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专题3-2 三角函数求w 类型及三角换元应用归类
目录
题型01 平移型求w..............................................................................................................................................................1
题型02 单调区间及单调性求w........................................................................................................................................3
题型03 对称中心（零点）求w..........................................................................................................................................5
题型04 对称轴型求w........................................................................................................................................................... 8
题型05 对称轴及单调性型求w........................................................................................................................................11
题型06“临轴”型求w........................................................................................................................................................ 13
题型07“临心”型求w........................................................................................................................................................ 16
题型08 区间内有“心”型求w........................................................................................................................................19
题型09 区间内无“心”型求w........................................................................................................................................22
题型10 区间内最值点型求w............................................................................................................................................24
题型11 多可能性分析型求w............................................................................................................................................. 28
题型12 三角应用：三角双换元.........................................................................................................................................32
题型13 三角应用：无理根号型.........................................................................................................................................34
题型14 三角应用：圆代换型.............................................................................................................................................36
题型15 三角应用：向量型换元.........................................................................................................................................38
高考练场.............................................................................................................................................................................. 41
题型01 平移型求W
【解题攻略】
平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，
或者利用单调区间，再结合图形解出
值或者范围。
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，将
的图像向右平移
个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则
的最小值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意
是周期的整数倍，求出
的表达式，从而求出其最小值.
【详解】
,
的周期为
,
将
的图像向右平移
个单位长度后，所得图像与原图像重合，
是周期的整数倍，
，
，
，
的最小值等于
.故选：B
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数
的图像向右平移
个单位
长度后与原函数图像重合，则实数
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
【答案】C
1
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【分析】由题意可知
是
的周期的倍数，即
，从而可求得
答案
【详解】解：因为函数
的图像向右平移
个单位长度后与原函数图像重合，
所以
是
的周期的倍数，
设
，所以
，因为
，所以当
时，
最小，故选：C
【变式1-1】（2021 春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试）将函数
的图像向左平
移2 个单位长度后，与函数
的图象重合，则
的最小值等于（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【分析】平移函数图象后得
，根据与
重合可求解.
【详解】函数
的图像向左平移2 个单位长度后可得，
，
与函数
的图象重合，
所以
，
由
，所以
.故选：A.
【变式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）将函数
（
）的图象向右平移
个单位长度后与函数
的图象重合，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
【答案】D
【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得
，结合
即可求解.
【详解】由题意可得
，∴
，
，解得
，
，
又
，∴当
时，
取得最小值为5．故选：D.
【变式1-3】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将
的图象向左
平移
个单位长度后与函数
的图象重合，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据图象变换可得
，根据题意结合诱导公式可得
，
运算求解即可得结果.
2
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【详解】将
的图象向左平移
个单位长度后，
得到
，
则
，解得
，
所以当
时，
的最小值为
.故选：C.
题型02 单调区间及单调性求W
【解题攻略】
正弦函数
在每一个闭区间
（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间
（k∈Z）上都单调递减
余弦函数
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
【典例1-1】（上海市川沙中学2021-2022 学年高三下学期数学试题）设
，若函数
在
上单调递增，则
的取值范围是________
【答案】
【解析】根据正弦函数的单调性，求出函数
的单增区间，由
（
），可得：
，所以
，整理即可得解.
【详解】根据正弦函数的单调性，可得：
（
），
所以：
，解得：
，
3
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整理可得：
，当
有解，解得
.故答案为：
.
【典例1-2】（广西玉林市育才中学2022 届高三12 月月考数学试题）已知函数
的图象关于直线
对称，且
，
在区间
上单调，则
的值为_____________.
【答案】2 或6.
【详解】因为
的图象关于直线
对称,故
,
...①
又
,故
或
,
...②
①-②可得
或
,
,
.
解得
或
,
,
又
在区间
上单调,故周期
满足
,
且
,所以
故当
时有
满足条件.故答案为：2 或6
【变式1-1】函数
,若
在区间
上是单调函数,且
则
的值为（ ）
A．
B．
或
C．
D．或
【答案】B
分析：由
在区间
是有单调性，可得
范围，从而得
；由
，可得函数
关于
对称，又
，
有对称中心为
；
讨论
与
是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可．
详解：因为
在
单调，∴
，即
，而
；
若
，则
；若
，则
是
的一条对称轴，
是其相邻的对称中心，所以
，∴
.
故选B.
【变式1-2】若函数
在
上是增函数，则
的取值范
围是____________.
4
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【答案】
【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后结合三角函数的性质得到关于
的不等式，求解不等式
即可确定
的取值范围.
【详解】整理函数的解析式有：
结合题意可知函数的最小正周期：
,
即
，求解不等式可得
的取值范围是
.
【变式1-3】（2022-2021 学年度下学期高三数学备考总动员C 卷）若函数
在区
间
上单调递减，则实数
的取值范围是________.
【答案】
【分析】先由题意可知
，得到
，再由整体法得到
单调减区间为
，显然
是其子集，由此可得
，检验
的值易得
，得解.
【详解】由题意可得函数
的最小正周期
,∴
，
∵函数
的最小正周期为
，单调减区间为
，又
，
由
，得
，
∴函数
的单调减区间为
．
∵函数
在区间
上单调递减，∴
，
∴
，解得
．
当
时，
，不合题意；当
时，
，符合题意；当
时，
，显然矛
盾，不合题意.∴实数
的取值范围是
．故答案为：
.
5
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题型03 对称中心（零点）求W
【解题攻略】
正弦函数对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
余弦函数对称中心
(＋kπ，0)(k∈Z)
正切函数对称中心
(，0)(k∈Z)
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设函数
的图象的一个对称中心为
，则
的一个最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正切函数的对称中心得到
，
，再对各选项逐一检验分析即可.
【详解】根据题意得
，
，则
，
又
，则
，
，
对于A，若
是
的最小正周期，则
，得
，与
矛盾，故A 错误；
对于B，由
得
，满足条件，故B 正确；
对于C，由
得
，与
矛盾，故C 错误；
对于D，由
得
，与
矛盾，故D 错误.
故选：B.
【典例1-2】（2022 秋·重庆·高三统考期中）若存在实数
， 使得函数
的
图象的一个对称中心为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
，则
，再根据
，
，即可得出答案.
【详解】解：由题意知，存在
在
使得
的一个对称中心为
，
6
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即存在
使得
时，
，代入
， 则
，
即
，即
，因为
，
，所以
，则
，
由不等式性质知
时，
取到最小值
，又由于
无法取到
，故
，
所以
的取值范围为
.故选：C..故选：C.
【变式1-1】（2023 春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知
，周期
是
的对称中心，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件
，列出方程即可求得
，然后根据对称中心以及周期范围求出
，即可得到
的解析式，从而得到结果.
【详解】因为
，由
可得
，且
，所以
，
又因为
是
的对称中心，故
解得
且
，即
所以，当
时，
即
，所以
故选:D
【变式1-2】（2022 秋·高三课时练习）已知函数
的部分图象如图，
的对称中心是
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】
可得
，根据辅助角公式可得
，由对称中心可得最小正周
7
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期为
，故
根据
可求
，从而可求
.
【详解】
，由
的对称中心是
，
知
的最小正周期
，故
故
解得
.
故
.故选:D.
【变式1-3】（2023 秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）设函数
的图象的一个对
称中心为
，则
的一个最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正切型函数的对称性可得出
的表达式，再利用正切型函数的周期公式可求得结果.
【详解】因为函数
的图象的一个对称中心为
，
所以，
，可得
，
，则
，故函数
的最小正周期为
，
当
时，可知函数
的一个最小正周期为
.
故选：C.
题型04 对称轴型求W
【解题攻略】
正弦函数对称轴
（k∈Z）时，ymax＝1；
（k∈Z）时，ymin＝－1
余弦函数对称轴
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1
【典例1-1】（2022 秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图，
的对称轴方程为
，则
（ ）
8
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A．3
B．2
C．
D．1
【答案】A
【分析】根据给定的对称轴方程可得
的周期，进而求出
，再借助函数性质及给定图象求出A 值作答.
【详解】由给定的图象知，
，
，
即
，
因函数
图象的对称轴方程为
，
则
的最小正周期
，
，
而
，显然有
，
即
，解得
，所以
.故选：A
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）若
是函数
图象的对称轴，则
的
最小正周期的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对称轴可求
的值，从而可求最小正周期.
【详解】因为
是函数
图象的对称轴，
所以
，故
，
所以
，故
的最小正周期的最大值为
，
故选：D.
【变式1-1】（2021 秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数
的图像关
于
对称，则函数
的图像的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由函数
的图像关于
对称，求出
，再对
化简即可求
9
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出.
【详解】函数
变为
，（令
）.
因为函数
的图像关于
对称，所以
,
解得：
.所以
.
所以函数
，其中
,
其对称轴方程
,所以
.
因为
，所以
，所以
.
当
时，
符合题意.对照四个选项，D 正确.故选：D.
【变式1-2 】（“ 超级全能生” 高考全国卷26 省9 月联考乙卷数学试题）已知向量
，函数
，且
，若
的任何一条对称轴与
轴交点的横
坐标都不属于区间
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
,
,由
，得
，
,由对称轴
,假设对称轴在区间
内，可知
当k=1,2，3
时，
，现不属于区间
，所以上面的并集在全集
中做补
集，得
，选B.
【变式1-3】已知向量
，函数
，且
，若
的任何一
条对称轴与
轴交点的横坐标都不属于区间
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，又
，
，
，所以
，由
的
任何一条对称轴与
轴的交点的横坐标都不属于区间
，则
10
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得
，
，当
，
，显然不符合题意；当
，
符合题意；当
，
，符合题意；当
，
，显然不符合题意，综上
的取值范围是
，故选B
题型05 对称轴及单调性型求W
【典例1-1】（2021 届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题）已知函数
，对任
意的
，都有
，且
在区间
上单调，则
的值为___________.
【答案】
【分析】
根据
，得函数
的对称轴为
，所以有
可得
，解得
，再分类讨论又
在区间
上单调递增和递减
两种情况，对每一种情况列出关于
的不等式组，解之可求得
的值.
【详解】
因为
，所以函数
的对称轴为
，所以
即
，
解得
，
,又
在区间
上单调，所以
（1）若
在区间
上单调递增，则
∵
，∴
，
∴
，即
，解得
，
所以
，且
，所以当
时，
满足题意；
（2）若
在区间
上单调递减，则
∵
，∴
，
11
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∴
，即
，解得
，
所以
，且
，此时无解，
综上可得
满足题意；故答案为：
.
【典例1-2 】（2020 届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷? 数学（二）试题）已知函数
的一条对称轴为
，且
在
上单调，则
的最大
值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】
函数
的对称轴可表示为：
，
在
上单调可得
，
使得
，然后可得
，即可分析出答案.
【详解】
函数
的对称轴可表示为：
，
在
上单调可得
，使得
， 解得
又.
，∴当
3 时，
可取最大值为
【变式1-1 】（四川省成都市新都区2020-2021 学年高三诊断测试数学试题）已知函数
满足
，
，且
在区间
上单调，则
的最大值为
________．
【答案】
【分析】
根据函数在区间
上单调得
，再由
，
得到区间
的长度恰好为
，
再根据
的范围求得
的最大值，进而得到
的最大值.
【详解】因为
在区间
上单调，所以
，
因为
，
，所以
，
12
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所以
，当
，
所以
.故答案为：
.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数
在
上是单调函数，其图
象的一条对称轴方程为
，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数的图象与性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数
在
上是单调函数，
则满足
，可得
，
结合选项可得，
可能的值为
和
.故选：B.
【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线
是曲线
的一条对称轴，
且函数
在区间[0，
]上不单调，则
的最小值为（ ）
A．9
B．7
C．11
D．3
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出
的关系式，再求出函数
含有数0 的单调区间即可判断作答.
【详解】因直线
是曲线
的一条对称轴，则
，即
，
由
得
，则函数
在
上单调递增，
而函数
在区间
上不单调，则
，解得
，
所以
的最小值为11.故选：C
题型06“临轴”型求W
【解题攻略】
若
的图像关于直线
对称,则
或
.
【典例1-1】（2023 秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数
的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间
的最短距离为
，直线
是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数
的最大值为4，最小值为0，求得A，m，再由
该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为
，求得
，然后由直线
是该函数图象的一条对称
轴求解.
【详解】因为函数
的最大值为4，最小值为0，
所以
，所以
，
又因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为
，所以
，则
，
所以函数
，又直线
是该函数图象的一条对称轴，
所以
，则
，因为
，所以
，
所以该函数的解析式是
，故选：B
【典例1-2】（2023 秋·高三课时练习）已知函数
，
是函数
的
一个零点，
是函数
的一条对称轴，若
在区间
上单调，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设函数
的最小正周期为
，根据题意分析得出
，其中
，可得出
，
利用函数
的单调性可得出
的取值范围，可得出
的可能取值，然后对
的值由大到小进行检验，可
得结果.
【详解】设函数
的最小正周期为
，
因为
是函数
的一个零点，
是函数
的一条对称轴，
则
，其中
，所以，
，
，
因为函数
在区间
上单调，则
，所以，
.
所以，
的可能取值有：
、、
、
、
.
（i）当
时，
，
，
所以，
，则
，
，
，所以，
，
14
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当
时，
，所以，
函数
在
上不单调，不合乎题意；
（ii）当
时，
，
，
所以，
，则
，
，
，所以，
，
当
时，
，所以，
函数
在
上单调递减，合乎题意.因此，
的最大值为
.故选：A.
【变式1-1】（2023 秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知
，
是函数
图象上两条相邻的对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由三角函数的对称性和周期性计算即可.
【详解】由题意得：
，故
，
则当
时，
，
又
，故
.故选：A.
【变式1-2】（2023 春·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数
，
且
图象的相邻两对称轴间的距离为
.若将函数
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，且当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求得
的解析式，再得到
的解析式，并求得
在
上的最小值，进而构造关于
的不等式，解之即可求得
的取值范围.
【详解】
15
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又
图象的相邻两对称轴间的距离为
，则
的周期为
，则
，则
将函数
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，则
当
时，
，
当
时，不等式
恒成立，
则
恒成立，解之得
故选：B
【变式1-3】（2023 春·四川成都·高三校联考阶段练习）已知直线
是函数
图象的任意两条对称轴，且
的最小值为
，则
的单调递增区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题知
，进而得
，再求解函数单调区间即可.
【详解】解：
直线
是函数
图象的任意两条对称轴，且
的最小值为
，
，即
，
令
，解得
，
的单调递增区间是
.故选：B.
题型07“临心”型求W
【解题攻略】
函数
的性质：
(1)
.
(2)周期
(3)由
求对称轴，由
求对称中心.
(4)由
求增区间；由
求减区间.
16
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【典例1-1】（2023 春·广东珠海·高三校考）已知函数
的图象的一个对称中心
的横坐标在区间
内，且两个相邻对称中心之间的距离大于
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用辅助角化简函数解析式为
，分析可知，函数
的最小正周
期
满足
，求出
的取值范围，求出函数
图象对称中心的横坐标，可得出
所满足的不等式，
即可得出
的取值范围.
【详解】因为
，
因为函数
的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于
，
所以，函数
的最小正周期
满足
，即
，则
，
由
可得
，因为函数
的图象的一个对称中心的横坐标在区间
内，
则
，可得
，又因为
且
存在，则
，解得
，
因为
，则
，所以，
，故选：B.
【典例1-2】（2023 上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）函数
，
的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为
，且
的图象关于直线
对称，则下列判断正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递减
B．将
图象向右平移
个单位与原图象重合
C．函数
图象关于点
对称
D．函数
的图象关于直线
对称
【答案】D
【分析】依题意可求得
,从而可求得
的解析式，从而可以对函数的单调区间、对称中心、对称
轴、平移一一判断.
【详解】函数
，
的最大值为2，即
，所以
，
17
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又图象相邻两个对称中心之间的距离为
，由
的图象关于直线
对称，
所以
，即
，
当
时，
，函数
不单调，故选项A 错误；
将
图象向右平移
个单位，得
，
其图象与原图象不重合，故选项B 错误；
令
，可得
，图象关于点
对称，故选项C 错误；
当
时，
为最小值，函数
的图象关于直线
对称，故选项D 正确.
故选：D.
【变式1-1】（2023 下·河南焦作·高三统考）已知函数
的图象的一个对称中心
的横坐标在区间
内，且两个相邻对称中心之间的距离大于
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用辅助角化简函数解析式为
，分析可知，函数
的最小正周
期
满足
，求出
的取值范围，求出函数
图象对称中心的横坐标，可得出
所满足的不等式，
即可得出
的取值范围.
【详解】因为
，
因为函数
的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于
，
所以，函数
的最小正周期
满足
，即
，则
，
由
可得
，
因为函数
的图象的一个对称中心的横坐标在区间
内，
则
，可得
，又因为
且
存在，则
，解得
，
因为
，则
，所以，
，故选：B.
【变式1-2】（2023·云南红河·统考二模）已知函数
（
）的图象的两个相邻对称
中心之间的距离为
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
18
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【分析】由正切函数的性质得出
，继而由周期公式得出
.
【详解】解：设
的最小正周期为
，由函数
（
）的图象上相邻两
个对称中心之间的距离为
，知
，
，
又因为
，所以
，即
，则
．
故选：B．
【变式1-3】（2021 上·四川雅安·高三统考期末）已知函数
，点
和
是其相邻的两个对称中心，且在区间
内单调递减，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T，然后由
求出
，然后再代点讨论满足题意的
，即可得出答案.
【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为
，得
.
则由
得
，即得
.由
，且在区间
内单调递减，则可得
，
∴
.由
得
，因
，可得
或
，
当
时，
，由
，得
，
则函数
的单调减区间为
，
令
，由
，得函数
在
上不是单调递减，
所以
不满足题意；
当
时，
，由
，得
，
则函数
的单调减区间为
，
令
，由
，得函数
在
上单调递减，
所以
满足题意；综上可得：
满足题意.故选：A.
19
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题型08 区间内有“心”型求W
【解题攻略】
求w 的表达式时，
中不要把
写成k,因为后面还有一个k,
中不
要把
写成k，否则不好研究w 的最小值.它们本身就不一定相等.
【典例1-1】（天津市部分区2020 届高考二模数学试题）若函数
(
)在区间
上单调递减，且在区间
上存在零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由题意结合余弦函数的单调区间可得
，由余弦函数的零点可得
，
即可得解.
【详解】当
时，
，又
，
，
函数
(
)在区间
上单调递减，
，即
，解得
；
令
，则
，即
，
由
，可得当且仅当
时，
，
又函数
(
)在区间
上存在零点，
，解得
；综上，
的取值范围是
.故选：D.
【典例1-2】（2021 春•商洛）已知函数
在
，
上恰有6 个零点，
则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
20
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当
时，
；当
时，
．
因为
在
，
上恰有6 个零点，且
，
所以
，解得
．
故选：
．
【变式1-1】（2022•湖北模拟）已知函数
在区间
，
上恰有三个零点，则
的取值范围是
．
【解答】解：由题意：转化为
与函数
在区间
，
上恰有三个交点问题，
，
上，
．当
，可得
．
根据余弦函数的图象：可得
，解得：
的取值范围是
，
故答案为：
，
．
【变式1-2】（云南省2020 届高三适应性考试数学试题）若函数
（
，
）图象过点
，
在
上有且只有两个零点，则
的最值情况为（ ）
A．最小值为
，最大值为
B．无最小值，最大值为
C．无最小值，最大值为
D．最小值为
，最大值为
【答案】C
【分析】由图象过点
求出
，然后解
，得
，再分析在
上有且只有两
个时，
的取值只能是
，从而可得
的范围，
【详解】由题可知
，即
，∴
，
又∵
，
，∴
.
令
，得
，解得
又∵
，
在
上有且只有两个零点，
∴
只能取1，2，故
，解得
，
∴
，∴
，没有最小值．故选：C.
【变式1-3】（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题变式题16-20 题）设函数
，
21
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若对于任意实数
，
在区间
上至少有2 个零点，至多有3 个零点，则
的取值范围是
________．
【答案】
【分析】原问题转化为
在区间
上至少有2 个，至多有3 个t，使得
，
求
得取值范围，作出可知，满足条件可最短区间长度为
，最长区间长度为
，由
此建立关于
的不等式，解出即可．
【详解】令
，则
，令
，则
，
则原问题转化为
在区间
上至少有2 个，至多有3 个t，使得
，求
得
取值范围，
作出
与
的图象，如图所示，
由图可知，满足条件可最短区间长度为
，最长区间长度为
，
∴
，解得
．故答案为：
．
题型09 区间内无“心”型求W
【解题攻略】
无“心”型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终
的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.
【典例1-1】已知函数
，若函数
在区间
内没有零点，
则
的取值范围为_________.
【答案】
【分析】先把
化为
，求出其零点的一般形式后利用函数
在区间
内没有零点构建关于
的不等式组，通过讨论
的范围可得
的取值范围.
【详解】因为
，
22
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故
，
令
，则
，故函数的零点为
.
因为函数在
内无零点，故存在整数
，使得
，
故
，因
为正实数，故
，故
，又
，故
，故
或
.当
时，
，当
时，
.故
.故答案为
.
【典例1-2】（天津市南开中学2022 届高三下学期统练二数学试题）已知函数
，
，若
在区间
内没有零点，则
的取值范围是
______.
【答案】
【分析】化简变形
，根据三角函数的性质求出
的零点，根据条件得出区间
内不
存在整数，再根据
可得
为
或
的子集，从而得出
的范围．
【详解】
．
令
，可得
，
．
令
，解得
，
∵函数
在区间
内没有零点，∴区间
内不存在整数．
又
，∴
，
又
，∴
或
．
∴
或
，解得
或
．
∴
的取值范围是
，故答案为
．
【变式1-1】函数
，且
，
，若
的图像在
内与
轴无交
点，则
的取值范围是__________.
【答案】
23
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【详解】∵
的图像在
内与
轴无交点∴
∵
∴
∵由对称中心可知
∴
∵假设在区间
内存在交点，可知
∴当
时，
∴以上并集在全集
中做补集，得
故答案为
【变式1-2】（2023 春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）将函数
的图象先向右平
移
个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，
若函数
在
上没有零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数
，再利用正弦曲线的零点即可求得
的取
值范围
【详解】将函数
的图象先向右平移
个单位长度，得到
再把所得函数图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
由函数
在
上没有零点，则
，则
由
，可得
假设函数
在
上有零点，
则
，则
由
，可得
又
，则
则由函数
在
上没有零点，且
，可得
故选：A
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）将函数
的图象先向右平移
个单位长度，再把所
得函数图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若函数
在
上没有零点，则
的取值范围是（ ）
24
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据图象变换求出
的解析式，利用周期缩小
的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数
的图象先向右平移
个单位长度，得到
的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
，
周期
，
因为函数
在
上没有零点，所以
，得
，得
，得
，
假设函数
在
上有零点，
令
，得
，
，得
，
，
则
，得
，
，又
，所以
或
，
又函数
在
上有零点，且
，所以
或
.故选：A
题型10 区间内最值点型求W
【解题攻略】
极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。
【典例1-1】.已知函数
（
，
），
，
，
在
内有相邻两个最值点，且最小值点距离
轴近，则
的最小正整数值为（ ）
A．5
B．7
C．9
D．10
【答案】C
【分析】由
结合已知条件可得
，由
可求出
，再由
，可知
，结合
，可求出
，从而可选出正确答案.
【详解】解析：因为
，结合已知，知
（
），
又因为
，所以
，所以
．
因为
，所以
，
，
解得
，
．又因为
，可得
，
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所以当
时，
的最小正整数值为9．故选:C.
【典例1-2】已知函数
的图象关于点
及直线
对称，且
在
不存在最值，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据对称得到
，根据没有最值得到
，得到
，
，再根据对称中心
得到
，得到答案.
【详解】函数
的图象关于点
及直线
对称.
则
.
在
不存在最值，则
，故
时满足条件，
，
.
，则
.
当
时满足条件，故
.故选：
.
【变式1-1】（2022 年全国高考乙卷数学（理）试题变式题13-16 题）已知函数
，
若
且
在区间
上有最小值无最大值，则
_______．
【答案】4 或10##10 或4
【分析】根据
可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω 的表达式和可能取值，结
合y＝sinx 的图像，根据
在区间
上有最小值无最大值判断ω 的取值范围，从而判断ω 的取值.
【详解】∵f(x)满足
，∴
是f(x)的一条对称轴，
∴
，∴
，k∈Z，
∵ω＞0，∴
.
当
时，
，
y＝sinx 图像如图：
26
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要使
在区间
上有最小值无最大值，则：
或
，
此时ω＝4 或10 满足条件；
区间
的长度为：
，
当
时，f(x)最小正周期
，则f(x)在
既有最大值也有最小值，故
不满足条
件.
综上，ω＝4 或10.
故答案为：4 或10.
【变式1-2】（2022 届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学试题）已知函数
，
，若
，对任意
恒有
，在区间
上有且只有
一个
使
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据
的零点和最值点列方程组，求得
的表达式（用
表示），根据
在
上有且只
有一个最大值，求得
的取值范围，求得对应
的取值范围，由
为整数对
的取值进行验证，由此求得
的最大值.
【详解】
由题意知
，则
其中
，
．
又
在
上有且只有一个最大值，所以
，得
，即
，所以
，又
，因此
．
27
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①当
时，
，此时取
可使
成立，当
时，
，所以当
或
时，
都成立，舍去；
②当
时，
，此时取
可使
成立，当
时，
，所以当
或
时，
都成立，舍去；
③当
时，
，此时取
可使
成立，当
时，
，所以当
时，
成立；
综上所得
的最大值为
．故选:C
【变式1-3】（【全国百强校】河北衡水金卷2022 届高三12 月第三次联合质量测评数学试题）已知函数
，
两
个
等
式
：
对任意的实数
均恒成立，且
上单调，则
的最大值为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数
的图象关于直线
和点
对称可得：
，即
，结合选项检验
与
即可.
【详解】
因为两个等式：
对任意的实数x 均恒成立，所
以
的图象关于直线
和点
对称，所以
，因为
，
所以
.因为
在
上单调，所以
，所以
，由选
28
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项知，只需要验证
.
1.当
时，
，因为
对任意的实数x 均恒成立，所以
，因为
，所以
，所以
，可以验证
在
上不单调，
2.当
时，
，因为
对任意的实数x 均恒成立，所以
，因为
·所以
·所以
，可以验证
在
上单调，所以w=1.故选A.
题型11 多可能性分析型求W
【解题攻略】
解决函数
综合性问题的注意点
（1）结合条件确定参数
的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将
看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
【典例1-1】.函数
，已知
为
图象的一个对称中心，直线
为
图象的一条对称轴，且
在
上单调递减．记满足条件的所有
的值的和为，
则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到
或
，由
在
上单调递减可以得到
，算出
的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知：
或
∴
或
∴
或
∵
在
上单调递减，∴
29
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∴
①当
时，取
知
此时
，当
时，
满足
在
上单调递减，∴
符合
取
时，
，此时
，当
时，
满足
在
上单调递减，∴
符合
当
时，
，舍去，当
时，
也舍去
②当
时，取
知
此时
，当
时，
，此时
在
上单调递增，舍去
当
时，
，舍去，当
时，
也舍去
综上：
或2，
.故选：A.
【典例1-2】（北京市西城区北京师范大学附属实验中学2021-2022 学年高三上学期12 月月考数学试题）
已知点
，若三个点中有且仅有两个点在函数
的图象上，则正数
的最小值为__________.
【答案】4
【分析】
由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数
的最小值，再进行比较从而得出
结论．
【详解】
① 若只有
两点在函数
的图象上，
则有
，
，
，
则
，即
，求得
无解．
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②若只有点
在函数
的图象上，
则有
，
，
，故有
，
即
，求得
的最小值为4．
③若只有点
在函数
的图象上，
则有
，
，
，故有
，
即
，求得
的最小正值为10，
综上可得，
的最小正值为4，故答案为：4．
【变式1-1】（北京市东城区2021-2022 学年高三上学期数学试题）已知函数
，
曲线
与直线
相交，若存在相邻两个交点间的距离为
，则
的所有可能值为__________．
【答案】2 或10
【分析】
令
，解得
或
，
根据存在相邻两个交点间的距离为
，得到
或
，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数
，曲线
与直线
相交，
令
，即
，
解得
或
，
由题意存在相邻两个交点间的距离为
，结合正弦函数的图象与性质，
可得
，令
，可得
，解得
.
或
，令
，可得
，解得
.
故答案为：
或
.
【变式1-2】（上海市晋元高级中学2022 届高三数学试题）已知
，若存在
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使得集合
中恰有3 个元素，则
的取值不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在
符合题意即可.
【详解】
解：对A，当
，
，函数的周期为
在一个周期内，对
赋值
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
令
时，
。
。
所以存在
使得
时的
值等于
时的
值，
时的
值等于
时的
值，
时的
值等于
时的
值.
但是当
等于、、
、时，不存在
使得这个
值中的任何两个相等
所以当
时，集合
中至少有四个元素，不符合题意，故A 错误；
对B，当
，
，函数的周期为
在一个周期内，对
赋值
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
当
时，
； 令
，
。
所以当
时，符合题意，故B 正确；
32
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对C，当
，
，函数的周期为
在一个周期内，对
赋值
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
令
，则
，
，
所以当
时，符合题意，故C 正确；
对D，当
，
，函数的周期为
在一个周期内，对
赋值
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；
令
，
，
，
所以当
时，符合题意，故D 正确.
故选：A.
【变式1-3】（2021•淮北二模）已知函数
满足
，
，且
在
区间
上单调，则满足条件的
个数为
A．7
B．8
C．9
D．10
【解答】解：设函数的最小正周期为
，由于函数
满足
，
，
故
，解得
，所以
，由于函数
在区间
上单调，
故
，故
，
，即
，解得
，由于
，
所以
取0，1，2，3，4，5，6，7，8．故
的取值为9 个；故选：
．
题型12 三角应用：三角双换元
【解题攻略】
形如
，
等，均可以用三角换元来解
决.
在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是[-1，1]，但其角度有多种形式，
33
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于是我们在设置角度时要抓住2 点：
（1）设置的角度要使三角函数的范围为[-1，1]，
（2）根号要能直接开出来.就如本题来讲，令
，此时
，于是
.
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设
、
且
，求
的取值范围是 .
【答案】
【分析】解法一：利用条件
，将
转化为二次函数，进而可确定
的范围．
解法二：由
得
，设
，则
，再结合余弦
函数及二次函数的性质计算可得.
【详解】解法一：
，
，可得
．
，
令
，
，显然函数
在
上单调递增，
，
，即
，
的取值范围是
．
解法二：由
得
，设
，即
，
则
令
，
，
，
，显然
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
的取值范围是
.故答案为：
【典例1-2】（2020·江西·校联考模拟预测）若等差数列
满足
，且
，求
的取值
范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，
，根据
求出
的范围，利用等差中项的性质得到
，再利用同
角公式可求得结果.
【详解】设
，
，又∵
，∴
，即
，∴
，
34
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∴
，∴
，
又∵
，所以
，所以
，
∴
．故选：B
【变式1-1】（2021·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知
，
，求
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，设
，
，那么
，结合三角函数的有界限，
即可得到答案.
【详解】由题意知，
且
，
设
，
，
那么
，其中
，
因为
的取值范围是
，所以
，
即
的取值范围为
.
故选：B
【变式1-2】（江西省抚州市金溪一中等七校2021-2022 学年高三考试数学试题（B 卷））已知
满足
，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】 由题意，令
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
所以
所以
，故选D.
【变式1-3】（浙江省嘉兴市2022 届高三试数学试题）已知实数
满足
,则
的取值范
围是_______．
【答案】
【解析】
设
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因此
因为
，所以
，即取值范围是
点睛：利用三角函数的性质求范围，先通过变换把函数化为
的形式再借助三角函数图象
研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
题型13 三角应用：无理根号型
【解题攻略】
无理根号型求范围，可以通过换元求得：
1.单根号，一般是齐次关系。
2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x。
3.式子可能具有“轮换特征”
4.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。
【典例1-1】.求函数
的值域.
【分析】 遇到根号问题，通常我们都需要利用换元法就值域，但由于根号内有平方，则需要利用含平方
的换元形式，于是我们利用三角换元．
解析：令
，则原式
=
其中
.
，
【典例1-2】求函数
的值域.
【答案】
【分析】
可化为
，令
，结合辅助
角公式及三角函数的性质求解.
【详解】
可化为
，令
，
则
，
，
，∴
,
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故函数的值域为
.
【变式1-1】若对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由
可得原不等式等价于
，两边平方，利用均值不等式求解即可.
【详解】因为
，所以
，所以不等式可化为
，
设
，
，则
，则
，
因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，即
，所以
，
故答案为：
【变式1-2】（新疆莎车县第一中学2022 届高三上学期第三次质量检测数学试题）函数y = x−√4−x
2的
值域为________．
【答案】[−2√2,2]
【分析】函数的定义域为[−2,2]，设x =2cosθ将原函数转化为关于
的三角函数，利用同角三角函数基本
关系以及辅助角公式，余弦函数的性质即可求解.
【详解】由4−x
2≥0可得−2≤x ≤2，即函数的定义域为[−2,2]。所以设x =2cosθ，θ∈[0,π]，
则y =2cosθ−√4−4 cos
2θ =2cosθ−2sinθ =2√2(
√2
2 cosθ−√2
2 sinθ)=2√2cos(θ+π
4 )，
因为θ∈[0,π]，所以θ+π
4 ∈[
π
4 ,5π
4 ]，所以cos(θ+π
4 )∈[−1, √2
2 ]，所以
y =2√2cos(θ+π
4 )∈[−2√2,2]，
所以函数y = x−√4−x
2的值域为[−2√2,2]，故答案为：[−2√2,2].
【变式1-3】（2020 届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题）已知
，则
的最大值为_________.
【答案】8
【分析】设
，不妨设
，再利用三角换元，结合三角函数的有界性，即
可得答案.
【详解】设
，不妨设
，
则
，故
，所以，
可设
，
，则
，当且仅当
时取等号
即
的最大值为8.故答案为：.
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题型14 三角应用：圆代换型
【解题攻略】
圆代换型，利用圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应x，正弦对应y
的参数方程是：
【典例1-1】（上海市第二中学2020-2021 学年高三下学期5 月月考数学试题）知点A(2,0)，点P是以原点
为圆心，1 为半径的圆上的任意一点，将点P绕点
逆时针旋转90°得点Q，线段AP的中点为
，则
| MQ|的最大值是______
【答案】1+ √5
2
【分析】
设P(cosθ ,sinθ)，则Q(−sinθ ,cosθ)，则
( 2+cosθ
2
, sinθ
2
)，从而得
| MQ|=√( 2+cosθ
2
+sinθ)
2
+( sinθ
2
−cosθ)
2
，利用降幂公式、辅助角公式及平方关系化简，再根据正
弦型函数得值域即可得解.
【详解】
解：由题可知，设P(cosθ ,sinθ)，则Q(−sinθ ,cosθ)，
因为A(2,0)，所以线段AP的中点
得坐标为( 2+cosθ
2
, sinθ
2
)，
所以
| MQ|=√( 2+cosθ
2
+sinθ)
2
+( sinθ
2
−cosθ)
2
=√
(cosθ+2)
2+ 4 sinθ(cosθ+2)+ 4 sin
2θ+sin
2θ−4 sinθcosθ+ 4 c
4
= √9+ 4 cosθ+8sinθ
2
= √9+ 4√5sin(θ+φ)
2
，其中tan φ= 1
2，因为sin(θ+φ)∈[−1,1]，
所以当sin(θ+φ)=1时，| MQ|取最大值为1+ √5
2
.故答案为：1+ √5
2
.
【典例1-2】设圆O: x
2+ y
2=1上两点A(x1, y1)，B(x2, y2)满足：⃑OA ⋅⃑OB =−1
2，则
|x1−2 y1|+|x2−2 y2|的取值范围是___________.
【答案】[
√15
2 ,√15]
【解析】
【分析】
首先由数量积公式可得∠AOB =120°，再根据绝对值的几何意义得h=|x1−2 y1|
√5
+|x2−2 y2|
√5
表示两点
，
分别到直线x−2 y =0的距离之和，再以直线x−2 y =0为
轴重新建立直角坐标系后，利用三角函数表
示h，根据角的范围求值域.
【详解】
由⃑OA ⋅⃑OB =−1
2，得∠AOB =120°.
设h=|x1−2 y1|
√5
+|x2−2 y2|
√5
表示两点
，
分别到直线x−2 y =0的距离之和.
取直线x−2 y =0为
轴重新建立直角坐标系后，则h表示两点
，
分别到
轴的距离之和.
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在新的直角坐标系下，设A (cosθ ,sinθ)，B(cos(θ+120°),sin (θ+120°))则有h=|sinθ|+|sin (θ+120°)|.
由对称性，不妨设点
在
轴上或上方，即−120°≤θ≤60°.所以
h={
sinθ+sin (θ+120°),0°≤θ≤60°
−sinθ+sin (θ+120°),−120°≤θ<0°，
0
∘≤θ≤60
∘时，h=sinθ+sin(θ+120
∘)= 1
2 sinθ+ √3
2 cosθ =sin(θ+60
∘)，
得θ+60
∘∈(60
∘,120
∘)，则h∈(
√3
2 ,1)，
当−120
∘≤θ<0
∘时，h=−sinθ+sin(θ+120
∘)=−3
2 sinθ+ √3
2 cosθ =−√3sin(θ−30
∘)，
θ−30
∘∈(−150
∘,−30
∘)，此时h∈(
√3
2 ,√3]
综上得√3
2 ≤h≤√3，从而得|x1−2 y1|+|x2−2 y2|=√5h∈[
√15
2 ,√15].故答案为：[
√15
2 ,√15]
【变式1-1】已知
是单位圆（圆心在坐标原点
）上任一点，将射线
绕
点逆时针旋转
到
交单位圆于点
，则
的最大值为________.
【答案】
【分析】
设
，则
，代入要求的式子由三角函数的知识可得解．
【详解】设
，则
，
，
的最大值为
，故答案为：
【变式1-2】设圆
上两点
，
满足：
，则
的取
值范围是___________.
【答案】
【分析】首先由数量积公式可得
，再根据绝对值的几何意义得
表示两点
，
分别到直线
的距离之和，再以直线
为
轴重新建立直角坐标系后，利用三角函数
表示
，根据角的范围求值域.
【详解】由
，得
.设
表示两点
，
分别到直线
的距离之和.
取直线
为
轴重新建立直角坐标系后，则
表示两点
，
分别到
轴的距离之和.
在新的直角坐标系下，设
，
。则有
.
由对称性，不妨设点
在
轴上或上方，即
.
所以
，
时，
，
39
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得
，则
，
当
时，
，
，此时
综上得
，
从而得
.故答案为：
【变式1-3】（2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知点
为圆
上任一点，
，
分别为椭圆
的两个焦点，求
的取值范围 .
【答案】[80,120]
【分析】由椭圆的标准方程可得焦点
,
,由点
在圆上可设
,求得
,
,进而利用三角函数的性质求解即可.
【详解】由题,椭圆的焦点为
,
,
设点
,
则
,
,
所以
,
,
因为
,所以
,故答案为:
题型15 三角应用：向量型换元
【解题攻略】
向量中的三角换元原理之一，就是源于
,实质是圆。
所以模定值，可以用圆的参数方程代换。
【典例1-1】（2022 上·广东佛山·高三统考）菱形
中，
，点E，F 分别是线段
上的动点（包括端点），
，则
，
的最小值为
.
【答案】 0
/-0.25
【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出
，表达出
，利用二次函数的性质求最小值
，再结合
求出最小值.
40
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【详解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，故
，
，
，
，设
，则
，
，则
，
，
，
；
因为
，所以
，
，故当
时，
取得最小值
为
，因为
，所以当
，即
时，
最小，最小值为
故答案为：0，
【典例1-2】（2020·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知
，
，则向量
的最小值为 .
【答案】
【分析】
，不失一般性，设
，由
知
的终点在两个圆上运动，设
化简
放缩后得到
得解.
【详解】
，不妨设
，
所以
在圆
上运动
，
所以
在圆
上运动
再令
，
当且仅当
，
时，等号成立
41
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，当且仅当
时，等号成立.
故答案为：
【变式1-1】（2024 上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）平面向量
，
，满足
，
，则
的最大值为 .
【答案】4
【分析】不妨设
，
，
，则求
的最大值，即求
的最大值，
将问题转化为方程有解的问题，得到
的轨迹为一个圆，最后利用投影向量的意义求出
的最大值即可
求解.
【详解】设
，
，向量
，
的夹角为
，则
，
，
设
，由
得：
，即
，化简得：
，
上述方程一定有解，
，
即
在一个圆上，而
，所以转化为求
的最大值，
当在
上投影长度最大时，
，令
，
，
则
，当
时，
.
的最大值为
.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量
，
满足
，
，则
的最大值
为 .
【答案】5
【分析】令
，坐标表示出
、
，应用坐标公式求出对应
表达式中向量的模，构造函数并利用导数求最值.
【详解】令
，
，
，
，
，
令
，
设
，则
，
，
令
，易知：在
上
，即递增，
所以在
取得最大值，
.
故答案为：5.
【变式1-3】（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知为单位向量，向量
满足
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设
，确定点A，B 的轨迹，从而设
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，求出
的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性质即
可求得答案.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，令
,
设
则由
可得
，
即点A 轨迹为以
为圆心，半径为2 的圆，点B 轨迹为以
为圆心，半径为3 的圆，
则设
，则
，（
为辅助角）
，令
，则
，
则
，又
，
而
，
故
，故
的取值范围是
，故答案为：
高考练场
1.（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设函数
，将函数
的图
象先向右平移
个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，所得的图象与
图象重
合，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换可得到变化后的函数解析式，结合所得的图象与
图
象重合，求得参数
，
，即得答案.
【详解】将函数
的图象先向右平移
个单位长度后，得到
的图象，
再将横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到
的图象，
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由于得到的函数的图象与
图象重合，
故
，
，
所以
，又
，所以
，故选：C．
2.（湖南省长沙市长郡中学2020-2021 学年高三上学期月考（二）数学试题）已知函数
，其中
，若
在区间
上单调递减，则
的
最大值为__________．
【答案】
【详解】
，由
，
解得
，
是其子集，故
，解得
，由
于
，故令
可求得
的最大值为
.
3.（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数
，使得函数
(
>0)的图象的一个对
称中心为(
，0)，则ω 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的对称性进行求解即可.
【详解】由于函数
的图象的一个对称中心为
，所以
，所以
，
由于
，则
，
因为
，所以可得：
，故选：C
4.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知直线
是函数
（
）图象
的一条对称轴，则
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】先由对称轴求出
，再求
在
上的值域即可.
【详解】∵直线
是函数
（
）图象的一条对称轴，
∴
，
，∴
，
，
∵
，∴
时，
，
.
当
时，
，
∴当
时，
取最小值
，
当
时，
取最大值
，∴
，
，
∴
在
上的值域为
.故选：D
5. （2020 届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷? 数学（理）（二）试题）已知函数
的一条对称轴为
，且
在
上单调，则
的最大
值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】
函数
的对称轴可表示为：
，
在
上单调可得
，
使得
，然后可得
，即可分析出答案.
【详解】
函数
的对称轴可表示为：
，
在
上单调可得
，使得
， 解得
又.
，∴当
3 时，
可取最大值为
6.（2023·全国·统考高考真题）已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为
函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入
即可得到答案.
【详解】因为
在区间
单调递增，
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
则
，
，不妨取
，则
，
则
，故选：D.
7.（2020·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知点
，
为曲线
(
)(常数
)的两个相邻的对称中心，若该曲线在点
，
处的切线互相垂直，则
的值为 .
【答案】
【分析】由
,
,令
可得对称中心为
和
,利用导数求得斜率,使得
,整理可得
,进而求解.
【详解】由题,
,
,
令
,当
时,一个对称中心为
；
当
时,可得相邻的对称中心为
,
因为
,所以
,
所以
,
,
所以
,
即
,
所以
,
等式两边同时除以
,得
,
解得
,故答案为:
8.（四川省内江市威远县威远中学校2022-2023 学年高三数学试题）已知函数
(ω>0)，
若
在
上恰有两个零点，且在
上单调递增，则ω 的取值范围是________.
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【答案】
【分析】由
在
上恰有两个零点，令
，
，可得
，令
，
，可得f(x)在
上单调递增，从而有
，联立求解
即可得答案.
【详解】解：由题意，令
，
，得x＝
，
，
∴f(x)的第2 个、第3 个正零点分别为
，
，∴
，解得
，
令
，
，∴
，
，
令k＝0，f(x)在
上单调递增，∴
，
∴
，解得
，综上，ω 的取值范围是
.故答案为：
.
9.（2023 秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数
，函数
的图象可以由函数
的图象先向右平移
个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍
得到，若函数
在
上没有零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数
，根据三角函数的图象变换得到
，令
，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.
【详解】函数
，向右平移
个单位长度，得
，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍得到
，
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令
，得
，所以
，
若函数
在
上没有零点，则需
，所以
，所以
，
若函数
在
上有零点，则
，
当k=0 时，得
，解得
，当k=1 时，得
，解得
，
综上：函数
在
上有零点时，
或
，
所以函数
在
上没有零点，
.所以
的取值范围是
.故选：A
10..已知函数
，其中
，
，
为
的零点，且
恒成立，
在区间
上有最小值无最大值，则
的最大值是_______
【答案】15
【分析】
由题意可得
是y＝f（x）图像的对称轴，而
为f（x）的零点，从而可得
•
，
n∈Z，由
在区间
上有最小值无最大值，可得周期T≥（
）
，从而可求得ω≤16，
然后对ω＝15 进行检验即可
【详解】
由题意知函数
为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴
•
，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间
上有最小值无最大值，
∴周期T≥（
）
，即
，∴ω≤16．
∴要求
的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15 时，由题意可得
15+φ＝kπ，φ
，函数为y＝f（x）＝sin（15x
），
在区间
上，15x
∈[
，
），此时f（x）在
时取得最小值，
∴ω=15 满足题意．则ω 的最大值为15.
故答案为：15.
11.（河北省衡水市第十四中学2020-2021 学年高三四调数学试题）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|
φ|≤
），x=-
为f（x）的零点，x=
为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（
，
）上单调，则ω 的
最大值为______．
【答案】
【分析】先根据
是
的零点，
是
图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得
的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对
赋值验证找到适合的最大值即可．
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【详解】由题意可得
，即
，解得
，
又因为
在
上单调，所以
，即
，
因为要求
的最大值，令
，因为
是
的对称轴，所以
，
又
，解得
，所以此时
，
在
上单调递减，即
在
上单调递减，在
上单调递增，故
在
不单调，
同理，令
，
，
在
上单调递减，因为
，
所以
在
单调递减，满足题意，所以
的最大值为5.
12.（江苏省泰州中学2020-2021 学年高三上学期第二次检测数学试题）已知非负实数
，
满足
，则
的最大值为__________.
【答案】
【分析】由
，得
，用换元法，令
，
，
将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.
【详解】由题意得：
，令
，
， 又
，
为非负实数，
，
，
，即
，
解得
，
.故
（其中
），
，即
，
，即
又
在
上单调递增，∴当
时，
取得最大值，
故当
，
时，
取得最大值，最大值为
.故答案为：
13.．函数y＝x＋
的最小值为________．
【答案】5－
【分析】整理y＝x＋
得：y＝x＋
，利用
作三角换元得：x－5＝
cos α，
，即可整理函数为：y＝2sin
＋5，利用三角函数的性质即可得解.
【详解】原函数可化为：y＝x＋
.由2－(x－5)2≥0⇒|x－5|≤
，令x－5＝
cos
，
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那么y＝
cos
＋5＋
sin
＝2sin
＋5.
因为
＋
∈
，所以sin
∈
，所以函数的最小值为5－
.
14.（广东省清远市恒大足球学校2020 届高三上学期九月月考数学试题）若
，那么
的最大
值为_________________.
【答案】
【分析】设
，利用三角函数有界性得函数的最大值.
【详解】设
，所以
所以
的最大值为
.故答案为：
15.在同一个平面内，向量
的模分别为
与
的夹角为
，且
与
的夹
角为
，若
，则
_________．
【答案】
【详解】
以
为
轴，建立直角坐标系，则
，由
的模为
与
与
的夹角为
，且
知，
，可得
，
，由
可得
，
，故答案为.
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