第二章函数（举一反三综合训练）
（全国通用）
（考试时间：120 分钟；满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共58 分）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（2026·甘肃张掖·二模）已知函数��= 3��2−2�在−1, + ∞上单调递减，则实数�的取值范围
为（
）
A．−1, + ∞
B．−∞, −1
C．−1,0
D．−1,0
2．（5 分）（2026·陕西西安·模拟预测）函数��= 0.3�−
�的零点所在区间是（
）
A．0,0.5
B．0.5,0.7
C．0.7,1
D．1,2
3．（5 分）（2026·河南·模拟预测）已知�= log0.50.4，�= 0.50.4，�= log45，则（
）
A．�> �> �
B．�> �> �
C．�> �> �
D．�> �> �
4．（5 分）（25-26 高一上·江西吉安·期末）函数��=
e−�−e�
�−1 的大致图象为（
）
A．
B．
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C．
D．
5．（5 分）（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间(0, + ∞)上单调递减，且是奇函数的是（
）
A．�(�) =
1
2
�
B．�(�) = �3
C．�(�) =
1
�
D．�(�) = ln�+ 1
6．（5 分）（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是
�0，�min 后的温度是�，则
�−��
�0−��= 2−�
ℎ，其中��表示环境温度，ℎ称为半衰期．现有一杯88∘C 的咖啡放在24∘C
的房间中，如果咖啡降温到40∘C 大约需要20min，那么降温到30∘C 大约需要（
）（参考数据；lg2 ≈
0.301, lg3 ≈0.477）
A．33min
B．34min
C．35min
D．36min
7．（5 分）（2026·山东日照·模拟预测）设��为定义在R 上的奇函数，且�1 + �−�1 −�= 0，�1 = 2，
则��5
的值为（
）
A．−2
B．0
C．2
D．4
8．（5 分）（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数��=
3�−1 + 1, �≤1
ln �−1 , (�> 1) ，若��= �2 �−2���+
4
3
的零点个数为4，则实数�取值范围为（
）
A．(
6
3 ,
5
6 ] ∪(
4
3 , + ∞)
B．(
6
3 ,
5
6 ] ∪(2, + ∞)
C．
5
6 , 2
D．
4
3 , + ∞
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（6 分）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（
）
A．
5
−0.1 5 = 0.1
B．lg2 2 + lg2lg25 + lg5 2 = 1
C．
16
81
−3
4 =
8
27
D．e2+ln2 = 2e2
10．
（6 分）
（2026·陕西西安·三模）已知定义在0, + ∞上的函数��满足下列条件：①���= ���+ ���；
②当�> 1 时，��< 0．则（
）
A．�1 = 0
B．�
1
�= ��
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C．当�> 1 时，��2 < 2��
D．��在1, + ∞上单调递减
11．（6 分）（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数�= �(�)(�≠0)满足�(�⋅�−1) = �(�) −�(�) −2，当�> 1
时，�(�) >−2，则（
）
A．�(�)为偶函数
B．若�(�) <−2，则−1 < �< 1，且�≠0
C．若�(2) = 0，则�(2026) > 20
D．若�(3) =−1，则�(2025) < 5
第II 卷（非选择题共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（5 分）（2026·上海·三模）函数��=
2�−3 +
1
�−2的定义域为___________．
13．（5 分）（2026·甘肃白银·二模）已知��=
log��+ 1 , �> 0
�+ 1 �+ 2�−3, �≤0 是R 上的单调递增函数，则实数
a 的取值范围为___________．
14．（5 分）（2026·青海·模拟预测）已知�(�)是定义在(�−5,4�)上的偶函数，对任意的�1，�2 ∈[0,4�)，
当�1 ≠�2时，
�2
2+1 ��1 −�1
2+1 ��2
�1−�2
> 0 恒成立．若�(1) = 4，则关于�的不等式�(�−�) > 2�2 −4�+ 4 的
解集为___________．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数�(�) = log3(3�) ⋅log3
�
27 + 4，�∈[1,27].
(1)求函数�(�)的值域及单调区间；
(2)若不等式�(3�) −��≥0 在�∈
1
2 , 4 上有解，求实数k 的取值范围.
16．（15 分）（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数�(�)为定义在R 上的偶函数，且�≥0，�(�) = �2 −��+ 1.
(1)若�= 1，求函数�(�)解析式；
(2)求函数�(�)在[1,3]的最小值；
(3)若函数�= �(�)在(0,4)有两个不同的零点，求m 的取值范围.
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17．（15 分）（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数��= log�1 + �，��= log�1 −�（�> 0，且�≠1）．
(1)求函数��+ ��的定义域；
(2)求��+ ��的单调性；
(3)当�= 3 时，若ℎ�= ��+ ��+ �有两个零点，求实数�的取值范围．
18．
（17 分）
（2026·上海·三模）设�, �∈R，对于定义域为D 的函数�= ��与�= ��，ℎ�= ���+ ���，
若函数�= ℎ�是区间D 上的单调函数，则称�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质��, �”．
(1)设�= 2, + ∞，��= �2，��= �，若�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质�1, �”，求t 的取
值范围；
(2)设�> 0，�= 0,1 ，��= �，��=−
3
2�．若�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质��, �”，求
�
�
的取值范围；
(3)设�= R，若对任意s、t，函数�= ��与�= ��在R 上都满足“性质��, �”．求证：存在不全为零的
实数A、B，使得函数�= ���+ ���为常值函数．
19．（17 分）（2026·上海长宁·二模）设连续函数�= ��定义域为�，区间�⊆�，记函数�= ��在区间�
上的最大值为���，最小值为��(�).
(1)设��= e�−��，�= −1,1 ，若���= �0 ，求实数�的值；
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(2)设��= �3 −3�2，�= �, �+ 2 ，若���−���= 4，且−1 ≤�≤1，求�的值；
(3)已知�0 = 0，�1 = 1，且对任意闭区间�⊆0,1 ，���与��(�)均存在.
求证：“�= ��在区间0,1 上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间�1、�2 ⊆0,1 ，当���1 = ���2 ，
且���1 = ���2 时，均有�1 = �2.”
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