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第三章 一元函数的导数及其应用
进阶篇 不等式恒(能)成立问题
进阶 4 端点效应
【高考考向预测】
近三年高考导数恒成立题型里端点效应考查频次极高，是快速求参、缩小范围的常用解题技
巧，常先利用区间端点取值锁定参数初步范围，再充分验证必要性与充分性，多用于不等式恒成
立、参数取值范围类大题；预测2027年依旧会高频融入导数压轴题，命题更隐蔽化，侧重双端点、
隐端点以及分段区间端点综合考查，弱化直白套路，强化端点试探结合单调性分析论证，注重规
范书写避开逻辑漏洞，侧重考查严谨解题思维。
重点解读 端点效应法是一种必要性探路法，是指对某些与函数有关的恒成立问题，通过选取函数
定义域内的某些特殊值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内进行讨论，或去
验证其充分性，进而得到参数的准确范围的方法.
【核心梳理●明考点】
1.如图(1)，如果连续函数f(x)在区间[a，b]上单调，f(x)≥0恒成立，则f(a)≥0且f(b)≥0.
2.一阶端点效应：如图(2)，如果连续函数f(x)在某一点x 处的函数值f(x )恰好为零，则当x≥x 时，
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f(x)≥0恒成立的一个必要条件为端点x 处的导数值f'(x )≥0.因为如果f'(x )<0，那么函数会在x 右侧的
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一个小区间内先单调递减，此时函数f(x)在x≥x 时不恒为非负值，不满足要求，如图(3).
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这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应.
类似地，如果连续函数f(x)在某一点x 处的函数值f(x )恰好为零，当x>x 时，f(x)<0恒成立的一个必要
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条件为x 处的导数值f'(x )<0.
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3.二阶端点效应：如图(4)，如果连续函数f(x)在区间[a，b]上，f(x)≥0恒成立，且f(a)=0，f'(a)=0，则
f″(a)≥0.端点效应的核心思想是必要性探路，充分性护航.我们在解决这一类恒成立问题时，可以利用端点处需
满足的必要条件缩小参数的取值范围，而往往得到的范围即为所求，再去做充分性论证即可.
【题型突破●明方向】
题型一 一阶端点效应
例1 设函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf'(x)，x≥0，其中f'(x)是f(x)的导函数.若f(x)≥ag(x)恒成立，求实
数a的取值范围.
【跟踪训练】1 设函数f(x)=ex-e-x.若对任意x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围.
题型二 二阶端点效应
例2 (2026·蚌埠模拟)已知函数f(x)=(ax+1)ex-1(a∈R).
(1)若a=-2，求f(x)的极值；
(2)若f(x)≤(a+1)x对任意的x∈[0，+∞)恒成立，求a的取值范围.
【跟踪训练】2 (2025·辽宁名校联盟模拟)已知函数f(x)=2ex-ax2-2x-2(a∈R).
(1)当a=0时，求证：f(x)≥0；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
【限时训练】
（15分钟）
1.(17分)已知f(x)=2x-ln(2x+1)，g(x)=ex-x-1.
(1)求g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；(6分)
(2)当x≥0时，kf(x)≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围.(11分)
1 3
2.(17分)已知函数f(x)= ax2+(a-1)x+(1-2a)ln x，g(x)= ax-ex-1.
2 2
(1)当a>0时，讨论函数f(x)的单调性；(8分)
(2)若f(x)≥g(x)在区间(0，1]上恒成立，求实数a的取值范围.(9分)
