cos20
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
+
-
+
-
=
=
sin 20
3 cos20
sin 20
3 cos20
3
1
cos20
cos20
°
°
°
°
°
°
+
-
=
=
=
¹ ，故D 错误，
故选：BC
10．（24-25 高一下·山东日照·阶段练习·多选）下列选项中，与tan55o 相等的是（ ）
A．1 sin20
cos20
+
o
o
B．tan125
-
o
C．
1
tan27.5o
D．1
tan10
1
tan10
-
+
o
o
【答案】AB
【分析】利用诱导公式、同角公式、二倍角的正余弦公式、差角的正切公式逐项化简判断.
【详解】对于A，
2
1 sin20
1 cos110
2sin 55
tan55
cos20
sin110
2sin55 cos55
+
-
=
=
=
o
o
o
o
o
o
o
o
，A 是；
对于B，
tan(18
)
t
5
0
55
tan55
an12
-
= -
-
=
o
o
o
o ，B 是；
对于C，
1
cos27.5
sin 62.5
tan 62.5
tan27.5
sin 27.5
cos62.5
=
=
=
o
o
o
o
o
o
，C 不是；
对于D，1
tan10
tan 45
tan10
tan35
1
tan10
1
tan 45 tan10
-
-
=
=
+
+
o
o
o
o
o
o
o
，D 不是.
故选：AB
11．（2025·上海·三模）已知
2
cos
3
a = -
，则
π
sin 2
2
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
.
【答案】1
9
【详解】
2
2
π
2
1
sin 2
cos2
2cos
1
2
1
2
3
9
a
a
a
æ
ö
æ
ö
-
= -
= -
+ = -
-
+ =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
故答案为：1
9 .
12．（2025·湖南长沙·二模）已知角a 终边上一点
2,1
P
，则
sin2
1 cos2
a
a =
+
；
【答案】1
2 /0.5
【详解】根据三角函数定义，可得
1
tan
2
a =
，则
2
sin2
2sin cos
1
tan
1
cos2
2cos
2
a
a
a
a
a
a
=
=
=
+
.
故答案为：1
2 .
13．（2025·河北唐山·三模）已知平面向量
4,sin
a
a
=
r
，
2,cos
b
a
=
r
，若
/ /
a
b
r
r
，则sin2
cos2
a
a
+
=
.
【答案】1
5 /0.2
【详解】由
4,sin
a
a
=
r
，
2,cos
b
a
=
r
，且
/ /
a
b
r
r
，得4cos
2sin
a
a
=
，所以tan
2
a =
，
所以
2
2
2
2
2
2
2sin cos
cos
sin
2tan
1
tan
1
sin2
cos2
sin
cos
tan
1
5
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
-
+ -
+
=
=
=
+
+
.
故答案为：1
5 .
14．（2025·重庆·三模）已知
5
1
cos
sin
sin
6
3
a
b
a
b
-
=
=
，
，则sin 2 sin 2
a
b =
.
【答案】2
3
【详解】因为
1
5
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
3
6
a
b
a
b
a
b
a
b
-
=
+
=
+
=
，
所以
1
cos
cos
2
a
b =
，
则sin 2 sin 2
2sin
cos
2cos
sin
4sin
sin
cos
cos
a
b
a
a
b
b
a
b
a
b
=
´
=
´
1
1
2
4
3
2
3
=
´
´
=
.
故答案为：2
3 .
15．（2025·广东阳江·三模）已知
)
π
2
i (
sin
s n
4
a
a
=
-
，则
2
cos2
cos
a
a
+
=
.
【答案】1
2 /0.5
【详解】由
)
π
2
i (
sin
s n
4
a
a
=
-
可得
2
2
2 sin
sin
cos
2
2
a
a
a
=
-
，
化简可得cos
sin
a
a
= -
，
又
2
2
sin
cos
1
a
a
+
= ，所以
2
1
cos
2
a =
，
所以
2
2
2
1
cos2
cos
2cos
1
cos
2
a
a
a
a
+
=
- +
=
.
故答案为：
1
2 ##0.5.
16．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知
π π
,
8 8
a
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø
，且
π
3
sin
2
4
5
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，则
2
4
sin
cos
a
a
+
=
．
【答案】199
200
【详解】由
π π
,
8 8
a
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，即
π
π
0
2
4
2
a
<
+
<
，则
2
π
π
4
cos
2
1 sin
2
4
4
5
a
a
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
由
2
π
π
π
24
2sin
2
cos
2
sin
4
cos4
2cos 2
1
4
4
2
25
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
=
+
=
=
- =
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
且
π
π
2
2
2
a
-
<
<
，解得
7 2
cos2
10
a =
，
2
sin 2
1 co
10
2
s 2
a
a
= ±
-
= ±
，
所以
2
4
2
4
2
2
sin
cos
1 cos
cos
1 cos
1 cos
a
a
a
a
a
a
+
= -
+
= -
-
2
2
2
1
1 sin
cos
1
sin 2
4
2
9
0
1 9
0
a
a
a
= -
= -
=
.
故答案为：199
200 .
1．（24-25 高三上·山东烟台·开学考试）若
sin20
sin
20
tan20
3
a -
=
-
o
o
o
，则
cos 2
140
a +
=
o
（ ）
A．1
8
B．
1
8
-
C．
7
8
-
D．7
8
【答案】C
【详解】根据题意，
sin20
sin20 cos20
sin20 cos20
sin
20
tan20
3
sin20
3cos20
1
3
2
sin20
cos20
2
2
a -
=
=
=
æ
ö
-
-
-
ç
÷
è
ø
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1 sin40
sin20 cos20
sin20 cos20
1
2
2sin40
2sin40
4
2sin
40
=
=
=
= -
-
-
-
o
o
o
o
o
o
o
o
，
cos 2
140
cos 2
20
180
cos 2
20
a
a
a
é
ù
é
ù
+
=
-
+
= -
-
ë
û
ë
û
o
o
o
o
2
1 2sin
20
a
é
ù
= -
-
-
ë
û
o
2
1
7
1 2
4
8
é
ù
æ
ö
= -
- ´ -
= -
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
.
故选：C.
2．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若
π π
,
2 2
a
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，且
2 2
sin
3
a = -
，则 cos 2
a 等于（ ）
A．1
3
B．
3
3
C．2
3
D．
6
3
【答案】D
【详解】因为
π π
,
2 2
a
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，且
2 2
sin
3
a = -
，
所以
2
1
cos
1 sin
3
a
a
=
-
=
，
又
π π
,
2
4 4
a
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，
所以
1
1
1
cos
6
3
cos 2
2
2
3
a
a
+
+
=
=
=
．
故选：D.
3．（24-25 高二下·河南周口·期末）已知
5
cos
6
a =
，且
π,2π
a Î
，则sin 2
a = （ ）
A．
33
6
B．
33
6
-
C．
3
6
D．
3
6
-
【答案】C
【详解】因为
π,2π
a Î
，所以
π ,π
2
2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以sin
0
2
a >
，
考点三
降幂公式与半角公式的应用
所以
1 cos
1
3
sin 2
2
12
6
a
a
-
=
=
=
.
故选：C
4．（24-25 高一下·湖北咸宁·期末）已知cos
7
9
a =
，
π,2π
a Î
，则cos 2
a =（ ）
A．2 2
3
B．
1
3
-
C．1
3
D．
2 2
3
-
【答案】D
【详解】
π,2π
a Î
，故
π ,π
2
2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，故cos
0
2
a <
，
所以
7
1
1
cos
9
cos 2
2
2
2 2
3
a
a
+
+
= -
= -
= -
.
故选：D
5．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知
1
1
cos cos
,cos
2
4
a
b
a
b
=
+
=
，则
2
2
sin
cos
a
b
-
= （ ）
A．3
8
B．3
16
C．
3
8
-
D．
3
16
-
【答案】D
【详解】因为
1
cos cos
2
a
b =
，
1
cos
cos
cos
sin
sin
4
a
b
a
b
a
b
+
=
-
=
，
即
1
sin
sin
4
a
b =
，可得
3
cos
cos
cos
sin
sin
4
a
b
a
b
a
b
-
=
+
=
所以
2
2
1
1
sin
cos
1 cos2
1
cos2
2
2
a
b
a
b
-
=
-
-
+
1 cos2
cos2
2
a
b
= -
+
1 cos
cos
2
a
b
a
b
a
b
a
b
é
ù
é
ù
= -
+
+
-
+
+
-
-
ë
û
ë
û
1 cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
é
ù
= -
+
-
-
+
-
+
+
-
+
+
-
ë
û
1
3
3
cos
cos
4
4
16
a
b
a
b
= -
+
-
= -
´
= -
.
故选：D.
6．（2025·湖北十堰·三模）已知2sin cos
cos2
a
a
b
=
，
2
2
π
cos
cos
4
a
b
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，则
tan a
b
-
= （ ）
A．1
B．2
C．2
D．
2
2
【答案】A
【详解】因为2sin cos
cos2
a
a
b
=
，所以
π
sin 2
cos2
sin 2
2
a
b
b
æ
ö
=
=
+
ç
÷
è
ø ，
因为
2
2
π
cos
cos
4
a
b
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，所以
π
1 cos 2
4
1 cos2
2
2
b
a
é
ù
æ
ö
+
+
ç
÷
ê
ú
+
è
ø
ë
û
=
，
故
π
cos2
cos 2
2
a
b
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，所以
π
2
2
2 π
2
k
k
a
b
=
+
+
ÎZ ，
即
π
π
4
k
k
a
b
-
=
+
ÎZ ，故
tan
1
a
b
-
= .
故选：A.
7．（24-25 高二下·陕西·阶段练习）如果
1
| cos
|
5
a =
，5 π
3π
2
a
<
<
，那么tan 2
a = （ ）
A．10
5
B．
6
2
C．
6
2
-
D．15
5
【答案】B
【详解】由条件可知，
1
cos
5
a
-
=
，则
1
cos
5
a = -
，
因为5 π
3π
2
a
<
<
，所以5
3
π
π
4
2
2
a
<
<
，则sin
0
2
a <
，cos
0
2
a <
，
则
2
2
1
cos
1
2sin
2cos
1
2
2
5
a
a
a = -
=
- = -
，则
15
sin 2
5
a = -
，
10
cos 2
5
a = -
，
所以
6
tan 2
2
a =
.
故选：B
8．（24-25 高三下·四川成都·阶段练习）若
1
sin
3
a =
，则
2
π
cos
2
4
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
a
.
【答案】1
3
【详解】由题意可得：
2
π
1
π
1
π
1
1
cos
1 cos2
1 cos
1 sin
2
4
2
2
4
2
2
2
3
a
a
a
a
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
=
+
+
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
.
故答案为：1
3 .
9．（24-25 高一下·四川绵阳·期中）已知
π
3
sin(
)
2
5
a
-
+
= -
，
π
(
,0)
2
Î -
a
，则
π
sin(
)
2
6
a +
=
.
【答案】2 5
15
10
-
【详解】由
π
3
sin(
)
2
5
a
-
+
= -
可得
3
cos
5
a =
，
因
π
(
,0)
2
Î -
a
，则
π
(
,0)
2
4
a Î -
，则
1
cos
2
cos
5
2
2
5
a
a
+
=
=
，
1 cos
5
sin 2
2
5
a
a
-
= -
= -
，
故
π
3
1
3
5
1
2 5
2 5
15
sin(
)
sin
cos
(
)
2
6
2
2
2
2
2
5
2
5
10
a
a
a
-
+
=
+
=
´ -
+
´
=
.
故答案为：2 5
15
10
-
.
10．（24-25 高三上·河北邯郸·阶段练习）已知
2
π
3
0,π ,cos π
2cos
2
4
2
x
x
x
æ
ö
Î
-
+
+
=
ç
÷
è
ø
，则tan
π
4
x
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
.
【答案】
7
7
/ 1
7
7
【详解】根据题意，
2
π
3
cos π
2cos
2
4
2
x
x
æ
ö
-
+
+
=
ç
÷
è
ø
，即
π
3
cos
1 cos
2
2
x
x
æ
ö
-
+ +
+
=
ç
÷
è
ø
，
即
1
cos
sin
2
x
x
-
-
=
，即
1
cos
sin
2
x
x
+
= -
，所以
2
1
(cos
sin )
4
x
x
+
=
，
所以
3
2sin cos
0
4
x
x = -
<
，
因为
0,π
xÎ
，所以cos
0 sin
0
x
x
，
，
π ,π
2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
又
2
3
7
(cos
sin )
1
4
4
x
x
-
= +
=
，所以
7
cos
sin
2
x
x
-
= -
，
则
1
π
tan
1
sin
cos
7
2
tan
4
1
tan
cos
sin
7
7
2
x
x
x
x
x
x
x
-
+
+
æ
ö
+
=
=
=
=
ç
÷
-
-
è
ø
-
.
故答案为：
7
7
11．（2025·浙江·三模）已知
π
,
0, 2
a b
æ
ö
Îç
÷
è
ø，且满足
2
sin
tan
2cos 2
a
a
b =
，则
1
tan
2
a
b
+
= -
，则sin2b =
．
【答案】4
5 /0.8
【详解】因为
π
,
0, 2
a b
æ
ö
Îç
÷
è
ø，
1
tan
2
a
b
+
= -
，所以
π ,π
2
a
b
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，π
b
-
Î
π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
由
2
sin
tan
2cos 2
a
a
b =
得
sin
sin
1 cos
cos
a
b
a
b
=
+
，
即
cos
cos
cos(
)
a
b
b
p
b
+
= -
=
-
，所以
π
a
b
b
+
=
-
，
所以
tan
tan
a
b
b
+
= -
1
2
= -
，得
1
tan
2
b =
，
所以
2
2
2
2sin
cos
2tan
4
sin 2
2sin
cos
sin
cos
1
tan
5
b
b
b
b
b
b
b
b
b
=
=
=
=
+
+
．
故答案为：4
5
12．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若
0,π
a Î
，且2cos2
cos
1
a
a
-
= ，则tan 2
a =
.
【答案】
7
【详解】由2cos2
cos
1
a
a
-
= ，得
2
4cos
cos
3
0
a
a
-
-
=
，解得cos
1
a = 或
3
cos
4
a = -
，
又
0,π
a Î
，所以
3
cos
4
a = -
，
所以
2
7
sin
1 cos
4
a
a
=
-
=
，
所以
2
sin
sin
cos
sin
2
2
2
tan
7
2
1 cos
cos
cos
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
=
=
+
，
故答案为：
7
1．（24-25 高二下·安徽宣城·期末）已知3sin
cos
2
a
a
+
=
，则tana = （ ）
A．
3
3
B．
3
C．
3
3
-
D．
3
-
【答案】B
【详解】因为3sin
cos
2
a
a
+
=
，所以
π
2sin(
)
2
6
a +
=
，
则
π
sin(
)
1
6
a +
= ，解得
π
2 π,
Z
3
k
k
a =
+
Î
，
由诱导公式得
π
π
tan
tan(
π)
tan
3
3
3
k
a =
+ 2
=
=
，故B 正确.
故选：B
2．（2025·广东广州·模拟预测）已知
π
4
sin
cos
3
6
5
a
a
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
，则
π
sin
3
a
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 的值为（ ）
A．4
5
B．3
5
C．
3
2
D．
3
5
【答案】A
【详解】由
π
4
sin
cos
3
6
5
a
a
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
，得
3
3
4
sin
cos
3
2
2
5
a
a
+
=
，
即1
3
4
sin
cos
2
2
5
a
a
+
=
，∴
π
4
sin
3
5
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
.
故选：A．
3．（24-25 高一下·江苏南京·期中）已知
4
cos
3sin
5
a
a
+
=
，则
π
cos(2
)
3
a +
的值是（
）
A．
21
25
-
B．
17
25
-
C．17
25
D．21
25
【答案】C
【详解】依题意，4
1
3
π
cos
3sin
2( cos
sin
)
2sin(
)
5
2
2
6
a
a
a
a
a
=
+
=
+
=
+
，解得
π
2
sin(
)
6
5
a +
=
，
所以
2
π
π
4
17
cos(2
)
1
2sin (
)
1
2
3
6
25
25
a
a
+
= -
+
= -
´
=
．
故选：C
4．（24-25 高一下·云南保山·期末）当x
q
=
时，函数
5sin
12cos
f x
x
x
=
-
取得最小值，则cosq =（ ）
A．5
13
B．
5
13
-
C．12
13
D．
12
13
-
【答案】C
【详解】
5
12
5sin
12cos
13 sin
cos
13sin
13
13
f x
x
x
x
x
x
j
é
ù
æ
ö
=
-
=
×
+
× -
=
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
考点四
辅助角公式的应用
其中，
5
cos
13
j =
，
12
sin
13
j = -
，
依题意得，
13sin
13
f q
q
j
=
+
= -
，
sin
1
q
j
\
+
= - ，
π
2 π
2
k
q
j
\
+
=
-
，k ÎZ ，
π
2 π
2
k
q
j
\
=
-
-
，k ÎZ ，
π
π
12
cos
cos 2 π
cos
sin
2
2
13
k
q
j
j
j
æ
ö
æ
ö
\
=
-
-
=
-
-
= -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故选：C．
5．（24-25 高二下·上海·期末）已知
π
3
sin
sin
3
4
a
a
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
，则
π
sin
6
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
．
【答案】1
4 /0.25
【详解】因为
π
π
π
3
3
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
3
3
3
2
2
a
a
a
a
a
a
a
æ
ö
+
+
=
+
+
=
+
ç
÷
è
ø
π
3
3sin
6
4
a
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，故
π
1
sin
6
4
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
.
故答案为：1
4 .
6．（24-25 高二下·云南昆明·期末）已知
2
3sin
cos
7
a
a
-
=
，则
π
cos 2
3
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
.
【答案】47
49
【详解】因为
2
3sin
cos
7
a
a
-
=
，所以
2
1
2sin
sin
6
7
6
7
p
p
a
a
æ
ö
æ
ö
-
=
Þ
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
令
6
t
p
a
=
-
，则
1
sin
7
t =
，
2
π
π
π
2
47
cos 2
cos(2(
)
)
cos2
1 2sin
1
3
6
3
49
49
t
t
t
a
æ
ö
-
=
+
-
=
= -
= -
=
ç
÷
è
ø
.
故答案为：47
49
7．（24-25 高一下·江苏扬州·阶段练习）已知sin
sin
1
3
p
q
q
æ
ö
+
-
=
ç
÷
è
ø
，则sin 2
6
q
p
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
．
【答案】1
3
【详解】因为
π
sin
sin
1
3
q
q
æ
ö
+
-
=
ç
÷
è
ø
，所以3
3
sin
cos
1
2
2
q
q
-
= ，
所以
π
3sin
1
6
q
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，即
π
1
sin
6
3
q
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
2
π
1
sin
6
3
q
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，即
π
1 cos 2
1
3
2
3
q
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø =
，解得
π
1
cos 2
3
3
q
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
π
π
π
π
1
sin 2
sin
2
cos 2
6
2
3
3
3
q
q
q
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
，
故答案为：1
3 .
8．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）已知
π
3 3
sin(
)
cos
6
4
a
a
+
+
=
，则
7π
sin 2
6
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
.
【答案】
1
8
-
/ 0.125
-
【详解】因为
π
3
3
π
3 3
sin(
)
cos
sin
cos
3sin(
)
6
2
2
3
4
a
a
a
a
a
+
+
=
+
=
+
=
，
即
π
3
sin(
)
3
4
a +
=
，
所以
7π
π
π
π
π
sin 2
sin 2
π
sin 2
sin 2(
)
6
6
6
3
2
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
é
ù
+
=
+
+
= -
+
= -
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
2
π
π
1
cos 2(
)
1 2sin (
)
3
3
8
a
a
é
ù
=
+
= -
+
= -
ê
ú
ë
û
.
故答案为：
1
8
-
.
1．（24-25 高一下·江苏镇江·期末）已知a ，b 为锐角，
3
tan
4
a =
，
2
cos
10
a
b
+
= -
，则2a
b
+
的值为（ ）
A．3π
4
B．π
C．5π
4
D．7π
4
【答案】A
【详解】因为a ，b 为锐角，
3
tan
4
a =
，
2
cos
10
a
b
+
= -
，
所以
3
4
7 2
sin
,cos
,sin
5
5
10
a
a
a
b
=
=
+
=
，
π
π
0,
,π
2
2
，
a
a
b
æ
ö
æ
ö
Î
+
Î
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，
所以
π 3π
2
,
2
2
a
b
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø，
则
sin 2
sin
sin
cos
cos
sin
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
+
=
+
+
=
+
+
+
é
ù
ë
û
7 2
4
2
3
2
10
5
10
5
2
=
´
-
´
=
，
所以
3π
2
4
a
b
+
=
，
故选：A．
2．（2025·甘肃白银·一模）已知
π
1
cos
6
3
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，则
π
sin 2
6
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．2
3
B．
2
3
-
C．7
9
D．
7
9
-
【答案】D
【详解】
2
π
π
π
π
π
π
sin 2
cos
2
cos
2
cos 2
2cos
1
6
2
6
3
3
6
a
a
a
a
a
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
=
-
=
-
=
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
.
2
1
7
2
1
3
9
æ
ö
=
´
- = -
ç
÷
è
ø
.
故选：D.
3．（2025·广东珠海·模拟预测）设
π
0, 2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
π
0, 2
b
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，且
1
tan
tan
cos
a
b
b
+
=
，则（ ）
A．
π
3
2
a
b
-
=
B．
π
2
2
a
b
-
=
C．
π
3
2
a
b
+
=
D．
π
2
2
a
b
+
=
【答案】D
【详解】由题设
sin
sin
sin
sin
cos
cos
sin
1
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
+
+
+
=
=
=
，
所以
sin
cos
a
b
a
+
=
，
因为
π
0, 2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
π
0, 2
b
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
0,π
a
b
+
Î
，又
π
sin
cos
sin 2
a
b
a
a
æ
ö
+
=
=
±
ç
÷
è
ø，
考点五
给值求值、给角求值、给值求角
所以
π
2
a
b
a
+
=
±
或
π
π
2
a
b
a
+
+
±
=
，即
π
2
2
a
b
+
=
或
π
2
b =
（舍），
故
π
2
2
a
b
+
=
．
故选：D
4．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知
π
0
2
b
<
<
，且
2 10
sin
cos
2sin2
cos2
2
5
a
a
a
b
+
=
+
=
，
，则tanβ=（ ）
A．3
B．2
C．1
3
D．
1
2
【答案】C
【详解】因为
2 10
sin
cos
5
a
a
+
=
，所以
2
2
2 10
sin
cos
5
a
a
æ
ö
+
= ç
÷
ç
÷
è
ø
，
得
3
sin 2
5
a =
，又
2
6
2sin 2
cos2
2cos
1
2
5
a
b
b
+
=
+
- =
，
解得
2
9
cos
10
b =
，由
π
0
2
b
<
<
，解得
3 10
cos
10
b =
，
所以
2
10
sin
1 cos
10
b
b
=
-
=
，
所以
sin
1
tan
cos
3
b
b
b
=
=
.
故选：C
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知
π
,
0, 2
a b
æ
ö
Îç
÷
è
ø，sin
cos
a
b
=
，tan
3tan
a
b
=
，则
sin a
b
-
= （ ）
A．
1
2
-
B．
1
2
C．
2
2
D．
3
2
【答案】B
【详解】由
π
,
0, 2
a b
æ
ö
Îç
÷
è
ø及sin
cos
a
b
=
，得
π
2
a
b
+
=
.
又由tan
3tan
a
b
=
，得sin
3sin
cos
cos
a
b
a
b
=
，得
2
2
sin
3cos
a
a
=
，
所以
2
1
cos
4
a =
，而
2
1
sin
cos2
1
2cos
2
a
b
a
a
-
= -
= -
=
，
故选：B.
6．（2025·安徽蚌埠·三模）已知
π
4
π
cos
,
0,
12
5
2
q
q
æ
ö
æ
ö
+
=
Î
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，则
25π
sin
6
q
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．
7 2
10
-
B．7 2
10
C．
2
10
-
D．
2
10
【答案】D
【详解】因为
π
0, 2
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø，所以
π
π
7π
,
12
12 12
q
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，
因为
π
4
cos
12
5
q
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，所以
2
2
π
π
4
3
sin
1 cos
1
12
12
5
5
q
q
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以
25π
π
π
sin
sin 4π
sin
6
6
6
q
q
q
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
π
π
π
π
π
cos
cos
cos
2
6
3
12
4
q
q
q
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
-
=
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
π
π
π
π
cos
cos
sin
sin
12
4
12
4
q
q
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
= 4
2
3
2
5
2
5
2
´
-
´
=
2
10
.
故选：D.
7．（24-25 高一下·江西吉安·期末）若
5π
tan
3
4
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，则
2
1 sin 2
cos2
sin
a
a
a
-
-
的值为（ ）
A．
1
2
B．
1
7
-
C．4
7
D．
4
17
-
【答案】A
【详解】由题意得
π
tan
tan
5π
π
1
tan
4
tan
tan
3
π
4
4
1
tan
1
tan
tan 4
a
a
a
a
a
a
+
+
æ
ö
æ
ö
+
=
+
=
=
=
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
-
×
，解得
1
tan
2
a =
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
1 sin 2
sin
cos
2sin
cos
tan
1 2tan
1
cos2
sin
cos
2sin
1 2tan
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
+
-
+ -
=
=
=
-
-
-
.
故选：A.
8．（24-25 高一下·江西上饶·期末）已知
π
1
sin
3
3
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，则
π
cos 2
3
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．2
9
B．
7
9
-
C．
4 5
9
-
D．4 5
9
【答案】B
【详解】因为
π
1
sin
3
3
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，所以
2
π
2π
2π
π
7
cos 2
cos 2
π
cos 2
2sin
1
3
3
3
3
9
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
=
-
+
= -
-
=
-
- = -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
.
故选：B
9．（24-25 高一下·河南驻马店·开学考试）已知
π
0, 2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，且
π
4
sin
6
5
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，则
π
cos 2
6
a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的值为（ ）
A．7
25
B．24
25
C．
7
25
-
D．
24
25
-
【答案】B
【详解】因为
π
0, 2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
π
π 2π
,
6
6
3
a
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø，
又
π
4
3
sin
6
5
2
a
æ
ö
+
=
<
ç
÷
è
ø
，所以
π
π π
,
6
6 3
a
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，故
π
cos
0
6
a
æ
ö
+
>
ç
÷
è
ø
，
所以
2
3
cos
1 s
π
in
6
6
5
π
a
a
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故
π
π
π
cos 2
sin
π
π
6
6
2
sin 2
2
s n
3
i 2
6
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
π
π
6
6
4
3
24
2sin
cos
2
5
5
25
a
a
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
故选：B
10．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：
cos72 cos
36
°
-
° =
.
【答案】1
4 /0.25
【详解】由题意可得：
2sin36 cos36 cos72
cos72 cos
36
cos72 cos36
2sin36
°
°
°
°
-
° =
°
° =
°
sin 180
36
2sin 72 cos72
sin144
sin36
1
4sin36
4sin36
4sin36
4sin36
4
°-
°
°
°
°
°
=
=
=
=
=
°
°
°
°
．
故答案为：1
4 ．
11．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知
π
4
cos
10
5
x
æ
ö
-
= -
ç
÷
è
ø
，则
3π
sin 2
10
x
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
.
【答案】7
25 /0.28
【详解】
π
4
cos
10
5
x
æ
ö
-
= -
ç
÷
è
ø
Q
，
2
2
π
π
4
7
cos 2
2cos
1
2
1
5
10
5
25
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
-
=
-
- =
´ -
- =
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
3π
π
π
π
7
sin 2
sin 2
cos 2
10
5
2
5
25
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
+
=
-
+
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
故答案为：7
25
12．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）若a 和b 都为锐角，
2
2
cos
,cos sin
2
5
a
b
a
b
+
=
=
，则
sin a
b
-
=
.
【答案】
2
10
【详解】因为a 和b 都为锐角，则
0,π
a
b
+
Î
，
且
2
cos
2
a
b
+
=
，可得
2
2
sin
1 cos
2
+
=
-
+
=
a
b
a
b
，
所以
2
sin
sin
cos
cos
sin
sin
2cos
sin
10
-
=
-
=
+
-
=
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
.
故答案为：
2
10
.
13．（24-25 高一下·四川成都·期中）已知
1
sin
cos
6
3
p
a
a
æ
ö
-
-
=
ç
÷
è
ø
，则
2
cos 2
3
p
a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø的值为
.
【答案】7
9
【详解】
3
1
1
3
π
1
sin
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
6
2
2
2
2
3
3
p
a
a
a
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
=
-
+
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
Q
，
2
2
2
1
7
cos 2
1 2sin
1 2
3
3
3
9
p
p
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
= -
-
= - ´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
故答案为：7
9 .
14．（24-25 高一下·湖北武汉·阶段练习）已知
π
0, 2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，若
3π
π
sin
2
cos
0
2
4
a
a
æ
ö
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，则a =
【答案】π
12
【详解】由
3π
π
2
sin
2
cos
cos2
(cos
sin
)
0
2
4
2
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
+
+
-
= -
+
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
2
2
2
cos2
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
-
=
+
-
=
+
，又
π
0, 2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
所以
2
π
1
cos
sin
cos(
)
2
4
2
a
a
a
-
=
Þ
+
=
，而
π
4
a +
π 3π
,
4
4
æ
ö
Îç
÷
è
ø，
所以
π
π
π
4
3
12
a
a
+
=
Þ
=
.
故答案为：π
12
15．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知
π
10
(0,π),cos
6
10
a
a
æ
ö
Î
+
=
ç
÷
è
ø
，则
π
cos 2
6
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
．
【答案】3
5 /0.6
【详解】因为
(0,π)
a Î
，所以
π
π 7π
,
6
6
6
a
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，又
π
10
cos
0
6
10
a
æ
ö
+
=
>
ç
÷
è
ø
，
所以
π
π π
,
6
6 2
a
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，所以
2
π
π
3 10
sin
1 cos
6
6
10
a
a
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
π
π
π
3
sin 2
2sin
cos
6
6
6
5
a
a
a
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
，
所以
π
π
π
π
3
cos 2
cos 2
sin 2
6
6
2
6
5
a
a
a
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
+
-
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
.
故答案为：3
5
16．（24-25 高三下·上海·阶段练习）已知a 为锐角,若
π
3
cos
3
5
a
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
，则tana = .
【答案】48
25 3
39
+
【详解】因为a 为锐角，所以π
π
5π
3
3
6
α
<
+
<
，又
π
3
cos
3
5
a
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
，
所以
2
4
sin
1 c
π
π
os
3
3
5
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
a
a
，
所以
π
π
π
π
π
π
sin
sin
sin
cos
cos
sin
3
3
3
3
3
3
a
a
a
a
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
4
1
3
3
4
3 3
5
2
5
2
10
+
æ
ö
=
´
- -
´
=
ç
÷
è
ø
，
π
π
π
π
π
π
cos
cos
cos
cos
sin
sin
3
3
3
3
3
3
a
a
a
a
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
3
1
4
3
3
4 3
5
2
5
2
10
- +
= -
´
+
´
=
，
所以
9
4
3 3
1
sin
48
25 3
t
o
0
3
4 3
1
an
c s
3
0
a
a
a
+
-
+
=
+
=
=
.
故答案为：48
25 3
39
+
1．（24-25 高一下·四川成都·期中）下列计算结果正确的是（ ）
A．
1
sin75 cos75
4
=
o
o
B．
2
2
3π
3π
2
cos
sin
8
8
2
-
=
C．cos15
sin15
3
cos15
sin15
+
=
-
o
o
o
o
D．
π
1
tan
2
π
12
tan12
+
=
【答案】AC
【详解】对于A，
1
sin75 cos75
4
1 sin150
2
=
° =
o
o
，故A 正确；
对于B，
2
2
3π
3π
3π
2
cos
sin
cos
8
8
4
2
-
=
= -
，故B 错误；
对于C，cos15
sin15
1
tan15
tan 45
tan15
cos15
sin15
1
tan15
1
tan 45 tan15
+
+
°
°+
°
=
=
-
-
°
-
°
°
o
o
o
o
tan 45
15
3
=
°+
° =
，故C 正确；
对于D，
2
2
π
π
π
π
sin
cos
sin
cos
π
1
12
12
12
12
tan
π
π
π
π
π
12
tan
cos
sin
sin
cos
12
12
12
12
12
+
+
=
+
=
1
4
1
π
sin
2
6
=
=
，故D 错误.
故选：AC.
2．（2025·浙江·三模）已知a 为锐角，若
3sin
tan 2
cos
sin
a
a
a
a
=
+
，则下列说法正确的有（ ）
A．a 的终边经过点
3,1
B．
10
sin π
10
a
+
=
C．
3 5
1
cos2
5
a
+
=
D．若
π
4
a
b
+
=
，则
1
tan
2
b =
【答案】ACD
【详解】对于A，
2
2tan
3sin
3tan
tan 2
1
tan
cos
sin
1
tan
=
=
=
-
+
+
a
a
a
a
a
a
a
a ，又a 为锐角，
则tan
0
a ¹
，则
2
1
2 1
tan
3 1
tan
2
3
3tan
tan
3
a
a
a
a
+
=
-
Þ
=
-
Þ
=
，
则a 的终边经过点
3 ,k k ，取
1
k = ，则a 的终边经过点
3,1 ，故A 正确；
对于B，因
2
2
2
2
sin
1
1
tan
sin
1 sin
9
10
=
=
Þ
=
-
a
a
a
a
，又a 为锐角，则sin
0
a >
，
则
1
sin
10
a =
，则
10
sin π
sin
10
a
a
+
= -
= -
，故B 错误；
考点六
三角恒等变换的应用
对于C，
2
1 cos2
1
2cos
1
2 cos
a
a
a
+
=
+
- =
，又cos
0
a >
，
则
2
3 10
cos
1
sin
10
a
a
=
-
=
，则
3 5
2 cos
5
a =
，故C 正确；
对于D，
π
1
tan
1
tan
tan 4
1
tan
2
a
b
a
a
-
æ
ö
=
-
=
=
ç
÷
+
è
ø
，故D 正确.
故选：ACD.
3．（23-24 高三上·江苏常州·期末）下列四个选项中，化简正确的是（ ）
A．cos15 cos105
sin15 sin105
0
°
°+
°
° =
B．
6
2
cos
15
4
-
-
° =
C．
1
cos
35
cos 25
sin
35
sin 25
2
a
a
a
a
-
°
°+
+
-
°
°+
=
D．
1
sin14 cos16
sin76 cos74
2
°
°+
°
° =
【答案】ACD
【详解】对于A 项，
cos15 cos105
sin15 sin105
cos 15
105
cos
90
0
°
° +
°
° =
° -
° =
-
° =
，故A 正确；
对于B 项，
cos
15
cos 30
45
cos30 cos45
sin30 sin45
-
° =
° -
° =
°
° +
°
°
6
2
6
2
4
4
4
+
=
+
=
，故B 错误；
对于C 项，
cos
35
cos 25
sin
35
sin 25
a
a
a
a
-
°
°+
+
-
°
°+
1
cos
35
25
cos
60
cos60
2
a
a
=
-
° -
° +
=
-
° =
° =
é
ù
ë
û
，故C 正确；
对于D 项，
sin14 cos16
sin76 cos74
sin14 cos16
sin 90
14
cos 90
16
°
°+
°
° =
°
°+
°-
°
°-
°
1
sin14 cos16
cos14 sin16
sin 14
16
sin30
2
=
°
°+
°
° =
°+
° =
° =
，故D 正确.
故选：ACD.
4．（24-25 高三下·安徽阜阳·阶段练习）已知sin
cos
a
a
a
+
=
，
sin
cos
0
b b
a
a
-
=
¹
，则（ ）
A．
2
2
2
a
b
+
=
B．cos2
ab
a =
C．
π
tan
4
a
b
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
D．
3
3
sin
4
2
a
b
ab
a
+
=
-
【答案】AD
【详解】
2
2
2
2
2
2
sin
cos
sin
cos
2 sin
cos
2
a
b
a
a
a
a
a
a
+
=
+
+
-
=
+
=
，选项A 说法正确；
2
2
sin
cos
sin
cos
sin
cos
cos2
ab
a
a
a
a
a
a
a
=
+
-
=
-
= -
，选项说法B 错误；
因为
π
sin
cos
2 sin
4
a
a
a
a
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø，
π
sin
cos
2 cos
4
b
a
a
a
æ
ö
=
-
= -
+
ç
÷
è
ø，
所以
π
2 sin
π
4
tan
π
4
2 cos
4
a
b
a
a
a
æ
ö
+
ç
÷
æ
ö
è
ø
=
= -
+
ç
÷
æ
ö
è
ø
-
+
ç
÷
è
ø
，选项C 说法错误；
因为
sin
cos
sin
cos
2sin
a
b
a
a
a
a
a
+
=
+
+
-
=
，
3
3
2
2
a
b
a
b
a
ab
b
+
=
+
-
+
，
所以
3
3
2sin
2
a
b
ab
a
+
=
-
，所以
3
3
sin
4
2
a
b
ab
a
+
=
-
，选项说法D 正确，
故选：AD
5．（24-25 高一下·四川南充·阶段练习）下列式子运算正确的有（ ）
A．
sin 40
tan10
3
1
°
°-
= -
B．
6
2
cos75
4
°
+
=
C．1
tan15
3
1
tan15
+
° =
-
°
D．tan22
tan23
tan22 tan23
1
°
°
°
°
+
+
=
【答案】ACD
【详解】
sin10
3cos10
sin40
tan10
3
sin40
cos10
°
°
°
°
°
°
æ
ö
-
-
=
ç
÷
è
ø
1
3
sin10
cos10
cos40
sin80
2
2
2sin40
2sin40
1
cos10
cos10
cos10
°
°
°
°
°
°
°
°
°
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
=
= -
= -
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
ç
÷
ç
÷
è
ø
A 正确；
6
2
30
cos
cos30
sin
sin30
4
cos75
cos 45
45
45
°
°
°
°
°
°
°
-
=
+
=
-
=
，B 错误，
1
tan15
tan45
tan15
tan 45
15
3
1
tan15
1
tan45 tan15
°
°
°
°
°
°
°
°
+
+
=
=
+
=
-
-
，C 正确，
因为
1
t
tan22
tan23
22
23
1
ta
an45
t
n22 tan23
an
°
°
°
°
°
°
°
+
=
+
=
=
-
，
所以tan22
tan23
tan22 tan23
1
°
°
°
°
+
+
= ，D 正确，
故选：ACD
6．（2025·甘肃白银·三模）已知a 为锐角，若
3
cos2
5
a =
，则（ ）
A．
4
sin 2
5
a =
B．
1
tan
3
a =
C．2sin
cos
4
cos
sin
a
a
a
a
+
=
-
D．
π
π
2 5
sin
cos
4
4
5
a
a
æ
ö
æ
ö
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】AC
【详解】因为
3
cos2
5
a =
，所以
2
4
sin 2
1
cos 2
5
a
a
=
-
=
，选项A 正确；
2
4
sin
2sin
cos
sin 2
1
5
tan
3
cos
2cos
1 cos2
2
1
5
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
=
=
=
+
+
，选项B 错误；
2sin
cos
2tan
1
1 1
4
1
cos
sin
1
tan
1
2
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
=
=
-
-
-
，选项C 正确；
由
1
tan
2
a =
，易得
1
2
sin
,cos
5
5
a
a
=
=
，
所以
π
π
π
π
2
2 10
sin
cos
2 sin
2 cos
2
4
4
4
4
5
5
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
=
+
+
=
=
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，选项D 错误．
故选：AC．
7．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知锐角
,
a b 满足
1 cos2
sin 2
1
1
2
,
2
2sin
sin 2
1 cos2
tan
tan
tan
tan
a
b
a
a
b
a
b
a
b
-
=
+
+
=
-
+
，则
（ ）
A．
2
π
a
b
+
=
B．
tan
2
a
b
+
= -
C．
3
sin
5
a =
D．tan
: tan
2:3
a
b =
【答案】ABD
【详解】对于A，由
1 cos2
sin 2
2sin
sin 2
1 cos2
a
b
a
a
b
-
=
-
+
，
得
2
2
2sin
2sin
cos
2sin
2sin
cos
2cos
a
b
b
a
a
a
b
=
-
，即
sin
sin
1 cos
cos
a
b
a
b
=
-
，
所以sin
cos
sin
cos
sin
a
b
b
a
b
=
-
，
所以
sin
sin
cos
cos
sin
sin
b
a
b
a
b
a
b
=
+
=
+
，
所以
2
π
b
a
b
a
b
+
+
=
+
=
或b
a
b
=
+
（舍去），故A 正确；
对于B，由
1
1
2
2
tan
tan
tan
tan
a
b
a
b
+
+
=
，
得tan
tan
2
2
tan
tan
tan
tan
a
b
a
b
a
b
+
+
=
，
即
tan
tan
2 1
tan
tan
a
b
a
b
+
= -
-
，
所以
tan
tan
tan
2
1
tan
tan
a
b
a
b
a
b
+
+
=
= -
-
，故B 正确；
对于C，由A 选项得
tan
tan π
tan
2
b
a
b
a
b
=
-
+
= -
+
=
é
ù
ë
û
，
所以
tan
tan
2
2
4
tan
tan
1
tan
tan
1 4
3
a
b
b
a
a
b
b
a
b
b
+
-
- -
=
+
-
=
=
=
é
ù
ë
û
+
+
-
，
即sin
4
cos
3
a
a =
，又
2
2
sin
cos
1
a
a
+
= ，
所以
4
sin
5
a =
（
4
sin
5
a = -
舍去），故C 错误；
对于D，由C 选项知，
4
tan
: tan
: 2
2:3
3
a
b =
=
，故D 正确.
故选：ABD.
8．（24-25 高三下·湖南邵阳·阶段练习）下列正确的是（ ）
A．已知
3
3π
cos
,π
5
2
q
q
= -
<
<
，则
2
9
sin
cos
2
2
5
q
q
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
B．已知
1
sin
cos
2
2
5
a
a
-
=
，则
24
sin
25
a =
C．已知
4
4
5
sin
cos
9
+
=
q
q
，则
2 2
sin 2
3
q =
D．已知
3
cos2
5
q =
，则
4
4
17
sin
cos
25
q
q
+
=
【答案】ABD
【详解】对于A：由
3
cos
5
q = -
，
3π
π
2
q
<
<
，
得
2
4
sin
1 cos
5
q
q
= -
-
= -
，
所以
2
2
2
4
9
sin
cos
sin
2sin
cos
cos
1
sin
1
2
2
2
2
2
2
5
5
q
q
q
q
q
q
q
æ
ö
-
=
-
+
= -
= +
=
ç
÷
è
ø
，正确，
对于B：由
1
sin
cos
2
2
5
a
a
-
=
，
所以
2
2
2
1
sin
cos
sin
2sin
cos
cos
1
sin
2
2
2
2
2
2
25
a
a
a
a
a
a
a
æ
ö
-
=
-
+
= -
=
ç
÷
è
ø
，解得
24
sin
25
a =
，正确，
对于C：由
4
4
5
sin
cos
9
+
=
q
q
，
得
2
2
2
4
4
2
2
2
5
1
(sin
cos
)
sin
cos
2sin
cos
sin 2
1
9
2
q
q
q
q
q
q
q
+
=
+
+
=
+
= ，解得
2
8
sin 2
9
q =
，
2 2
sin 2
3
q = ±
，错误；
对于D：由
3
cos2
5
q =
，得：
4
4
2
2
2
2
2
sin
cos
(sin
cos
)
2sin
cos
q
q
q
q
q
q
+
=
+
-
2
1
1
sin 2
2
q
= -
2
1
1
1
cos 2
2
q
= -
-
2
1
1
3
1
2
2
5
æ
ö
= -
+
´ç
÷
è
ø
17
25
=
．正确，
故选：ABD
9．（2025·湖南长沙·二模）已知
1
sin
cos
5
b
b
+
=
，
(0, )
b
p
Î
，则下列各式正确的有（ ）
A．
24
sin 2
25
b = -
B．
7
sin
cos
5
b
b
-
= ±
C．
7
cos2
25
b =
D．
4
tan
3
b = -
【答案】AD
【详解】A 项：由已知：
2
2
1
sin
cos
2sin
cos
25
b
b
b
b
+
+
=
，因此
24
sin 2
2sin
cos
25
b
b
b
=
= -
，故A 项正确；
B 项：因为sin
cos
0
b
b < ，且
(0, )
b
p
Î
，所以
,
2
p
b
p
æ
ö
Îç
÷
è
ø，因此sin
cos
0
b
b
-
>
．又因为
2
49
(sin
cos
)
1
2sin
cos
25
b
b
b
b
-
= -
=
，因此
7
sin
cos
5
b
b
-
=
，故B 项错误；
C 项：
2
2
7
cos2
cos
sin
(cos
sin
)(cos
sin
)
25
b
b
b
b
b
b
b
=
-
=
-
+
= -
，故C 项错误；
D 项：由方程组
1
sin
cos
5
7
sin
cos
5
b
b
b
b
ì
+
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，解得
4
sin
5
3
cos
5
b
b
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
于是
4
tan
3
b = -
，故D 项正确．
故选：AD.
10．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知
π
3π
4
2
π
π
sin2
cos
4
2
5
10
a
b
a
a
b
£
£
£
£
=
+
= -
，
，
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
3
cos2
5
a =
B．
5
sin
cos
5
a
a
-
=
C．
7 2
sin
10
a
b
+
=
D．
3π
4
b
a
-
=
【答案】BD
【详解】由π
π
π
2
2π
4
2
a
a
£
£
Þ
£
£
，
4
sin2
5
a =
，所以π
2
2
π
a
£
£
，即
3
cos2
5
a = -
，故A 错误；
由于π
2
2
π
a
£
£
，所以π
π
4
2
a
£
£
，则有
2
sin
cos
2
a
a
³
³
，
即
2
4
5
sin
cos
sin
cos
1 sin 2
1
5
5
a
a
a
a
a
-
=
-
=
-
=
-
=
，故B 正确；
因为π
π
4
2
a
£
£
，
3π
π
2
b
£
£
，所以5π
2π
4
a
b
£
+
£
，
又因为
2
cos
10
a
b
+
= -
，所以
2
2
7 2
sin
1 cos
1 100
10
a
b
a
b
+
= -
-
+
= -
-
= -
，故C 错误；
由
sin
sin
2
sin
cos2
cos
sin 2
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
-
=
+
-
=
+
-
+
7 2
3
2
4
25 2
2
10
5
10
5
50
2
æ
ö
= -
´ -
+
´
=
=
ç
÷
è
ø
，
因为π
π
4
2
a
£
£
，
3π
π
2
b
£
£
，所以π
5π
2
4
b
a
£
-
£
，
则
3π
4
b
a
-
=
，故D 正确；
故选：BD.
