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专题3-2 三角函数求w 类型及三角换元应用归类
目录
题型01 平移型求w..............................................................................................................................................................1
题型02 单调区间及单调性求w........................................................................................................................................2
题型03 对称中心（零点）求w..........................................................................................................................................3
题型04 对称轴型求w........................................................................................................................................................... 4
题型05 对称轴及单调性型求w..........................................................................................................................................5
题型06“临轴”型求w.......................................................................................................................................................... 6
题型07“临心”型求w.......................................................................................................................................................... 7
题型08 区间内有“心”型求w..........................................................................................................................................8
题型09 区间内无“心”型求w..........................................................................................................................................9
题型10 区间内最值点型求w............................................................................................................................................10
题型11 多可能性分析型求w............................................................................................................................................. 10
题型12 三角应用：三角双换元.........................................................................................................................................11
题型13 三角应用：无理根号型.........................................................................................................................................12
题型14 三角应用：圆代换型.............................................................................................................................................12
题型15 三角应用：向量型换元.........................................................................................................................................13
高考练场.............................................................................................................................................................................. 14
题型01 平移型求W
【解题攻略】
平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，
或者利用单调区间，再结合图形解出
值或者范围。
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，将
的图像向右平移
个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则
的最小值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数
的图像向右平移
个单位
长度后与原函数图像重合，则实数
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
【变式1-1】（2021 春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试）将函数
的图像向左平
移2 个单位长度后，与函数
的图象重合，则
的最小值等于（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）将函数
（
）的图象向右平移
个单位长度后与函数
的图象重合，则
的最小值为（ ）
1
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A．1
B．2
C．4
D．5
【变式1-3】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将
的图象向左
平移
个单位长度后与函数
的图象重合，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 单调区间及单调性求W
【解题攻略】
正弦函数
在每一个闭区间
（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间
（k∈Z）上都单调递减
余弦函数
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
【典例1-1】（上海市川沙中学2021-2022 学年高三下学期数学试题）设
，若函数
在
上单调递增，则
的取值范围是________
【典例1-2】（广西玉林市育才中学2022 届高三12 月月考数学试题）已知函数
的图象关于直线
对称，且
，
在区间
上单调，则
的值为_____________.
【变式1-1】函数
,若
在区间
上是单调函数,且
则
的值为（ ）
A．
B．
或
C．
D．或
【变式1-2】若函数
在
上是增函数，则
的取值范
围是____________.
2
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【变式1-3】（2022-2021 学年度下学期高三数学备考总动员C 卷）若函数
在区
间
上单调递减，则实数
的取值范围是________.
题型03 对称中心（零点）求W
【解题攻略】
正弦函数对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
余弦函数对称中心
(＋kπ，0)(k∈Z)
正切函数对称中心
(，0)(k∈Z)
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设函数
的图象的一个对称中心为
，则
的一个最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2022 秋·重庆·高三统考期中）若存在实数
， 使得函数
的
图象的一个对称中心为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023 春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知
，周期
是
的对称中心，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2022 秋·高三课时练习）已知函数
的部分图象如图，
的对称中心是
，则
（ ）
3
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A．
B．
C．3
D．
【变式1-3】（2023 秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）设函数
的图象的一个对
称中心为
，则
的一个最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 对称轴型求W
【解题攻略】
正弦函数对称轴
（k∈Z）时，ymax＝1；
（k∈Z）时，ymin＝－1
余弦函数对称轴
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1
【典例1-1】（2022 秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图，
的对称轴方程为
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．1
4
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【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）若
是函数
图象的对称轴，则
的
最小正周期的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2021 秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数
的图像关
于
对称，则函数
的图像的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2 】（“ 超级全能生” 高考全国卷26 省9 月联考乙卷数学试题）已知向量
，函数
，且
，若
的任何一条对称轴与
轴交点的横
坐标都不属于区间
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知向量
，函数
，且
，若
的任何一
条对称轴与
轴交点的横坐标都不属于区间
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
题型05 对称轴及单调性型求W
【典例1-1】（2021 届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题）已知函数
，对任
意的
，都有
，且
在区间
上单调，则
的值为___________.
【典例1-2 】（2020 届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷? 数学（二）试题）已知函数
的一条对称轴为
，且
在
上单调，则
的最大
值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
5
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【变式1-1 】（四川省成都市新都区2020-2021 学年高三诊断测试数学试题）已知函数
满足
，
，且
在区间
上单调，则
的最大值为
________．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数
在
上是单调函数，其图
象的一条对称轴方程为
，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线
是曲线
的一条对称轴，
且函数
在区间[0，
]上不单调，则
的最小值为（ ）
A．9
B．7
C．11
D．3
题型06“临轴”型求W
【解题攻略】
若
的图像关于直线
对称,则
或
.
【典例1-1】（2023 秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数
的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间
的最短距离为
，直线
是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2023 秋·高三课时练习）已知函数
，
是函数
的
一个零点，
是函数
的一条对称轴，若
在区间
上单调，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023 秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知
，
是函数
图象上两条相邻的对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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【变式1-2】（2023 春·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数
，
且
图象的相邻两对称轴间的距离为
.若将函数
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，且当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023 春·四川成都·高三校联考阶段练习）已知直线
是函数
图象的任意两条对称轴，且
的最小值为
，则
的单调递增区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07“临心”型求W
【解题攻略】
函数
的性质：
(1)
.
(2)周期
(3)由
求对称轴，由
求对称中心.
(4)由
求增区间；由
求减区间.
【典例1-1】（2023 春·广东珠海·高三校考）已知函数
的图象的一个对称中心
的横坐标在区间
内，且两个相邻对称中心之间的距离大于
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2023 上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）函数
，
的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为
，且
的图象关于直线
对称，则下列判断正确的是（ ）
7
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A．函数
在
上单调递减
B．将
图象向右平移
个单位与原图象重合
C．函数
图象关于点
对称
D．函数
的图象关于直线
对称
【变式1-1】（2023 下·河南焦作·高三统考）已知函数
的图象的一个对称中心
的横坐标在区间
内，且两个相邻对称中心之间的距离大于
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023·云南红河·统考二模）已知函数
（
）的图象的两个相邻对称
中心之间的距离为
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【变式1-3】（2021 上·四川雅安·高三统考期末）已知函数
，点
和
是其相邻的两个对称中心，且在区间
内单调递减，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 区间内有“心”型求W
【解题攻略】
求w 的表达式时，
中不要把
写成k,因为后面还有一个k,
中不
要把
写成k，否则不好研究w 的最小值.它们本身就不一定相等.
【典例1-1】（天津市部分区2020 届高考二模数学试题）若函数
(
)在区间
上单调递减，且在区间
上存在零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2021 春•商洛）已知函数
在
，
上恰有6 个零点，
则
的取值范围是
8
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A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2022•湖北模拟）已知函数
在区间
，
上恰有三个零点，则
的取值范围是
．
【变式1-2】（云南省2020 届高三适应性考试数学试题）若函数
（
，
）图象过点
，
在
上有且只有两个零点，则
的最值情况为（ ）
A．最小值为
，最大值为
B．无最小值，最大值为
C．无最小值，最大值为
D．最小值为
，最大值为
【变式1-3】（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题变式题16-20 题）设函数
，
若对于任意实数
，
在区间
上至少有2 个零点，至多有3 个零点，则
的取值范围是
________．
题型09 区间内无“心”型求W
【解题攻略】
无“心”型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终
的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.
【典例1-1】已知函数
，若函数
在区间
内没有零点，
则
的取值范围为_________.
【典例1-2】（天津市南开中学2022 届高三下学期统练二数学试题）已知函数
，
，若
在区间
内没有零点，则
的取值范围是
______.
【变式1-1】函数
，且
，
，若
的图像在
内与
轴无交
点，则
的取值范围是__________.
【变式1-2】（2023 春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）将函数
的图象先向右平
移
个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，
若函数
在
上没有零点，则
的取值范围是（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）将函数
的图象先向右平移
个单位长度，再把所
得函数图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若函数
在
上没有零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 区间内最值点型求W
【解题攻略】
极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。
【典例1-1】.已知函数
（
，
），
，
，
在
内有相邻两个最值点，且最小值点距离
轴近，则
的最小正整数值为（ ）
A．5
B．7
C．9
D．10
【典例1-2】已知函数
的图象关于点
及直线
对称，且
在
不存在最值，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2022 年全国高考乙卷数学（理）试题变式题13-16 题）已知函数
，
若
且
在区间
上有最小值无最大值，则
_______．
【变式1-2】（2022 届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学试题）已知函数
，
，若
，对任意
恒有
，在区间
上有且只有
一个
使
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（【全国百强校】河北衡水金卷2022 届高三12 月第三次联合质量测评数学试题）已知函数
10
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，
两
个
等
式
：
对任意的实数
均恒成立，且
上单调，则
的最大值为
A．1
B．2
C．3
D．4
题型11 多可能性分析型求W
【解题攻略】
解决函数
综合性问题的注意点
（1）结合条件确定参数
的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将
看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
【典例1-1】.函数
，已知
为
图象的一个对称中心，直线
为
图象的一条对称轴，且
在
上单调递减．记满足条件的所有
的值的和为，
则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（北京市西城区北京师范大学附属实验中学2021-2022 学年高三上学期12 月月考数学试题）
已知点
，若三个点中有且仅有两个点在函数
的图象上，则正数
的最小值为__________.
【变式1-1】（北京市东城区2021-2022 学年高三上学期数学试题）已知函数
，
曲线
与直线
相交，若存在相邻两个交点间的距离为
，则
的所有可能值为__________．
【变式1-2】（上海市晋元高级中学2022 届高三数学试题）已知
，若存在
使得集合
中恰有3 个元素，则
的取值不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2021•淮北二模）已知函数
满足
，
，且
在
区间
上单调，则满足条件的
个数为
A．7
B．8
C．9
D．10
11
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题型12 三角应用：三角双换元
【解题攻略】
形如
，
等，均可以用三角换元来解
决.
在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是[-1，1]，但其角度有多种形式，
于是我们在设置角度时要抓住2 点：
（1）设置的角度要使三角函数的范围为[-1，1]，
（2）根号要能直接开出来.就如本题来讲，令
，此时
，于是
.
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设
、
且
，求
的取值范围是 .
【典例1-2】（2020·江西·校联考模拟预测）若等差数列
满足
，且
，求
的取值
范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2021·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知
，
，求
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（江西省抚州市金溪一中等七校2021-2022 学年高三考试数学试题（B 卷））已知
满足
，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（浙江省嘉兴市2022 届高三试数学试题）已知实数
满足
,则
的取值范
围是_______．
题型13 三角应用：无理根号型
【解题攻略】
无理根号型求范围，可以通过换元求得：
1.单根号，一般是齐次关系。
2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x。
3.式子可能具有“轮换特征”
4.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。
12
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【典例1-1】.求函数
的值域.
【典例1-2】求函数
的值域.
【变式1-1】若对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【变式1-2】（新疆莎车县第一中学2022 届高三上学期第三次质量检测数学试题）函数y = x−√4−x
2的
值域为________．
【变式1-3】（2020 届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题）已知
，则
的最大值为_________.
题型14 三角应用：圆代换型
【解题攻略】
圆代换型，利用圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应x，正弦对应y
的参数方程是：
【典例1-1】（上海市第二中学2020-2021 学年高三下学期5 月月考数学试题）知点A(2,0)，点P是以原点
为圆心，1 为半径的圆上的任意一点，将点P绕点
逆时针旋转90°得点Q，线段AP的中点为
，则
| MQ|的最大值是______
【典例1-2】设圆O: x
2+ y
2=1上两点A(x1, y1)，B(x2, y2)满足：⃑OA ⋅⃑OB =−1
2，则
|x1−2 y1|+|x2−2 y2|的取值范围是___________.
【变式1-1】已知
是单位圆（圆心在坐标原点
）上任一点，将射线
绕
点逆时针旋转
到
交单位圆于点
，则
的最大值为________.
【变式1-2】设圆
上两点
，
满足：
，则
的取
值范围是___________.
【变式1-3】（2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知点
为圆
上任一点，
，
分别为椭圆
的两个焦点，求
的取值范围 .
13
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题型15 三角应用：向量型换元
【解题攻略】
向量中的三角换元原理之一，就是源于
,实质是圆。
所以模定值，可以用圆的参数方程代换。
【典例1-1】（2022 上·广东佛山·高三统考）菱形
中，
，点E，F 分别是线段
上的动点（包括端点），
，则
，
的最小值为
.
【典例1-2】（2020·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知
，
，则向量
的最小值为 .
【变式1-1】（2024 上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）平面向量
，
，满足
，
，则
的最大值为 .
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量
，
满足
，
，则
的最大值
为 .
【变式1-3】（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知为单位向量，向量
满足
，则
的取值范围是 .
高考练场
1.（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设函数
，将函数
的图
象先向右平移
个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，所得的图象与
图象重
合，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2.（湖南省长沙市长郡中学2020-2021 学年高三上学期月考（二）数学试题）已知函数
，其中
，若
在区间
上单调递减，则
的
最大值为__________．
14
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3.（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数
，使得函数
(
>0)的图象的一个对
称中心为(
，0)，则ω 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知直线
是函数
（
）图象
的一条对称轴，则
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
5. （2020 届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷? 数学（理）（二）试题）已知函数
的一条对称轴为
，且
在
上单调，则
的最大
值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
6.（2023·全国·统考高考真题）已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为
函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（2020·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知点
，
为曲线
(
)(常数
)的两个相邻的对称中心，若该曲线在点
，
处的切线互相垂直，则
的值为 .
8.（四川省内江市威远县威远中学校2022-2023 学年高三数学试题）已知函数
(ω>0)，
若
在
上恰有两个零点，且在
上单调递增，则ω 的取值范围是________.
9.（2023 秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数
，函数
的图象可以由函数
的图象先向右平移
个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍
得到，若函数
在
上没有零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
15
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10..已知函数
，其中
，
，
为
的零点，且
恒成立，
在区间
上有最小值无最大值，则
的最大值是_______
11.（河北省衡水市第十四中学2020-2021 学年高三四调数学试题）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|
φ|≤
），x=-
为f（x）的零点，x=
为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（
，
）上单调，则ω 的
最大值为______．
12.（江苏省泰州中学2020-2021 学年高三上学期第二次检测数学试题）已知非负实数
，
满足
，则
的最大值为__________.
13.．函数y＝x＋
的最小值为________．
14.（广东省清远市恒大足球学校2020 届高三上学期九月月考数学试题）若
，那么
的最大
值为_________________.
15.在同一个平面内，向量
的模分别为
与
的夹角为
，且
与
的夹
角为
，若
，则
_________．
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