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2026 年高考数学信心跃升卷 03（全国二卷通用）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解分式不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解.
【详解】 ，即 ， ，解得 ，
又因为集合 ，则 .
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由复数的运算性质得 ，
因为 ，所以 ，可得 .
3．5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（ ）
A．24 B．48 C．72 D．96【答案】B
【分析】应用捆绑法计算求解.
【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列
数为 .由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：
.
4．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】利用向量垂直的条件求出参数 ，再计算向量 的模长.
【详解】已知 ， ，且 ，
因此： ，解得： .所以 ，则
5．已知公比大于1的等比数列 ，若 ， ，则 （ ）
A． B．11 C．23 D．121
【答案】D
【分析】利用等比数列性质转化 ，结合韦达定理求出 ，再用通项公式求出
【详解】因为 为等比数列，所以 ，
又因为 ，公比大于1，所以 ，则 是方程 的两个根，
且 ，即 ，6．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系求 ，再根据 结合两角和差公式
运算求解.
【详解】因为 ， ，则 ，
可得 ，
所以 .
7．已知双曲线 的一个焦点为 ，且 的渐近线上存在一点 ，
使 为等边三角形（O为原点），则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据等边三角形的内角特征推导渐近线斜率，再结合双曲线 的关系求解离心
率.
【详解】由 的渐近线上存在一点 ，使 为等边三角形（O为原点），
则渐近线的斜率为 ，
所以双曲线 的离心率为 .
8．已知函数 ， ，若函数 有5个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 是1个零点，进而得 时，函数 有4个零点，将问题转化成 与
有4个交点分析计算求解即可.
【详解】由题意，可知：当 时， ，故 为 的1个零点；
故当 时，函数 有4个零点，即 有4个非0实数根，
即 有4个非0实数根，即 与 图象有4
个交点，当 时， ，
当 时，则 ，令 得 ，
所以当 时 ，当 时 ，
则函数 在 单调递增，在 上单调递减，
又 ， 时 ， 时 ，
且 时 ， 时， ，
所以 图象如图所示：由图可得 ，解得 .故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在
之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区
间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（ ）
A．直方图中x的值为0.0044
B．在被调查的用户中，用电量落在区间 内的户数为70户
C．估计该小区用户月用电量的中位数不超过
D．用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过 的人数，
则
【答案】AB
【详解】对于A，由图可得组距为50，根据频率和为1，得
，解得 ，故A正确；
对于B，用电量落在区间 内的频率 ，
由样本容量为100，得用电量落在区间 内的户数 ，故B正确；对于C，由图可得第一组 的频率为 ，第二组 的频率为
，第三组 的频率为 ；
前两组的累计频率为 ，前三组的累计频率为 ，
中位数位于第三组 内；
设中位数为 ，则 ，解得 ；
， 中位数超过 ，故C错误；
对于D，用电量不超过 的频率为前两组频率之和，即 ；
用频率估计概率，从该小区抽取1人，其用电量不超过 的概率 .
从该小区抽取10人，设X表示用电量不超过 的人数，
则X服从二项分布 ，则 ，故D错误.
10．在长方体 中， ， ，M是棱AB的中点，下列说法
正确的是（ ）
A．
B．二面角 的余弦值是
C．过 的平面截该长方体得到的图形面积是
D．沿长方体表面从 到 的最近距离是
【答案】BC
【分析】可建立适当空间直角坐标系，则可求出 、 ，再计算 即可得A；
求出平面 与平面 的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得B；延长 、使其交于点 ，连接 ，设 ，可得四边形 即为过 的平面
截该长方体得到的图形，再结合勾股定理与梯形面积公式计算即可得C；将对应平面展开
并计算即可得D.
【详解】以 为原点，建立如下图所示空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
则 、 ，则 ，
故 与 不垂直，故A错误；
对B： ， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，则 ；
由 轴 平面 ，故平面 的法向量可取 ，
则 ，由图可知为锐角，
故二面角 的余弦值是 ，故B正确；
对C：延长 、 使其交于点 ，连接 ，设 ，连接 ，
则四边形 即为过 的平面截该长方体得到的图形，
由 为 中点，故 ，则 ，故 为 中点，故 、 分别为 与 中点，故 且 ，
则四边形 为梯形，
则 ，故C正确；
对D：如下图，将平面 延 展开，使得该平面与 位于同一平面，
此时 ；
如下图，将平面 延 展开，使得该平面与 位于同一平面，
此时 ；
如下图，将平面 延 展开，使得该平面与 位于同一平面，此时 ；
综上可得，沿长方体表面从 到 的最近距离是 ，故D错误.
11．在三角形ABC中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ，
，则（ ）
A． B．
C．三角形ABC的周长为 D．三角形ABC的面积为
【答案】BD
【分析】由正弦定理 得到 ，再结合三角形面积公式逐项判断即可.
【详解】因为 ， ， ，所以
由正弦定理可得： ，即 ，则 ，得 ，则 ，
所以 ，所以三角形ABC的周长 ，所以 三角形ABC的面积为 ,
由上可知AC错误，BD正确，故选：BD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．甲、乙两同学分别从6门选修课程中任意选取3门，设 为这6门课程中被选到的课
程数量，则 的数学期望为_________．
【答案】
【分析】先求 的分布列，再求 的数学期望.
【详解】由题意， 的可能取值为 ，
当 时，甲乙选到相同课程的数量为3， ，
当 时，甲乙选到相同课程的数量为2， ，
当 时，甲乙选到相同课程的数量为1， ，
当 时，甲乙选到相同课程的数量为0， ，
.
13．过抛物线 的焦点且倾斜角为 的直线被圆 截得的弦长为______．
【答案】2
【分析】利用抛物线的焦点坐标求出直线方程，然后计算圆心到直线的距离，利用垂径定
理求解弦长.
【详解】由题意得 ，抛物线 的焦点为 ，
则直线方程为 ，即 ，圆 的圆心为 ，半径 ，设圆心到直线的距离为 ，则 ，故所求的弦长为 .
14．在三角形ABC中，内角 所对的边分别为 ，且 ，若 ，则
三角形ABC的面积的最大值为__________.
【答案】
【分析】由余弦定理求出角 ，再由基本不等式及三角形面积公式即可求解.
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，故三角形ABC的面积的最大值为 ，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的前 项和 ；(2)记 ，数列 的前 项积为 ，求 的最小值.
【答案】(1) ； (2) .
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前 项和公式，联立方程组即可求解；
（2）利用等差数列的前 项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值.
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，根据题意列方程：
由 得： ，
由 得： ，联立解得： ， ，
则由等差数列前 项和公式可得 ；
（2）由 ， ，可得等差数列 的通项公式为： ，
则 ，即数列 的前 项积为：
，
因此： ，令 ， ，
因为函数 是关于 的单调递增函数，因此 最小时， 取得最小值，
因为 的最小值在 时取得，即 ，
代入可得： ，即 的最小值为 .
16．如图，平面 平面 ，四边形 与 都是直
角梯形， ．
(1)求证： ， ， ， 四点共面；
(2)设 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】(1)以 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 ,设
,通过向量法可证得 ，即 共面;
(2)分别求出平面 与平面 的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可.
【详解】（1）由平面 平面 ， ，得 平面 ，以 为坐标
原点，建立如图所示的直角坐标系 ：
设 ，则 ，
，故 ， ，
共面.
（2）设 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，由 ，
得 ，取 ，可得 ；
，
设平面 的法向量为 ，由 ，
得 ，取 ，所以 ，，
设平面 与平面 夹角为
,即平面 与平面 夹角的余弦值 .
17．（15分）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆的左､右顶点，
为椭圆的上顶点，且 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 交椭圆于 两点，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
求 的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据数量积公式，可得 关系，根据离心率，可得 的关系，联立求
解，即可得答案.
（2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设 ，可得 ， 表达式，
由题意得 的表达式，化简整理，即可得答案.
【详解】（1）由题意 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又离心率 ，解得 ，联立解得 ，所以椭圆的标准方程为 .
（2）将直线与椭圆联立 ，得 ，
设 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以
.
18．（17分）生产某种产品需要两道工序，已知各道工序加工相互独立，第一道工序加工
合格的概率为 ，第二道工序加工合格的概率为 ，只有两道工序加工均合格，产品才合
格．
(1)求一件产品不合格的概率；
(2)每件产品的每一道工序均需要验收，若一道工序加工不合格，则需要返工至工序合格．
已知每件产品的第一、第二道工序加工的成本分别为30元、40元，每一道工序返工至合
格的成本为20元，求一件合格品的平均生产成本．
【答案】(1)(2) 元
【分析】（1）一件产品不合格则两道工序加工有至少一道不合格，利用事件互斥与独立性
来求解；
（2）设变量 ：第一道工序加工至合格生产成本，变量 ：第二道工序加工至合格生产
成本，变量 ：一件合格品的生产成本；分析变量 的可能取值及概率，再分析变量 的
可能取值及概率，得到变量 的可能取值及概率，计算出 .
【详解】（1）设事件 ： 第一道工序加工合格,事件 ：第二道工序加工合格，事件 ：
一件产品不合格，
那么 ；
（2）设变量 ：第一道工序加工至合格生产成本，变量 ：第二道工序加工至合格生产
成本，变量 ：一件合格品的生产成本，
那么 可能取值为 ， 可能取值为 ，
， ，
的可能取值为 ，
，
，
，
.
19．（17分）已知函数 ， ．
(1)当 时，试证明函数 存在唯一零点，并求出该零点．
(2)当 时，设 ，且数列 的前n项和为 ，求证：
（i） ；（ii） ．
【答案】(1)证明见解析，零点为1．
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导 ，得到函数 在 上单调递增求解；
（2）（i）易证 ，当 时， ，从而得到 ，即
求解．（ii）当 时，由放缩法得 ，从而 ，再
结合（i）的结论得到 ，利用裂项相消法求解.
【详解】（1）因为 ， ，
所以函数 的定义域为 ， ．
令 ，则 ．
因为 ，所以 恒成立，
所以 恒成立，即 恒成立，
所以函数 在 上单调递增．
又因为 ，
所以函数 存在唯一零点，且零点为1．
（2）证明：（i）先证明 ．
令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以
，即 ．
当 时， ．
因为 ，所以 ，所以 ．
又 ，所以 ．
（ii）当 时，由放缩法得 ，所以 ．
由（i）知 ，
所以当 时，
，
即 ．
又当 时， ，满足 ，
所以 成立．
