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专题2.1 函数的概念与表示（解析版）
（本试卷满分60 分，建议用时：40 分钟）
一、单项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，解得
且
，故
的定义域为
．
故选D．
2．如图为函数
和
的图象，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图象可得当
，此时需满足
，则
符合要求，故
；当
，此时需满足
，则
符合要求，故
．
综上所述，
．
1
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故选D．
3．已知
是边长为的正三角形，点
在
边上运动，记
，则
的面积
可表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
是边长为的正三角形，记
，则
，过点
作
交
于点
，所以
，则
的面积
．
故选B．
4．设
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，由
，得
，解得：
或
，
；当
时，由
得
，解得
，
；
不等式
的解集是
．
故选A．
二、多项选择题（本题共1 小题，每小题5 分，共5 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分）
5．已知定义在
上的函数
不恒等于零，同时满足
，且当
时，
，
2
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那么当
时，下列结论不正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对任意
，恒有
，令
可得
，因为当
时，
，故
，所以
，令
，可得
，所以
，当
时，
，由已知条件得
，即
，所以
．
故选ABC．
三、填空题（本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分，把答案填在题中横线上）
6．写出一个满足：
的函数解析式为 ．
【答案】
【解析】
中，令
，解得
，令
，得
，故
，不妨设
，满足要求．
故答案为
．
7．设二次函数
（
，
）的值域是
，则
的最小值是
___________．
【答案】
【解析】当二次函数
的图象开口向上，且与
轴有且只有一个交点时，其值域为
3
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，
∴
，∴
，
，
．∴由基本不等式，
，当且仅
当
时等号成立，∴
的最小值是
．
故答案为
．
8．设函数
存在最小值，则
的取值范围是_______．
【答案】
【解析】①当
时，
，故函数
在
上单调递增，因此
不存在最小值．
②当
时，
，当
时，
，故函数
存在最小值．
③当
时，
，故函数
在
上单调递减．
当
时，
；当
时，
．
若
，则
不存在最小值，故
，解得
，此时
满足题设．
④当
时，
，故函数
在
上单调递减，
当
时，
；当
时，
．因为
，所以
，因此
不存在最小值．
综上，
的取值范围是
．
故答案为
．
四、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，共20 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9．根据下列条件，分别求函数
的解析式．
4
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（1）已知
；
（2）已知
满足
，求
的解析式；
（3）已知
，对任意的实数x，y 都有
，求
的解析式．
【解析】（1）方法一（换元法）：令
，则
，
．
所以
，
所以函数
的解析式为
．
方法二（配凑法）：
．
因为
，所以函数
的解析式为
．
（2）将
代入
，得
，
因此
解得
．
（3）令
，得
，
所以
，即
．
10．已知函数
,（
）.
（1）分别计算
，
的值；
（2）由（1）你发现了什么结论?并加以证明；
（3）利用（2）中的结论计算
的值．
5
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【解析】（1）由题意得
，
．
（2）由（1），得结论
，证明如下:
．
（3）由
，可得
，故
．
6
