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第八章 平面解析几何
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在数轴上，已知 的中点为 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
2．已知点 ， ，则以 为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．4或 D． 或
4．若直线的截距式方程 化为斜截式方程为 ，化为一般式方程为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点 满足 ，若点 的轨迹关于直线
对称，则 （ ）
A．0 B．2 C．5 D．7
6．已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，左、右焦点分别为 ，延长 交椭
圆 于点 ．若点 到直线 的距离为 ， 的周长为16，则椭圆 的焦距为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．4
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 引圆 的切线，切点为，延长 ，交双曲线右支于点 ．若 为线段 的中点， 为坐标原点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在圆锥 中， 为底面圆 的直径，过 的中点 与 平行作平面截圆锥，得到截面与圆
锥侧面的交线是双曲线的一部分.若 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的充要条件为 或
B．若 ，则
C．若直线 不经过第四象限，则
D．若 ，则将直线 绕坐标原点按逆时针方向旋转 ，再向右平移一个单位长度，所得直线方程
为
10．已知 ，若过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于
点 与 不重合），则以下说法正确的是（ ）
A． B． 为定值
C． 的最大值为 D． 的最大值为
11．如图， ，弧 是以 为直径的圆上的一段圆弧，弧 是以 为
直径的圆上的一段圆弧，弧 是以 为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线 ，则（ ）A．曲线 与 轴围成的图形的面积等于
B．曲线 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．弧 所在圆的方程为
D．弧 与弧 的公切线方程为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．直线 和直线 的夹角为 ．
13．已知圆 ，圆 ， 分别为圆 和圆 上的动点，
为直线 上的动点，则 的最小值为 ．
14．如图，过双曲线 的右顶点 作斜率为1的直线 ，分别与两渐近线交于
两点，若 ，则双曲线 的离心率 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知直线 的方程为 ．
(1)证明：直线 过定点，并求定点到直线 的距离；
(2)当 为何值时，点 到直线 的距离最大？最大距离是多少？
16．已知抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合．(1)求抛物线 的方程；
(2)如图，若过点 的直线 与抛物线 交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明： ．
17．已知双曲线Γ： 的左、右焦点分别为 ， ，O为坐标原点.
(1)求 ， 的坐标及双曲线Γ的渐近线方程；
(2)是否存在过点 的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得 .若存在，求直线l
的方程；若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ， 为 上任意一点，
的内切圆半径的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)过点 的直线交 于 两点， 为 轴上一点，记 与 的面积分别为 ， ，
是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
19．由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶点组成的三角
形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，
并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．如图1，为左、右焦点分别为 ， ，上、右顶点分别为A，B
的椭圆 ，如图2，为左、右焦点分别为 ， ，上、右顶点分别为 ， 的椭圆 ．
(1)判断椭圆 与椭圆 是否是“相似椭圆”．若是，求出相似比；若不是，请说明理由，并找出椭圆 的一个“相似椭圆”．
(2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等．
(3)已知椭圆 ，椭圆 的离心率为 ， 与 是“相似椭
圆”，且 与 的相似比为 ，若 的面积为 ，求 的面积（用 ，k，S表示）．
