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专题04 二次根式比较大小的四种考法
类型一、平方比大小
例1．比较两数的大小：
3．
【答案】＜
【分析】先将两数都写成二次根式的形式，再比较被开方数的大小即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，解题关键是将它们都写成二次根式的形式．
例2．比较大小：
．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质即可求解．
【详解】解：∵
，
，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟知二次根式的性质．
【变式训练1】比较大小：
（填“
”、“
”或“
”）．
【答案】
【分析】将两数平方，根据结果比较大小．
【详解】解：
，
，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，涉及了二次根式的运算，解题的关键是灵活运用平
方法进行比较．
【变式训练2】比较大小
3；
；
6．（填“＞”“＜”或
“＝”）
【答案】 ＞ ＜ ＜
【分析】根据
，可比较
与3 的大小；
与
可直接比较；根据
，比较
与
的大小即可．
【详解】∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
故答案为：＞，＜，＜，
【点睛】本题考查实数的大小的比较，解题的关键是知道如果还有根号，首先通过乘方化
为根指数相同的根式，然后比较．
【变式训练3】比较大小：
．（用“＞”或“＝”或“＜”填空）
【答案】
【分析】利用平方运算比较
与
的大小，即可解答．
【详解】解：
，
，得：
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的基本方法是解题的
关键．
类型二、分母（分子）有理化比大小
例．阅读下列材料并回答问题．我们知道，
，
，…，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它
们的积不含二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如
与
互为有理化因式，
和
互为有理化因式．根据互为有理化因式的积是有理数，
可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理
化．例如：
．请解答下列问题：
（1）
分母有理化的结果是 ；
分母有理化的结果是 ；
（2）计算：
；
（3）若实数
，
，判断
和
的大小，并说明理由．
【答案】（1）
，
；（2）3；（3）
，理由见解析
【分析】（1）直接利用有理化因式的概念分析得出答案；
（2）利用有理化因式的概念化简求出答案；
（3）直接利用有理化因式的概念化简求出答案．
【详解】解：（1）
；
．
（2）
．
（3）
．
理由如下：
计算：
，
．
，
．即
．
【点睛】此题主要考查了有理化因式的概念，正确化简二次根式是解题关键
【变式训练1】比较大小：
．（用＞，＝或＜填空）
【答案】＞
【分析】先根据分母有理化的法则进行计算，
化简为
，再根据实数比较大
小的方法：若
，则
；若
，则
；若
，则
，即可
得出答案．
【详解】解：∵
，
又∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，实数的大小比较，平方差公式，掌
握相应的法则是解题的关键．
【变式训练2】满足不等式
的整数m 的个数是 ．
【答案】7
【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m 的个数．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
，
∵
<m<
，
3.312<
∴
m<10.472，
3.3121
∵
与10.472 之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7 个，
∴整数m 的个数是7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根
式．
【变式训练3】比较大小：
（填上“＞”或“＜”）
【答案】＞
【分析】利用它们的倒数来进行比较．
【详解】解：∵
，
又∵
，
∴
．
故答案为：＞
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进
行比较大小．
类型三、利用乘法公式比较大小
例．若
，
，
，则a，b，c
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根
式大小的比较办法，比较b、c 得结论．
【详解】解：a=2019×2021-2019×2020
=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020
=20202-1-20202+2020
=2019；
2022
∵
2-4×2021
=（2021+1）
2-4×2021
=20212+2×2021+1-4×2021
=20212-2×2021+1
=（2021-1）
2
=20202，
b=2020
∴
；
∵
，
c
∴＞b＞a．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较
等知识点．变形2019×2021-2019×2020、
，利用完全平方公式计算
出其值，是解决本题的关键．
【变式训练1】已知：
，
，
，则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用平方差公式进行二次根式的运算，再比较大小即可．
【详解】
，
，即
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式、二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题关键．
【变式训练2】若
，则a，
b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别将a、b、c 平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比
较得出结论．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∵
，即
，
∵a、b、c 都是大于0 的实数，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计
算出值，是解决本题的关键．
类型四、作差移项比较大小
例．比较大小：
．
【答案】＞
【分析】先求
，
，得到
，变形即可得到：
．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
．
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进行变形．
【变式训练1】比较大小：
．
【答案】
【分析】首先分别求出
、
的平方，然后根据实数大小比较的方法，判断
出
、
的平方的大小关系，即可判断出
、
的大小关系．
【详解】解：解：
，
，
∴
故答案为：
．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
正实数
负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【变式训练2】已知0＜a＜b，x=
，y=
，则x，y 的大小关系是（ ）
A．x＞y
B．x=y
C．x＜y
D．与a、b 的取值有
关
【答案】C
【详解】试题分析：x-y=
，
0
∵＜a＜b，
∴
＜4b
∴
＜0，∴x-y＜0．
故选C．
课后训练
1．已知
，
，
，那么a，b，c 的大
小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先把
化为
再结合
从而可得答案．
【详解】解：∵
，
，
，
而
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大
小比较的方法”是解本题的关键．
2．比较下列两个数的大小：
．（用“>”或“<”号填空）
【答案】
【分析】根据二次根式比较大小的方法求解即可．
【详解】解：
，
，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了比较二次根式的大小，正确化简两个二次根式是解题的关键．
3．比较大小：
．（填“
”、“
”或“
”）．
【答案】
【分析】运用平方法来比较二次根式的大小即可．
【详解】解：
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了比较二次根式大小的方法，两边同时平方，转化为比较幂的大小，此
法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方
大的数反而小．
4．①比较大小：
（填“
”、“
”、“
”），
②化简
．
【答案】
/
【分析】①先比较
，推出
，即可求解；
②判断
，再利用二次根式的性质化简．
【详解】解：
，
，
∵
，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
．
故答案为：
；
．
【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，二次根式的化简，，解题的关键是掌握实数大
小比较的方法．
5．比较大小：
（填“
”“
”或“
”）
【答案】
【分析】先把
化为
的形式，再根据负数比较大小的法则进行比较即可．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
，即
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，根据题意把
化为
的形式是解答此题的关
键．
6．比较大小
，
．
【答案】 ＜ ＜
【分析】前一题先分别求得相应的倒数，通过比较倒数的大小从而判断原数的大小，后一
题先分别求得对应的平方结果，进而可比较原数的大小．
【详解】解：∵
，
，
又∵
，
∴
，
∴
；
∵
，
，
又∵
，
∴
，
∴
．
故答案为：＜；＜．
【点睛】本题考查了二次根式的比较大小：结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选
择恰当的方法比较二次根式的大小是解决本题的关键．
7．将
从小到大排列 ．
【答案】
【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．
【详解】
，
，
，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．
平方法是比较二次根式的大小常用的方法．
8．比较大小：
；
；
.
【答案】
【分析】根据二次根式性质比较大小即可得到结论．
【详解】解：①
，
；
②
，
；
③
，
，
，
，即
；
故答案为：
；
；
．
【点睛】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键．
9．比较实数的大小:(1)
；（2）
【答案】
【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再
根据差的正负比较即可．
【详解】(1)
(2)
∵
∴
∴
故答案为
，
．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．
10．阅读下列解题过程：
＝
＝
；
＝
＝
；
＝
＝
＝2﹣
；…则：
（1）
＝ ；
＝ ；
（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子
＝ ；
（3）利用上面的规律：比较
﹣
与
﹣
的大小．
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）
﹣
＞
﹣
【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．
（2）分子分母同时乘以
即可求出答案．
（3）将两个数化为
的形式即可求出答案．
【详解】解：（1）
；
；
（2）由题意可知：
．
（3）由于
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：（1）
，
．
（2）
．
【点睛】本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的混合运算、实数大小比较，解
题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
