重难点18 平面向量中的最值（范围）、新定义问题
【全国通用】
【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】.....................................................................................................2
【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】.................................................................................3
【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】.........................................................................................................3
【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】.........................................................................................................4
【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】.................................................................................................5
【题型6 平面向量中的新定义问题】......................................................................................................................6
1、平面向量中的最值（范围）、新定义问题
平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的
交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系
数的范围等，复习时要加强这方面的训练.
从近几年的高考情况来看，平面向量的新定义问题也是高考的一个重要趋势，解决此类问题要注意对
新定义、新概念的理解.
知识点
1 平面向量中的最值与范围问题的解题
策略
1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：
(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形
的特征直接进行判断；
(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程
有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：
(1)定义法
①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；
②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.
(2)坐标法
①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；
②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.
(3)基
底
法
①适当选取一组基底，利用基底转化向量；
②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可
得出结论.
知识点
2 平面向量中的新定义问题
1．平面向量中的新定义问题的求解策略
遇到与平面向量有关的新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要
求，“照章办事”，逐条分析，结合平面向量的相关知识进行求解，验证，使得问题得以解决.
【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】
【例1】（2025·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB =5，AD = 4，点E满足2⃗AE =3⃗EB，在平面
ABCD中，动点P满足⃗PE⋅⃗PB =0，则⃗DP⋅⃗AC的最大值为（ ）
A．❑√41+ 4
B．❑√41−6
C．2❑√13+ 4
D．2❑√13−6
【变式1-1】（2025·江西鹰潭·二模）在Rt△ABC中，角A ,B ,C所对应的边为a,b,c,A =π
6
，C =π
2
，
c =2，P是△ABC外接圆上一点，则⃗PC ⋅(⃗PA +⃗PB)的最大值是（ ）
A．4
B．2+ ❑√10
C．3
D．1+ ❑√10
【变式1-2】（2025·北京·三模）已知点N在边长为2 的正八边形A1, A2,⋯, A8的边上，点M在边A1 A2
上，则⃗A1 M ⋅⃗A1 N的取值范围是（ ）
A．[−4−2❑√2,2❑√2)
B．[−4,4 +2❑√2)
C．[−2❑√2,4+2❑√2)
D．[−2❑√2,4)
【变式1-3】（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状
常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边
形的摆放位置如图所示， C 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 ⃗AC ⋅⃗AB 的最大值为
（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】
【例2】（2025·四川遂宁·模拟预测）在△ABC中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若⃗
AF = x⃗AB+2 y⃗AC (x>0, y >0)，则1
x + 2
y
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
【变式2-1】（2025·安徽淮北·一模）在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的2 倍.
若存在正实数x , y使得⃗AC =(
1
x −4)⃗AB+(1−1
y)⃗AD成立，则2 x + y的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2-2】（24-25 高一下·四川巴中·阶段练习）已知点G为△ABC的重心，D , E分别是AB , AC边上一
点，D ,G , E三点共线，F为BC的中点，若⃗AF = λ⃗AD+ μ⃗AE，则4
λ + 1
μ
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．9
2
D．27
2
【变式2-3】（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学
的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB =2，以三条边为直径
向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若⃗BM = λ⃗AB+ μ⃗AC，则λ+ μ的最大值为（ ）
A．1
2
B．
❑√3
3
C．1
D．3
2
【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】
【例3】（2025·四川内江·三模）已知点A、B、C 在圆x
2+ y
2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为
(0,2)，则|⃗PA +⃗PB+⃗PC |的最大值为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【变式3-1】（2025·湖南湘西·模拟预测）已知⃗a,⃗b,⃗c均为单位向量，且〈⃗a,⃗b 〉= 2π
3 ,〈⃗a+⃗b,⃗c 〉=π
3
，
则|⃗a+⃗b+t⃗c|(t ∈R)的最小值为（ ）
A．3
4
B．
❑√3
2
C．9
4
D．3
2
【变式3-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形ABCD中A = 45
∘, AB =1, AD = ❑√2，若⃗
AP =⃗AB+ x⃗AD (x∈R),则|⃗AP)的最小值为（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．1
D．❑√2
【变式3-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆O1和圆O2外切于点P，A，B分别为圆O1和圆O2上的动
点，已知圆O1
和圆O2
的半径都为1，且⃗PA ⋅⃗PB =−1，则|⃗PA +⃗PB)
2的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．2❑√2
D．2❑√3
【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】
【例4】（2025·江西·模拟预测）若平面向量⃗a、⃗b、⃗c满足|⃗a−2⃗c)=|3⃗b−⃗c)=1
，则cos⟨⃗a−6⃗b,3⃗b−⃗c)
有（ ）
A．最大值
❑√3
2
B．最小值
❑√3
2
C．最大值−
❑√3
2
D．最小值−
❑√3
2
【变式4-1】（24-25 高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量⃗a=(−1,−2)，⃗b=(1, λ)，若⃗a，⃗b
的夹角为钝
角，则λ的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1
2)
B．(−1
2 ,2)∪(2,+∞)
C．(−1
2 ,+ ∞)
D．(2,+∞)
【变式4-2】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量⃗a,⃗b
满足|⃗a)=3|⃗b)，设⃗a−⃗b
与⃗a+⃗b
的夹角为θ，则
cosθ的最小值为（ ）
A．3
5
B．4
5
C．1
3
D．2
3
【变式4-3】（2025·甘肃·一模）已知梯形ABCD中，AB // CD , AB =2BC =2CD =2 AD = 4，点M为
边CD上的动点，若∠AMB =α，则cosα的范围是（ ）
A．[0, 1
7)
B．[−1
7 ,1)
C．[
1
2 , 1
7)
D．[−1
7 ,0)
【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】
【例5】（24-25 高一下·重庆·阶段练习）已知直角梯形ABCD 中，A =90
∘，AB//CD，且CD =2，
AB =3，点P 是△BCD 内（含边界）任意一点，设⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AD（λ，μ∈R），则λ+ μ的取值范围
是（ ）
A．[1, 5
2)
B．[
3
2 , 5
2)
C．[1, 5
3)
D．[
3
2 , 5
3)
【变式5-1】（2025·安徽池州·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段
BD上的一动点，若⃑AF = x⃑AE + y⃑DC (x>0, y >0)，则2−3 x
4 y
2+1
的最大值为（ ）
A．1
2
B．3
4
C．1
D．2
【变式5-2】（24-25 高一下·上海·期末）如图，点P是以A为圆心，半径为1 的圆弧BC（包含B ,C两个端
点）上的一点，且∠CAB = 2π
3 , AB =1，且⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC (λ , μ∈R)；
(1)若P为圆弧BC的中点，求λ和μ的值；
(2)若P在圆弧BC（包含B ,C两个端点）上运动，求λ+ μ的取值范围.
【变式5-3】（24-25 高三上·河南·阶段练习）在边长为2 的等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，且⃗
BD =2⃗DC．
(1)若P 为△ABC 内一点（不包含边界），且PB＝1，求⃗PB⋅⃗PC的取值范围；
(2)若AD 上一点K 满足⃗DK =2⃗KA，过K 作直线分别交AB，AC 于M，N 两点，设⃗AM = x⃗AB，⃗
AN = y⃗AC，△AMN 的面积为S1，四边形BCNM 的面积为S2，且S2=k S1，求实数k 的最大值．
【题型6 平面向量中的新定义问题】
【例6】（24-25 高一下·湖南常德·阶段练习）定义⃗a⊗⃗b=|⃗a)
2−⃗a⋅⃗b
.若向量⃗a=(1,2❑√2) ，向量⃗b
为单位向
量，则⃗a⊗⃗b的取值范围是（ ）
A．[0,6)
B．[6,12)
C．[0,6)
D．(−1,5)
【变式6-1】（24-25 高一下·江苏无锡·阶段练习）我们定义：“⃗a×⃗b”为向量⃗a与向量⃗b的“外积”，若向
量⃗a与向量⃗b的夹角为θ，它的长度规定|⃗a×⃗b)=|⃗a)⋅|⃗b)sinθ，现已知：在△ABC中，若
|⃗AB+⃗AC)=1,|⃗CA +⃗CB)=2，则|⃗AB×⃗AC)的最大值为（ ）
A．1
3
B．2
5
C．1
2
D．2
3
【变式6-2】（24-25 高一下·广东深圳·阶段练习）定义：已知两个非零向量⃗a与⃗b的夹角为θ.我们把数量
|⃗a)|⃗b)sinθ叫做向量⃗a与⃗b的叉乘⃗a×⃗b的模，记作|⃗a×⃗b)，即|⃗a×⃗b)=|⃗a)|⃗b)sinθ.
(1)若向量⃗a=(2,4)，⃗b=(−3,1)，求|⃗a×⃗b)；
(2)若平行四边形ABCD的面积为4，求|⃗AB×⃗AD)；
(3)若|⃗a×⃗b)= ❑√3
，⃗a⋅⃗b=1，求|⃗a+2⃗b)的最小值.
【变式6-3】（24-25 高一下·河北承德·期末）如图，设Ox，Oy 是平面内相交成α(0<α <π)角的两条射
线，⃗e1，⃗e2分别为与Ox，Oy 同向的单位向量，定义平面坐标系xOy 为α −仿射坐标系，在α −仿射坐标系
中，若⃗OP = x⃗e1+ y⃗e2
，则记⃗OP =(x, y)．
(1)若cosα =−1
3
，在α −仿射坐标系中，⃗a=(2,−1)，⃗b=(−1,1)，求∣⃗a−⃗b∣；
(2)在α −仿射坐标系中，若⃗a=(−1,❑√3)，且⃗a与⃗e1的夹角为π
3
，求α；
(3)如图，在π
3 −仿射坐标系中，点B，C 分别在射线Ox、射线Oy 上（均与点O 不重合），∣⃗BC ∣=1，
⃗
OD = 7
19⃗OC，E，F 分别为BD ,BC的中点，求⃗OE⋅⃗OF的最大值．
一、单选题
1．（2025·辽宁大连·一模）设单位向量⃗a,⃗b,⃗c，已知⃗a⋅⃗b= 1
2
，则|2⃗b−⃗a+⃗c)的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．❑√3−1
D．❑√3+1
2．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知平面向量满足|⃗a−⃗b)=1，⃗b=(1,❑√3)，则⟨⃗a,⃗b)的取值范围为
（ ）
A．[
π
6 ,π
2 )
B．[0,π
6 )
C．[0,π
3 )
D．[
π
3 ,π
2 )
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量⃗a=(−1,❑√3),⃗b=(x , y)，若x>0, y <0，则⃗a⋅⃗b
|⃗b)
的取值范围是
（ ）
A．[−2,−1)
B．[−2,−❑√3)
C．(−❑√3,−1)
D．(−❑√3,−❑√2)
4．（2025·四川泸州·一模）已知平面向量|⃗OA)= 4 ,|⃗OB)=3,|⃗OC)=1,⃗OA ⋅⃗OB =0
，则|⃗CA +⃗CB)的最小
值是（ ）
A．1
B．2
C．3
2
D．3
5．（2025·河南许昌·三模）在△ABC中，点D 在BC 上，且满足|BD)= 1
4|BC)，点E 为AD 上任意一点，
若实数x，y 满足⃗BE = x⃗BA + y⃗BC，则1
x + 2
y
的最小值为（ ）
A．2❑√2
B．4 ❑√3
C．4+2❑√3
D．9+ 4 ❑√2
6．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知向量⃗a=( x ,1),⃗b=(3,−y ),⃗c =(1,1)，若⃗a,⃗b
在⃗c上的投影向量相
等，则x
2+ y
2的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．1
2
D．❑√2
7．（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形ABCD中，AB =2，M为BC中点，N为正方形ABCD内部
或边界上一点，则⃗DM ⋅⃗CN的最大值为（ ）
A．1
B．3
2
C．7
4
D．2
8．（2025·北京·模拟预测）如图，OM ∥AB，点P 在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区
域内（不含边界）运动，且⃗OP=−1
3⃗OA + λ⃗OB，则λ的取值范围是（ ）
A．(0, 1
3)
B．(
1
3 , 2
3)
C．(
2
3 , 4
3)
D．(
1
3 , 4
3)
二、多选题
9．（24-25 高一下·广东深圳·期中）四边形ABCD是边长为1 的正方形，M是线段CD上的动点（包括端
点C、D），则（ ）
A．⃗AM ⋅⃗BC =1
B．当⃗AD +⃗MC =⃗AM时，M为CD中点
C．|⃗MA +⃗MB)的最小值为❑√3
D．|⃗MA +⃗MB)的最大值为❑√5
10．（24-25 高二下·江苏南京·阶段练习）已知P是边长为2 的正六边形ABCDEF内一点（不含边界），
且⃗AP =⃗AB+ λ⃗AF , λ∈R，则下列结论正确的是（ ）
A．△PCD的面积为定值
B．∃λ使得|⃗PC)>|⃗PA)
C．∠CPD的取值范围是(π
6 ,π
3 ]
D．|⃗PC)的取值范围是[2,2❑√3]
11．（24-25 高一下·浙江衢州·期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1 是
一个正八边形窗花，图2 是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，
P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数f (x)=|⃗AD−x⃗AB)，则函数f (x)的最小值为2+ ❑√2
B．⃗PA ⋅⃗PB的最大值为12+8 ❑√2
C．⃗AG在⃗AB方向上的投影向量为−⃗AB
2
D．⃗OA +⃗OC = ❑√3⃗OB
三、填空题
12．（2024·北京石景山·一模）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗b)=2，⃗a与⃗b的夹角为π
6
，则当实数λ变化时，|⃗b−λ⃗a)
的最小值为
．
13．（2024·全国·模拟预测）已知等边△ABC的外接圆O的面积为36 π，动点M在圆O上，若⃗
MA ⋅⃗MB+⃗MB⋅⃗MC ≤λ，则实数λ的取值范围为
．
14．（2025·江苏·三模）设Ox、Oy是平面内相交成α (0<α <π)的两条射线，⃗e1、⃗e2分别是与Ox、Oy同
向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α −仿射坐标系，在α −仿射坐标系中，若⃗OP = x⃗e1+ y⃗e2
，则记⃗
OP =(x , y).已知在如图所示的π
4 −仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，且|⃗BC)=2，点D、
E、F分别为OC、BD、BC的中点，则⃗OE⋅⃗OF的最大值为
.
四、解答题
15．（24-25 高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，
AB =2CD = 4，E，F分别为DC，CB的中点，且⃗AC ⋅⃗EF =2，P是线段AB上的一个动点．
(1)求∠EAF；
(2)求(⃗PE+⃗PF )⋅⃗PA的取值范围．
16．（24-25 高一下·广西河池·阶段练习）对任意非零向量⃗m，⃗n，定义⃗m⊗⃗n=⃗m⋅⃗n⃗
n
2
．
(1)若向量⃗a=(3,2)，⃗b=(−2,3)，求⃗a⊗(⃗a+2⃗b)的值；
(2)若单位向量⃗a，⃗b满足(⃗a+⃗b)⊗(2⃗a−⃗b)= 1
4
，求向量⃗a与⃗a−⃗b的夹角的余弦值．
17．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为(1,0)，(−1,0)，
|⃗OC)=1，且∠AOC =θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ = 3π
4
，设D为线段OA上的动点，求|⃗OC +⃗OD)的最小值；
(2)若θ∈[0, π
2)，向量⃗m=⃗BC，向量⃗n=(1−cosθ ,sinθ−2cosθ)，求⃗m⋅⃗n的最小值.
18．（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC 中，已知AB =2，AC =1，⃗AB⋅⃗AC =−1，⃗
CP = λ⃗CB (0≤λ≤1)，Q 为线段CA 延长线上的一点，且⃗AQ =t⃗AC (t <0).
(1)当t =−1且λ= 1
2
，设PQ 与AB 交于点M，求线段CM 的长；
(2)若⃗PA ⋅⃗PQ+3=⃗AP⋅⃗AB，求t 的最大值.
19．（24-25 高一下·浙江宁波·期中）已知矩形ABCD中，|AB)=2,|AD)=1, E为AB中点，P为边DC上
的动点（不包括端点）.
(1)求⃗PA ⋅⃗PB的最小值；
(2)设线段AP与DE的交点为G，求⃗AG⋅⃗AP的最小值.
