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专题23 几何法求空间角与距离
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
立体几何近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023 年全国乙（文科），第16 题,5 分
已知三棱锥外接求半径，求线段长
2023 年全国乙（文科），第19 题,12 分
1、证明线面平行；
2、求三棱锥的体积；
2023 年全国乙（理科），第3 题,5 分
2023 年全国乙（文科），第3 题,5 分
通过三视图求几何体的表面积
2023 年全国乙（理科），第8 题,5 分
圆锥体积相关计算
2023 年全国乙（理科），第9 题,5 分
证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线
面角的正切值
2023 年全国乙（理科），第19 题,12 分
1、证明线面平行；
2、证明面面垂直；
3、求二面角
2023 年全国甲（文科），第10 题,5 分
证明线面垂直，求三棱锥的体积
2023 年全国甲（文科），第16 题,5 分
正方体的外接球、棱切球问题
2023 年全国甲（文科），第18 题,12 分
1、证明面面垂直；
2、求四棱锥的高
2023 年全国甲（理科），第11 题,5 分
四棱锥表面积有关计算
余弦定理解三
角形
2023 年全国甲（理科），第15 题,5 分
正方体的棱切球问题
2023 年全国甲（理科），第18 题,12 分
1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线
线相等；
2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节为高考必考知识点，选填题、解答题均有出现；
1
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2.考查点、线、面之间的距离；
3.考查异面直线所成角、线面角、面面角、二面角.
【备考策略】1.会用空间直角坐标系刻画点的位置,掌握空间中两点间的距离公式.
2.了解空间向量基本定理及其意义,理解空间向量的坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积运算.
4.能用向量方法判断或证明点、线、面之间的位置关系.
5.能用向量方法解决空间中的距离问题.
6.能用向量方法求解空间中的角度问题.
【命题预测】1.考查点、线、面之间的距离；
2.考查异面直线所成角、线面角、面面角、二面角.
知识讲解
一、距离
1、点与面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段叫作这个点到该平面的
,垂线段的长度
叫作这个点到该平面的
.
2、直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时,这条直线上
到这个平面的距离,叫作这条直线到这个平面的距离.
3、平面与平面的距离
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的
到另一个平面的距离都
,我们把它叫作这
两个平行平面间的距离.
1.点到平面的距离的常见解法
(1)定义法:找到(或作出)表示距离的线段,根据线段(所求距离)所在三角形求解.
(2)等积法:利用同一个三棱锥的体积相等求解.
(3)转化法:将点面之间的距离转化为线面之间(或面面之间)的距离求解.
2.线到平面的距离,平面与平面的距离问题都是转化为点到平面的距离求解.
二、异面直线所成的角
1.异面直线
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.异面直线所成的角
过空间任一点
分别作异面直线
与
的平行线
与
,那么直线
与
所成的
叫作异面
直线
与
所成的角.
3.范围:
.
2
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求异面直线所成角的步骤
一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.二证:证明所作的角是异面直线所成的角.三求:解三角
形,求出所作的角.
常用平移法来作异面直线所成的角:①利用图中已有的平行线平移;②利用特殊点(线段的端点或中点)作
平行线平移;③补形平移.由于异面直线所成的角
的取值范围是
,故若所作的角为钝角,则其补
角为异面直线所成的角.
三、直线和平面所成的角
1.平面的一条斜线和它在
所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.
2.当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为
.
3.范围:
.
线面角的几何法解题步骤:
1.找直线上一点
作平面
的垂线;
2.连接垂足与斜足,得线面角;
3.解直角三角形,得到线面角.
四、二面角的有关概念
1.二面角:从一条直线出发的
所组成的图形叫作二面角.
2.二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作
的两条射线,则这两
条射线所成的角叫作二面角的平面角.
3.范围:
.
找二面角常常采用垂线法:
第一步,找到两个面的交线;
第二步,从一个平面内找一点,向另一个平面作垂线;
第三步,从垂足再向交线作垂线,连线构造,得二面角的平面角或是补角;
第四步,解三角形,得二面角的大小.
五、平面与平面所成角
1.两个平面所成角.
2.范围:
.
考点一、几何法求两点间的距离
3
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1．（2023 年甘肃省模拟数学试题）在矩形ABCD 中，
，
，沿对角线AC 将矩形折成一个直
二面角
，则点B 与点D 之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 年江苏省模拟数学试题）已知矩形
，
，
，沿对角线
将
折起，若
二面角
的大小为
，则
，
两点之间的距离为
.
3．（2009 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ））已知二面角
为
，动点
P、Q 分别在面
、
内，P 到
的距离为
，Q 到
的距离为
，则P、Q 两点之间距离的最小值为
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
1．（2023-2024 学年湖北省新高考联盟联考数学试题）二面角
中，
，
，
，
且
，
，垂足分别为A、C，
，
，
，已知异面直线
与
所成
角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
或5
D．
或
2．（2023 年江苏省模拟考试数学试题）将边长为
的正三角形
沿
边上的高线
折成
的二面
角，则点
到
边的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在棱长为2 的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，
4
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Q 为动点，则PQ 的最小值为
.
考点二、几何法求点到平面的距离
1．在三棱锥
中，
底面
，则点
到平面
的距
离是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 年四川省模拟考试数学试题）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形；
为
的中
点．若
，
，
，当三棱锥
的体积取到最大值时，点
到平面
的距离为
．
5
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1．（2023 上海市模拟考试数学试题）在棱长为4 的正方体
中，点
到平面
的距离
为
.
2．（2023 年黑龙江省模拟考试数学试题）在直三棱柱
中，
，
，则
点A 到平面
的距离为
．
3．（2019 年全国统一高考数学试题（文科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱
形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C 到平面C1DE 的距离．
考点三、几何法求直线到平面的距离
1．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷））已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，
AB=2，CC1=
E 为CC1的中点，则直线AC1与平面BED 的距离为
A．2
B．
C．
D．1
2．如图，在长方体
中，
，
，
.
6
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(1)求直线
与平面
所成的角的大小；
(2)求直线
到平面
的距离.
3．如图，在梯形ABCD 中，
，
，
，
平面ABCD，且
，
点F 在AD 上，且
．
(1)求点A 到平面PCF 的距离；
(2)求AD 到平面PBC 的距离．
1．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC 的距离.
2．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，平面
平面
，
，
7
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，PD 的中点为F.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
到面
的距离.
3．（2023 年北京市模拟数学（A 卷）试题）如图，已知直三棱柱
，
，
，
，点
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
的距离.
考点四、几何法求平面与平面间的距离
1．直四棱柱
中，底面
为正方形，边长为
，侧棱
，
分别为
的中点，
分别是
的中点．
8
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(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
的距离．
2．如图在直三棱柱
中，
，
，
，E 是
上的一点，且
，
D、F、G 分别是
、
、
的中点，EF 与
相交于H．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
；
(3)求平面EGF 与平面
的距离．
3．如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分别为
，
，
的中点，点
在
棱
上，且
，
，
.
(1)求证：
平面
；
9
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(2)求证：平面
平面
；
(3)求平面
与平面
的距离.
1．如图，棱长为2 的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F 分别是棱AA1，CC1的中点，过E 作平面
，使得
//平面BDF.
(1)作出
截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；
(2)求平面
与平面
的距离.
2．如图在直三棱柱
中，
，
，
，E 是
上的一点，且
，
D、F、G 分别是
、
、
的中点，
与
相交于
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
的距离．
10
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3．如图所示的斜三棱柱
中，
是正方形，且点
在平面
上的射影恰是AB 的中
点H，M 是
的中点．
(1)判断HM 与面
的关系，并证明你的结论；
(2)若
，
，求斜三棱柱两底面间的距离．
考点五、几何法求异面直线所成角
1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体
中，P 为
的中点，则直线
与
所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））在正方体
中，
为棱
的中点，则异面直线
与
所成角的正切值为（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
3．（2008 年高考全国卷Ⅱ理科数学试题）已知正四棱锥
的侧棱长与底面边长都相等，
是
的
中点，则
所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．如图，在正方体
中，
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，则异面直
线
与
所成的角等于（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
2．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA
＝90°，M，N 分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成的角均为
，则（ ）
A．
B．AB 与平面
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
考点六、几何法求直线与平面所成角
1．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国大纲卷））已知正四棱柱
中，
，则CD 与平面
所成角的正弦值等于
A．
B．
C．
D．
12
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2．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））如图在正方体
中，点
为线段
的中点. 设点
在线段
上，直线
与平面
所成的角为
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
3．如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，且
，
，
，
若二面角
为
，则
与平面
所成角的正弦值为
．
1．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知正方体的棱长为1，每条棱所
在直线与平面
所成的角都相等，则
截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2007 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2
倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
3．（2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）文科数学）正方体ABCD-
中，B
与平
面AC
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七、几何法求二面角
1．已知三棱锥
的三个侧面与底面全等，且
，
，则以
为棱，以平面
与平面
为面的二面角的大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，F 分别为
和
的中点，D 为棱
上的点．
14
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（1）证明：
；
（2）当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小?
3．如图，二面角
等于
，A、
是棱l 上两点，BD、AC 分别在半平面
、
内，
，
，且
，则CD 的长等于
.
1．（2011 年湖南省普通高等学校招生统一考试理科数学）已知点
分别在正方体
的
棱
、
上，且
，
，侧面
与面
所成的二面角的正切值等于
.
2．（2002 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））若正四棱锥的底面边长为
，体积
为
，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 ．
15
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3．如图60°的二面角的棱上有
，
两点，直线
，
分别在二面角两个半平面内，且垂直于
，
，
，则
．
考点八、几何法求平面与平面所成角
1．如图，P 为长方体
的对角线
上的一点，平面
平面
，若
，则
平面PAB 与平面CAB 夹角的正切值为
．
2．（2023 年新高考天津数学高考真题）三棱台
中，若
面
，
分别是
中点.
16
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(1)求证：
//平面
；
(2)求平面
与平面
所成夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
3．如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，侧棱
底面
，
，
是
的中点，作
交PB 于点
.
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求证：
平面
；
(3)求平面
与平面
的夹角的大小.
17
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1．如图，棱锥
的底面
是矩形，
平面
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值的大小．
2．（2023 届浙江省名校新高考研究联盟联考数学试题）如图，在四棱锥
中，已知
，
，
，
，
，
，
为
中点，
为
中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
所成夹角的余弦值.
3．（2023 届广东省模拟考试数学试题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三
18
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角形，
(1)求证：
；
(2)求平面PAB 与平面ABCD 交角的正弦值.
【基础过关】
1．（2023 年云南省教育学业质量监测数学试题）如图，已知在矩形ABCD 中，
，
，M 为边
BC 的中点，将
，
分别沿着直线AM，MD 翻折，使得B，C 两点重合于点P，则点P 到平面
MAD 的距离为
．
2．（2023-2024 学年陕西省联考文科数学试题）在直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，
，
分别为
和
的中点，
.
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(1)证明：
；
(2)求
到平面
的距离.
3．（2023 年上海市模拟考试数学试题）若正四棱柱
的底面边长为，
与底面
成
角，则
到底面
的距离为
.
4．若正四棱柱
的底面边长为1，直线
与底面
所成角的大小是
，则
到底
面
的距离为
．
5．在长方体
中，已知
，
，
与平面ABCD 所成角的大小是
，那么平面
ABCD 到平面
的距离是
．
6．在长方体
中，E，F，G，H 分别为
，
，
，
的中点，
，则平面
ABCD 与平面EFGH 的距离为
.
7．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体
的棱长为
，则平
20
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面
与平面
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知圆锥的顶点为，母线
，
所成
角的余弦值为
，
与圆锥底面所成角为45°，若
的面积为
，则该圆锥的侧面积为
．
9．（2021 年山东省春季高考数学真题）如下图，在四棱锥
中，底面
是正方形，平面
平面
，
，
．
（1）求
与
所成角的余弦值；
（2）求证：
．
10．（2023 年福建省模拟考试数学试题）在矩形ABCD 中，
，沿AC 将
折起，当二面角
为直二面角时，异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为
.
21
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11．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））在长方体
中，
，
与平面
所成的角为
，则该长方体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023 年云南省质量检测数学试题）已知圆锥的顶点为
，底面圆心为
，
，底面半径为2，
，
是底面圆周上两点，且
，则二面角
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023 年山东省模拟考试数学试题）长方体
中，
，则二面角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【能力提升】
1．（2023 年重庆市模拟考试数学试题）在四面体
中，
平面
于点
，点
到平面
的
距离为
，点
为
的重心，二面角
的大小为
，则
．
2．（2023 年江苏省模拟考试数学试题）如图，将边长
的正方形
沿对角线BD 折起，连接AC，
构成一四面体，使得
，则点
到平面
的距离为
．
3．如图，正四棱柱
的底面边长为2，
，E 为
的中点，则
到平面EAC
的距离为
．
22
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4．（2023 年辽宁省模拟考试数学试题）如图，已知四棱锥
外接球O 的体积为
，
，侧
棱
与底面
垂直，四边形
为矩形，点M 在球O 的表面上运动.当四棱锥
体积的最
大时，点A 到面
的距离为
.
5．（2023 届江西省考前最后一卷（全国乙卷）数学（理）试题）如图，正三角形ABC 中，D，E 分别为
边AB，AC 的中点，其中
，把
沿着DE 翻折至
的位置，得到四棱锥
，则当
四棱锥
的体积最大时，四棱锥
外接球的球心到平面
的距离为 .
6．（2023 届山东省高考适应性训练数学试题）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中
国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2 是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为
2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（ ）
23
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A．
B．
C．
D．
7．（2023 届湖南省三模数学试题）已知平行六面体
的各棱长都为
，
，
、
、
分别是棱
、
、
的中点，则（ ）
A．
平面
B．平面
平面
C．平面
与平面
间的距离为
D．直线
与平面
所成角的正弦值为
8．（2023 届浙江省原创预测卷一（全国1 卷））如图，在三棱锥
中，
，二面角
的平面角
，
，
，则直
线
与直线
的所成最大角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知二面角
为
，
，
，
为垂足，
，
，
，则异面直
线
与
所成角的余弦值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
10．已知正方体
，则正确的有（ ）
①．直线
与
所成的角为
②．直线
与
所成的角为
③．直线
与平面
所成的角为
④．直线
与平面ABCD 所成的角为
11．（2019 年天津市高考数学（文科）试题） 如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为等边三角形，平面
平面
，
，
，
，
（Ⅰ）设
分别为
的中点，求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
12．（2023 年四川省阶段性测文科数学试题）在
中，
，
.若空间点
满足
，则直线
与平面
所成角的正切的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
13．（2023 年河北省模拟考试数学试题）在三棱锥
中，底面
是边长为3 的等边三角形，
，
，若此三棱锥外接球的表面积为
，则二面角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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14．（2023 届广东省教学质量检测数学试题）如图，三棱柱
中，侧面
为矩形，
且
为
的中点，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【真题感知】
1．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知
为等腰直角三角形，AB 为斜边，
为等边三
角形，若二面角
为
，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱
中，
平面
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设，求四棱锥的高．
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