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专题04 二次函数实际应用的四种考法
类型一、销售利润问题
例．2023 年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50 元的价格购进某款亚运
会吉祥物，以每件80 元的价格出售，每日可售出200 件．从7 月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈
顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1 元，日销售量就会增加20 件．
(1)设定价为x 元，日销售量为y 件．试用含x 的式子表示y，
；
(2)当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500 元？
(3)请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？
【答案】(1)
(2)
元
(3)每件售价为
元时
【分析】（1）销售量
降价前每日销售量
降价所增加的销售量，据此即可求解；
（2）每件所获利润日销售量
元，据此即可求解；
（3）设日销售利润为
元，日销售利润
每件所获利润日销售量，据此即可求解．
【详解】（1）解：
，
故答案：
；
（2）解：由题意得
，
整理得：
，
解得：
，
，
降价促销，
舍去
，
答：该吉祥物售价为
元时，日销售利润达7500 元．
（3）解：设日销售利润为
元，由题意得
，
，
当
时，
（元）；
答：每件售价为
元时，可使日销售利润最多．
【点睛】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中
的应用，找出等量关系式是解题的关键．
【变式训练1】．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60 元．市场调查发现，
若双肩包定价为110 元，则一个月的销售量为300 个，若每降价1 元，则每个月可以多销售10 个．设这种
双肩包的单价为
元，一个月的销售利润为
元．
(1)求
与
之间的函数关系式；
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)该商店热心公益事业，决定从这种双肩包每月的利润中捐出1750 元给希望工程，为了保证捐款后每月
剩余利润不低于12000 元，求销售单价
的范围．
【答案】(1)
(2)销售单价定为100 元时，每月的销售利润最大，最大利润为16000 元
(3)
【分析】（1）每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润；
（2）把函数解析式配方成顶点式，可得答案；
（3）根据（2）的解析式建立方程，求出其解，然后数形结合即可求解．
【详解】（1）解∶根据题意，得
，
即
；
（2）解：
，
∵
，开口向下，
∴当
时，
有最大值为16000，
即销售单价定为100 元时，每月的销售利润最大，最大利润为16000 元；
（3）解：由题意，知
，
解得
，
，
∵
，开口向下，
结合图象可知：当
时，
，
∴销售单价
的范围为
．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式，掌握二次函数图象
和性质的运用．
【变式训练2】．大锦农某品种苹果，进价为10 元/千克，根据张丽同学调研发现：每天销量
(千克)与销
售单价(
元/千克)存在一次函数关系．
(1)求
与
之间的函数关系式(不要求写出自变量取值范围)；
(2)怎样确定销售价才能使该品种苹果每天销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)当销售单价为
元/千克时，每天可获得最大利润
元
【分析】（1）由图象过点
和
，利用待定系数法求直线解析式；
（2）设每天的利润为
，根据每天利润
每千克的利润销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【详解】（1）解：设
，由图象过点
和
，
∴
，
解之，得：
，
∴
；
（2）设每天的利润为
，
则
，
，
有最大值，
当
时，
．
即当销售单价为
元/千克时，每天可获得最大利润
元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式训练3】．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25 元到45 元之间．专卖店在销售
该产品的过程中发现：销售该产品的成本
（单位：元）与销售件数
（单位：件）成正比例．同时每天
的销售件数
与销售价格
（单位：元件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4 天销售
产
品的一些数据．
销售价格
（单位：元
件）
25
30
32
38
销售件数
（单位：件）
35
30
28
22
销售成本
（单位：元）
210
180
168
132
(1)直接写出
与
之间的函数关系式；
(2)若一天的销售利润为
，当销售价格
为多少时，
最大？最大值是多少？
(3)该专卖店以每件返现
元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当
元件时，一天可获得的
利润为600 元，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)当
时，w 最大，最大值为
；
(3)4．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）用待定系数法求得成本q 与销售件数y 之间的函数关系式，进而得出q 关于x 的函数关系式，则可写
出w 关于x 的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）根据
得出w 关于x 的二次函数，写成其对称轴，让其等于40，可解得a 的值．
【详解】（1）∵y 与x 之间满足一次函数关系，
∴设其解析式为
，
将
，
代入，
得
解得：
，
经检验，其它各组数据也满足函数关系式，
∴y 与x 之间的函数关系式为
；
（2）∵销售A 产品的成本q（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例，
∴设其解析式为
，
将
代入，得
，
解得
，
∴
由（1），
，
∴
，
∴
，
∴当
时，w 最大，最大值为
．
∴当销售价格x 为
元时，w 最大，最大值是
元；
（3）由题意得：
，
把
代入得
．
答：a 的值是4．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是
解题的关键．
【变式训练4】．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80 元，市场调查发现，该
种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：
，设这种电
子鞭炮每天的销售利润为w 元
(1)求w 与x 之间的函数关系式；
(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2 400 元的销售利润，又想卖得快，则销售单价应定为多少元?
【答案】(1)
(2)当单价定为120 元时，每天的销售利润最大，最大利润是3 200 元
(3)100 元
【分析】（1）用每件的利润乘以销售量即可得到每天的销售利润，然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求函数值2400 为所对应的自变量的值，即解方程求出，然后利用“想卖得快”确定的x 值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
当
时，w 有最大值3 200，
所以当单价定为120 元时，每天的销售利润最大，最大利润是3 200 元；
（3）解：由题意，
，
解得：
，
当
时，
，
当
时，
，
因为想卖得快，所以销售单价应定为100 元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其
最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量
的取值范围．
类型二、喷水问题
例．如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安置一根水管，在水管的顶端A 安一个喷水头，使喷出的
抛物线形水柱与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m．以水管与地
面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，每个
单位长度表示1m．
(1)求水管
的长度．
(2)如图2，
是图中抛物线上一动点，点
与点P 关于y 轴对称，画出点
所在的抛物线的草图，并
直接写出点
所在抛物线的解析式及自变量的取值范围．
(3)将水管OA 喷水头往上平移
m，求水柱落地处离池中心的距离．
【答案】(1)
(2)图像如图所示，
(3)
【分析】对于（1），根据题意可知图象的顶点坐标为
，经过点
，再设顶点式并求出，令
可
得答案；
对于（2），先画出图象，再确定点
的坐标，进而得出关系式，并求出自变量取值范围；
对于（3），先求出平移后的关系式，再令
，可得答案．
【详解】（1）根据题意可知图象的顶点坐标为
，经过点
．
设二次函数的关系式为
，根据题意，得
．
又∵图象经过点
，
∴
，
解得
，
∴二次函数的关系式为
．
当
时，
，
∴
m．
（2）如图所示．
由（1），得二次函数的关系式为
．
则点
关于y 轴对称的点的坐标为
，
∴点
所在抛物线的关系式为
（
）；
（3）将水管喷头往上平移
，可得关系式为
．
令
，得
，
解得
或
（舍）．
所以水柱落地后离中心的距离是
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，画二次函数图像，二次函数图像的平移，二次函
数的对称性等，选择适当的关系式是解题的关键．
【变式训练1】．如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点
O 处有一个喷水头，距离喷水头
的M 处有一棵高度是
的树，距离这棵树
的N 处有一面高
的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度
与水平距离
近似满
足函数关系
．
(1)某次喷水浇灌时，测得x 与y 的几组数据如下：
0
2
6
10
12
0
①根据上述数据，求满足的函数关系；
②求喷水头喷出的水柱最大高度；
(2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系
．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出同时满足这两个要求的
常数b 的范围_________．
【答案】(1)①
；②
(2)
【分析】（1）①用待定系数法求出二次函数解析式即可；
②根据函数解析式求出喷水头喷出的水柱最大高度即可；
（2）根据函数解析式求出当
时，
，当
时，
，列出b 的不等式，求出b 的取值范
围即可．
【详解】（1）解：①将
，
，
代入解析式得：
，
解得：
，
∴函数解析式为：
．
②
，
∵
函数开口向下有最大值，
∴当
时，
．
答：喷水柱最大高度为
．
（2）解：∵水柱能越过树，
∴当
时，
，
∴
，
∴
∵水柱不会浇到墙外，
∴当
时，
，
∴
，
∴
，
综上所述
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出二次函数解析式．
【变式训练2】．为应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能演习．如图，在一个废弃高楼距地面10m 的
点A 至16m 的点B 处，设置了一个火源段（含点A 与点B），消防员站在高楼前且与高楼水平距离为t 米
位置使用高压水枪灭火，水枪喷出的水流可看作抛物线的一部分，且每次水流所在抛物线的形状完全相同．
水流达到火源段（线段
）中某一处，则视为有效灭火．如图1，消防员甲灭火时站在水平地面的点C
处，水流从C 点射出恰好到达点A 处，且水流的最大高度为18m，水流的最高点到高楼的水平距离为
4m，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二
次函数关系．
(1)求消防员甲灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)如图2，消防员乙站在水平地面的点D 处进行灭火，此时
，请判断他是否有效灭火，并说明理由；
(3)若要有效灭火，请直接写出t 的取值范围．
【答案】(1)
(2)是有效灭火，理由见解析
(3)t 的取值范围为
【分析】（1）根据函数顶点坐标
且过
，可设抛物线解析式为
，再待定系
数法求解析式即可求解；
（2）利用平移求出消防员乙灭火时水流所在抛物线的解析式的解析式，再令
，求解函数y 的值，再
比较即可求解；
（3）由
，当
时，
，解得：
，
（舍去），当抛物线
往左平移
个单位，抛物线过
，可得平移后的抛物线为：
，当
时，
，解得：
，
（舍去），从而可得答案．
【详解】（1）解：依题意顶点坐标为
，
∴设抛物线解析式为
，
将点
代入得，
，
解得：
，
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式
；
（2）是有效灭火，理由如下，
依题意，消防员乙灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移1 个单位得到
∴消防员乙灭火时水流所在抛物线的解析式为
，
令
，解得：
，
而
，
即消防员乙灭火是有效灭火．
（3）∵
，
当
时，
，
解得：
，
（舍去），
当抛物线
往左平移
个单位，抛物线过
，
∴
，
∴
，
∴
或
（不符合题意，舍去）
∴平移后的抛物线为：
，
当
时，
，
解得：
，
（舍去）
∴要有效灭火， t 的取值范围为
．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质
是解题的关键．
【变式训练3】．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口
离地竖直高度为
米．建立如图2 所示
的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽
象为矩形
，其水平宽度
米，竖直高度
米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移
得到，上边缘抛物线最高点
离喷水口的水平距离为2 米，高出喷水口
米，灌溉车到绿化带的距离
为
米．
(1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程
；
(2)求下边缘抛物线与
轴交点
的坐标；
(3)若
米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程
为
；
(2)
；
(3)不能．
【分析】（1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解；
（3）根据题意，求得点
的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点
即可；
【详解】（1）解：由题意可得：
，
且上边缘抛物线的顶点为
，故设抛物线解析式为：
将
代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将
代入可得：
解得：
（舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水的最大射程
为
；
（2）由（1）可得，
上边缘抛物线为：
，可得对称轴为：
点
关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移
个单位，得到下边缘抛物线，
即下边缘的抛物线解析式为：
将
代入可得：
解得：
（舍去）或
即点
；
（3）∵
，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将
代入到
可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求解析式，与
轴交点等问题，解题的关键是理
解题意，正确求得解析式．
类型三、拱桥问题
例．如图1 是某公园内的一座拱桥．如图2 是其桥拱的截面示意图，可视为抛物线的一部分．某时测得桥
拱内的水面宽
，桥拱顶点C 到水面的距离是
．据调查，该河段水位在此基础上再涨
达到
最高．
(1)按如图2 所示建立平面直角坐标系，求桥拱截面所在抛物线的函数表达式．
(2)为迎佳节，拟在图1 桥拱内壁上悬挂
长的灯笼，为了安全，灯笼底部距离水面不小于
，请确定
悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
(3)桥拱截面所在抛物线在
轴下方的部分与桥拱
在平静水面中的倒影组成一个新的函数图象
，如图
3．将图象G 向右平移
个单位长度，平移后的函数图象在
时，y 随x 的增大而减小，请直
接写出
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【分析】（1）设桥拱截面所在抛物线的函数表达式为
，把点
代入求解即可；
（2）将
代入先求出自变量的值，然后借助图像写出自变量的取值范围；
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到
的范围．
【详解】（1）由题意，得
，
，顶点
．
设桥拱截面所在抛物线的函数表达式为
．
将点
代入
，
得
，
解得
．
∴桥拱截面所在抛物线的函数表达式为
．
（2）由题意，得悬挂点的纵坐标的最小值为
．
将
代入
，得
，
解得
或
．
∴悬挂点的横坐标的取值范围为
．
（3）∵抛物线
的对称轴为直线
，
∴图象G 的对称轴也是直线
，且当
或
时，y 随x 的增大而减小．
∴将图象G 向右平移
个单位长度后，可得平移后函数图象的对称轴是直线
，
且当
或
时，y 随x 的增大而减小．
∵图象G 平移后得到的函数图象中，当
时，y 随x 的增大而减小，
∴
且
或
．当
且
时，解得
．
当
时，解得
．由题意，知
，
∴
不符合题意，舍去．
综上所述，m 的取值范围是
．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次
函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．
【变式训练1】．如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度
为12 米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，建立平面直角坐
标系，把测量得到的数据记入下表：
x（米）
－6
－4
－2
0
2
4
6
y（米）
－3.02
－1.33
－0.31
0
－0.32
－1.33
－2.99
(1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1 米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）；
(3)现有一艘宽4 米，高2 米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应
点的距离不小于0.5 米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)能
【分析】（1）根据表格中数据进行描点、连线即可；
（2）根据图象得出
时，
或
，然后可得答案；
（3）根据表格中数据求出
和
时纵坐标的值，求得其差得出船靠中间行驶时，船左右两边到竖
直方向上拱桥桥洞对应点的距离，然后进行判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）由图象可得：当
时，
或
，
∴拱桥的桥洞在拱顶下方1 米的位置宽度约是
米，
故答案为：
；
（3）由表格中数据可得，当
时，
；当
时，
，
当
时，
；当
时，
，
∵
米，
，
∴这艘船能安全通过，
故答案为：能．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意，利用函数图象的性质解决问题是解题的关键．
【变式训练2】．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6 米，宽度
为12 米．现以
O 点为原点，
所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图1 所示）．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”
，使A、D 点在抛物线上．B、C 点在地面
线
上（如图2 所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆
、
、
的长度之和的最大值是多
少，请你帮施工队计算一下．
【答案】(1)
(2)当点A 在
，点B 在
，点
，点
时“脚手架”三根木杆
、
、
的长度
之和最大，最大值是15
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）设点A 的坐标为
，则点B 的坐标为
，点D 的坐标为
，
点C 的坐标为
，
，求出最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为
且经过原点
，
设抛物线的解析式为
，
则
，
解得
，
即这条抛物线的函数解析式为：
；
（2）解：设点A 的坐标为
，则点B 的坐标为
，点D 的坐标为
，点C 的坐标为
，
∴
，
∴当
时，
的和取得最大值，此时
的最大值是15，
即当点A 在
，点B 在
，点
，点
时“脚手架”三根木杆
、
、
的长度
之和最大，最大值是15．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求二次函数的最值，
解题的关键是求出
的关系式．
【变式训练3】．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数
表达式为，
为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面
高为8 米的点
，
处要安装两盏
警示灯，则这两盏灯的水平距离
是多少米？（精确到1 米）
【答案】
【分析】可得
，从而可求
，
，由
即可求解．
【详解】解：由题意得
，
，
解得：
，
，
，
，
，
，
(米)；
答：这两盏灯的水平距离
是
米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，无理数估算，掌握解法是解题的关键．
【变式训练4】．如图1 为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q 为顶点，其高为
6 米，宽
为12 米．以点O 为原点，
所在直线为x 轴建立直角坐标系．
(1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽1 米的值班室），其中的一条行车道能否行驶
宽2.5 米、高3.5 米的消防车辆？请通过计算说明；
(3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”
，使点A，D 在抛物线上，点B，C 在
上，求出所需的三根“光带”
，
，
的长度之和的最大值．
【答案】(1)
；
(2)能，理由见解析；
(3)
米时，三根“光带”长度之和L 的最大值为15 米．
【分析】（1）根据所建坐标系知顶点P 和与x 轴交点M 的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x 的取值
范围是
；
（2）根据对称性当车宽2.5 米时，
或9，求此时对应的纵坐标的值，与车高
米进行比较得出结论；
（3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和，再运用性质求最大值，可设点A 或点B 的坐标表示三段
的长度从而得出表达式．
【详解】（1）解：∵
，
．
∴设这条抛物线的函数解析式为
，
∵抛物线过
，
∴
，解得
，
∴这条抛物线的函数解析式为
， 即
.
（2）当
时，
，
故能行驶宽2.5 米、高
米的消防车辆．
（3）设点A 的坐标为
，则
，
，
根据抛物线的轴对称，可得：
，
∴
，即
，
令
，
当
时，最大值为：
，
故当
，即
米时，三根“光带”长度之和L 的最大值为15 米．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．关键是首先要吃透题意，确定变量，建立函数
模型，然后利用函数性质解决问题．
类型四、图形运动问题
例．如图，菱形
的边长为6
，
，点E 为
的中点，动点P 以2
的速度沿A→B→E
运动，动点Q 以1
的速度沿B→D 运动．点P，Q 分别从A，B 两点同时出发，当其中一点到达终点时，
另一点也随之停止运动．设点P 运动的时间为
s，
的面积为y
，则y 与x 之间的关系用图象大致
可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分两种情况：点P 在
上运动和点P 在
上运动，分别求出解析式即可．
【详解】∵四边形
是菱形，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形．
①当点P 在
上运动，即
时，
，
，
过点P 作
于点N，
∵
是等边三角形，
∴
，
∴在
中，
，
∴
，
即y 与x 之间的函数解析式为
；
②当点P 在
上运动，即
时，
，
过点P 作
于点M，
∵
是等边三角形，
∴
，
∴在菱形
中，
∴在
中，
，
∴
，
即y 与x 之间的函数解析式为
；
综上所述，y 与x 之间的函数解析式为
，
图象为：
．
故选：B
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解题的关键．
【变式训练1】．如图，在
中，
，E 是
边上一动点，沿
A→C→B 的路径移动，过点E 作
，垂足为D．设
，
的面积为y，则下列能大致反
映y 与x 函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分类讨论①当点E 在
上②当点E 在
上的情况，利用相似三角形的判定与性质，即可求解．
【详解】解：在
中，
，
由勾股定理可得
，
①当点E 在
上时，如图，
∵
，
∴
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
此时
，即
，
∴
是开口向上的一段抛物线；排除
，
②当点E 在
上时，
，如图，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，为开口向下的抛物线，
故选：
．
【点睛】本题考查了动点问题与相似三角形的综合．分类讨论是解题关键，熟记相似三角形的判定与性质
定理内容是推理关键．
【变式训练2】．如图，正方形
边长为1，E、F、G、H 分别为各边上的点，且
，设小正方形
的面积为s，
为x，则s 关于x 的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理得到
，即可得到s 关于x 的函数关系式，进行判断即可．
【详解】解：∵正方形
边长为1，
，
∴
，
，
在
中，
，
即：小正方形
的面积
；
∴图象为开口向上，顶点为
的抛物线在
上的部分，
故只有选项B 符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是根据题意求出函数关系式．
【变式训练3】．如图，正方形
的边长为
，动点
，
同时从点
出发，以
的速度分别
沿
和
的路径向点
运动．设运动时间为
（单位：s）四边形
的面积为
（单位：
），则
与
（
）之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①
时，根据四边形
的面积的面积
，
列出函数关系式，从而得到函数图象；②
时，根据四边形
的面积
，列出函数
关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】解：①
时，
∵正方形的边长为
，依题意得：
∴
，
②
时，依题意得：
，
所以，y 与x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B 选项图象符合．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
【变式训练4】．如图，在
中，
，
，
，动点P 从点B 出发以
的速
度沿
方向匀速移动，同时动点Q 从点B 出发以
的速度沿
方向匀速移动．设
的面积为
，运动时间为
，则下列图象能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，进行分类讨论：当点P 在
上时，
，根据
，得出
；当点P 在
上时，过点P 作
于点H，易证
，得出
，根据
，即可得出
．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
，
∴点P 经过的路程为：
，点Q 经过的路程为
，
∴点P 到达点C 时间为
，点Q 到达点C 时间为
，
即点P 和点Q 同时到达点C，
当点P 在
上时，
，
，
即
，
当点P 在
上时，过点P 作
于点H，
∵
，
，∴
，
∵
，
，
∴
，∴
，
∴
，即
，
整理得：
，
∴
，
即
，
综上：当点P 在
上时，
，是开口向上的二次函数；当点P 在
上时，
，是开口
向下的二次函数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌
握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方；相似三角形对应边成比例；以及二次函数的图象．
课后作业
1．如图，四边形
是菱形，边长为4，
，垂直于
的直线
从点A 出发，沿
方向以每
秒1 个单位长度的速度向右平移，设直线P 与菱形
的两边分别交于点E，F（点E 在点F 的上方），
若
的面积为y，直线
的运动时间为x 秒
，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】当
时，利用三角函数求出
，列出y 与x 的函数关系式；当
时，
为常数
，列出y 与x 的函数关系式．
【详解】解：∵四边形
是菱形，边长为4，
，
∴当E 和点B 重合时，
，
当
时，
，
∴
，
即
，
∴y 与x 的函数是二次函数，
∴函数图象为开口向上的二次函数；
②当
时，
为常数
，
∴
，
即
，
∴y 与x 的函数是正比例函数，
∴函数图象是一条直线，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，三角形面积，二次函数图像，一次函数图像，菱形的性质
等知识，能根据这些知识进行计算是解题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．
2．如图，在
中，
，
，点
分别为
的中点，点P 从A 点向D 点
运动，点Q 在
上，且
，连接
，过点Q 作
交AB 与点F，设点P 运动的路程为x，
的面积为
，则能反映y 与x 之间关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过点
作
于点
，延长
交
的延长线于点
，利用矩形的判定与性质可得
；设
，利用相似三角形的判定与性质求得
，进而求得
，
的长，利用
求得
与
之间关系，再利用二次函数的性质和
的取值范围解答即
可得出结论．
【详解】解：过点
作
于点
，延长
交
的延长线于点
，如图，
点
、
分别为
，
的中点，
，
，
，
，
，
四边形
为矩形，
．
，
，
．
，
，
．
为等腰直角三角形，
．
设
，
由题意得：
，则
，
，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
解得：
，
．
．
，
，
，
抛物线的开口方向向上，顶点为
由题意：
的取值范围为：
，
当
时，
，当
时，
，
与
的函数图象是以点
和
为端点的抛物线
上的一部分，
故选：
．
【点睛】本题主要考查了动点问题函数的图象，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位
线定理，二次函数的图象与性质，求得
与
之间函数关系式是解题的关键．
3．如图，在矩形
中，
，
，点E 是线段
的三等分点（
），动点F 从点
D 出发向终点E 运动，以
为边作等边
，在动点F 运动的过程中，阴影部分面积的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】连接
，
，过
作
，垂足为H，利用勾股定理求出
和
，设
，求出
和
，利用
表示出阴影部分的面积，利用二次函数的最值求解即可．
【详解】解：如图，连接
，
，过
作
，垂足为H，
∵
，
，点E 是线段
的三等分点（
），
∴
，
，
∴
，
设
，则
，
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
令
，则
，
∴
，
则
，
当
时，
最小，且为
，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是正确表
示出阴影部分的面积，利用二次函数的性质求解．
4．某公园在在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看
作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，
获得如下数据；在距立柱水平距离为d 米的地点，水柱距离湖面的高度为h 米．
（米）
（米）
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度为 m；
(3)求所画图象对应的函数表达式；
(4)从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落
点到护栏的距离不能小于0.5 米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因
素）．
【答案】(1)见解析；
(2)5．
(3)
(4)公园至少需要准备68 米的护栏．
【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可；
（2）观察图象即可；
（3）由表中点
，
，
，
，可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物线解析式为顶点式
即可，再找点
，
代入即可求得解析式；
（4）在求得的解析式中令
，则可求得
的值，即可确定所需护栏的长度．
【详解】（1）解：坐标系及图象如图所示．
（2）解：由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为
，
故答案为．
（3）解：∵抛物线经过点
，
，
，
，
∴抛物线的对称轴为
．
∴抛物线的顶点坐标为
，
．
设抛物线的函数表达式为
．
把
，
代入，解得
．
∴所画图象对应的函数表达式为
．
（4）解：令
，解得
（舍），
．
∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为米．
∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于
米，
∴正方形护栏的边长至少为
米．
则公园至少需要准备
（米）的护栏．
【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次
方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中画出某水利工程公司开挖的水渠横截面，该水渠呈抛物线形，其宽度
米．某日，当水渠内的水面宽度
为24 米时，水面与两岸的竖直高度为
米．
(1)求该抛物线对应的函数表达式．
(2)若水渠中原水面的宽度
减少为原来的一半，则水渠最深处到水面的距离减少多少米？
【答案】(1)该抛物线对应的函数表达式为
(2)水渠最深处到水面的距离减少了
米
【分析】（1）设水渠横截面的表达式为
，根据题意得
，
，解方程组即可得到
结论；
（2）由（1）得
，根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设水渠横截面的表达式为
，
根据题意得
，
，
，
解得
，
该抛物线对应的函数表达式为
；
（2）由（1）得
，
根据题意得当水渠内的水面宽度
为24 米时，水渠最深处到水面的距离为
（米），
当水渠中原水面的宽度
减少为原来的一半时，令
，则
，
此时水渠最深处到水面的距离为
（米），
水渠最深处到水面的距离减少
（米）．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
6．如图，某小区准备用总长
的篱笆围成一块矩形花圃
．为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，
另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆
与
将矩形
分割成
三块矩形区域，而且这三块区
域的面积相等，设
．
(1)填空：
__________m．（用含x 的代数式表示）
(2)当矩形区域①的面积为
时，求
长．
(3)当围成的花圃
的面积最大时，求
长．
【答案】(1)
(2)
长为
或
(3)
长为
【分析】（1）设
，则
，然后根据总长
列式求解即可；
（2）根据矩形区域①的面积为
列方程求出x，然后分情况计算
的长即可；
（3）根据矩形的面积公式列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质得出答案．
【详解】（1）解：∵将矩形
分割成
三块矩形区域，而且这三块区域的面积相等，
∴
，
，
，
设
，则
，
∵
，即
，
∴
，
故答案为：
；
（2）解：∵
，
，
∴
，
，
∵矩形区域①的面积为
，
∴
，即
，
整理得：
，解得：
，
，
∴
或
，
答：
长为
或
；
（3）解：∵
，
，
∴
，
∴当
时，围成的花圃
的面积最大，此时
，
答：当围成的花圃
的面积最大时，
长为
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，二次函数的应用等知识，熟练掌握矩形的性质，
正确列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键．
7．2022 年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进
价为每件
元，当销售单价定为
元时，每天可售出
件，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的
降价措施，经调查发现：销售单价每降低１元，则每天可多售出2 件（销售单价不低于进价），若设这款
文化衫的销售单价为x（元），每天的销售利润为y（元）．
(1)当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为
元；
(2)当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)
元或
元
(2)当销售单价为
元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为
元．
【分析】（1）根据“销售单价每降低1 元，则每天可多售出2 件”求出销量，利用销量乘以每件的利润即
可得到总利润列出方程，解方程即可得到答案；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
解得
，
答：当销售单价为
元或
元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为
元；
（2）设销售这款文化衫每天所获得的利润为w，由题意可得：
，
整理，得：
，
，
当
时，w 取最大值为
，
当销售单价为
元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为
元．
【点睛】此题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程和函数关系式是解题
的关键．
