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第二章 函 数
§2.4 函数的周期性和对称性
【高考考向预测】
近三年高考函数周期性与对称性考查频次偏高，多在选择填空压轴位置出现，常结合奇
偶性、单调性综合命题，重点考查周期推导、对称关系转化以及利用性质求值与分析图像特征；
预测2027 年仍会维持高频考查态势，命题偏向多性质融合设问，侧重抽象函数周期与对称关系式
互推，强化利用性质求解函数值、判断区间解析式等题型，着重考查逻辑转化与数形结合解题能
力。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.( )
(2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称. ( )
(3)函数y=ln(-x)与y=ln x的图象关于x轴对称. ( )
(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称. ( )
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，则f(2 026.5)等于( )
17 5
A. B. C.2 D.1
16 4
3.下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是( )
A.y=ex-1 B.y=e1-x
C.y=e2-x D.y=ln x
4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点 .
【核心梳理●明考点】
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D
都有x+T∈D，且 f ( x + T )= f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
f(x)的最小正周期.
2.奇函数、偶函数的对称性
(1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a对称；
(2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点 ( a ， 0) 对称.
(3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 x = a ；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称
中心为 ( a ， 0) .3.两个函数图象的对称
(1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称；
(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 对称；
(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|；
1
(2)若f(x+a)= ，则T=2|a|；
f(x)
1
(3)若f(x+a)=- ，则T=2|a|.
f(x)
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=4|a-b|.
【题型突破●明方向】
题型一 函数的周期性
例1 (1)(2025·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，且当x∈(-2，0)时，
f(x)=log (x+3)，则f(2 025)-f(2 028)等于( )
2
A.1 B.-1
C.1-log 3 D.-1-log 3
2 2
(2)(2026·长沙模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，
(2 025)
f(x)=ax2+2.则f 等于( )
2
9 5 9 5
A. B. C.- D.-
2 2 4 2
【跟踪训练】1 (多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下
列结论正确的是( )
A.f(x+6)=f(x)
B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6
C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024)
3
D.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=
2
题型二 函数的对称性命题点1 自对称中的轴对称
例2 (多选)(2025·延边模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，
1]时，f(x)=x2，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最大值是1，最小值是0
B.当3≤x≤4时，f(x)=-(x-4)2
C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)在区间(3，5)上单调递增
命题点2 自对称中的中心对称
例3 (多选)下列说法中，正确的是( )
A.奇函数f(x)满足对∀x∈R都有f(x-4)-f(x)=0，则函数f(x)的图象关于点(4，0)对称
2x−1
B.函数f(x)= 的图象关于点(2，2)中心对称
x+2
x−3
C.函数f(x)=ln 的图象关于点(1，0)对称
x+1
D.函数f(x)满足f(x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称
命题点3 互对称问题
例4 已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象( )
A.关于直线x=1对称
B.关于直线x=3对称
C.关于直线y=3对称
D.关于点(3，0)对称
1
【跟踪训练】2 (1)(多选)(2026·茂名模拟)已知函数f(x)=sin x- ，则( )
sinx
A.f(x)的一个周期为π
B.f(x)的一个周期为2π
C.y=f(x)的图象关于点(π，0)对称
π
D.y=f(x)的图象关于直线x= 对称
2
2x−1
(2)(多选)已知函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)= ，且f(x)与g(x)的函数图
x−1
象恰好有2 026个不同的交点P (x ，y )，P (x ，y )，…，P (x ，y )，则下列叙述中正确的
1 1 1 2 2 2 2 026 2 026 2 026
是( )
A.f(x)的图象关于点(2，2)对称
B.g(x)的图象关于点(1，2)对称
C.x +x +…+x =2 026
1 2 2 026
D.y +y +…+y =2 026
1 2 2 026抽象函数的性质的综合应用
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题.函
数的奇偶性、对称性和周期性三者之间知二可求一，解题中常常需要函数性质之间的相互转化，以及
整体代换思想、赋值法等.另外函数的性质还常和导数一起考查，由复合函数的求导法则可知，在函数
有意义的前提下，奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数等一些常用结论可快捷解题.
典例 (1)(多选)(2025·菏泽模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，且∀x∈R，都
( 1) (3 )
有f x+ =f −x ，定义在R上的函数f'(x)为f(x)的导函数，则以下结论一定正确的是( )
2 2
A.4为f(x)的一个周期 B.f(x)为偶函数
(1) (3)
C.f'(x)为偶函数 D.f' =-f'
2 2
(2)(多选)(2025·徐州模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=-f(x)，且当 x∈[0，2]时，
f(x)=log (x+1)，则下列结论正确的是( )
2
A.f(3)=1
B.函数f(x)的图象关于直线x=4对称
C.函数f(x)在[-6，-2]上单调递减
D.若m∈(0，1)，则关于x的方程f(x)-m=0在[0，6]上的所有根之和为4
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.函数y=-ex与y=e-x的图象( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
( 3)
2.(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f − 等
4
于( )
1 1 1 1
A.- B.- C. D.
2 4 4 2(7)
3.(2025·泰州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，且f(x)在[-2，2]上单调递增.设a=f ，
4
(7)
b=f ，c=f(-13)，则( )
2
A.a<b<c B.c<b<a
C.b<a<c D.b<c<a
4.(2025·沧州期末)定义在R上的奇函数f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论错误
的是( )
A.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称
B.函数f(x)的图象关于点(1，0)对称
C.函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称
D.函数g(x)的图象关于点(2，0)对称
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2026·武汉模拟)已知函数f(x)=2sin x-2cos x，下列说法中正确的是( )
A.f(x)是周期函数
( π)
B.f(x)在 0， 上单调递增
2
C.函数f(x)为偶函数
(π )
D.函数f(x)的图象关于点 ，0 对称
4
π
6.(2025·汕头模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=tan
4
x，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
(4)
B.f =❑√3
3
C.f(x)在区间[2 023，2 025]上单调递增
❑√3
D.当x∈[0，20]时，方程f(x)= 的所有解的和为90
3
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2026·淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b= .
2
8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x3- ，两条直线l ，l 均过坐标原点O，l 和C交于M，N两点，l 和
x 1 2 1 2
C交于P，Q两点.若△OPM的面积为❑√2，则△MNQ的面积为 .
四、解答题(共26分)
9.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.(1)证明：f(x)是周期函数；(6分)
(2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(6分)
10.(链接教材，人教A版必修第一册P87习题3.2 T13)(14分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心
对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分)
(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”
的一个推广结论.(5分)
[每小题6分，共12分]
11.(多选)(2025·漳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，都有
f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则( )
A.f(0)=1
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称
D.2π是f(x)的一个周期
12.(多选)(2025·福州模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(-x)=1，则( )
A.f(x)的图象关于点(2，2)对称
B.f(x)是以8为周期的周期函数
C.g(x+8)=g(x)2 024
D. Σ f(4k-2)=2 025
k=1
