文档文本内容
重难点2-4 函数的零点与方程的解
三年考情分析
考题统计
2026 年考向预测
从近几年高考命题来看，高考对
函数与方程也经常以不同的方式
进行考查，比如：函数零点的个
数问题、位置问题、近似解问
题，以选择题、填空题、解答题
等形式出现在试卷中的不同位
置，且考查得较为灵活、深刻，
值得广大师生关注．
2025 年天津卷，单选题，5 分
2024 年全国2 卷，单选题，15 分
2024 年全国1 卷，单选题，5 分
2023 年天津卷，天空题，5 分
2022 年天津卷，第15 题，5 分
2021 年天津卷，第9 题，5 分
2021 年北京卷，第15 题，5 分
2026 年，预测高考对函数与方程
的考查，肯定集中对函数零点的
个数问题、位置问题、近似解问
题重点考察，多以选择题、填空
题为主。
一、函数的零点
对于函数
，我们把使
的实数
叫做函数
的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程
有实数根
函数
的图像与
轴有公共点
函数
有零点.
三、零点存在性定理
如果函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
也就是方程
的根.
四、二分法
对于区间
上连续不断且
的函数
，通过不断地把函数
的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求
方程
的近似解就是求函数
零点的近似值.
五、用二分法求函数
零点近似值的步骤
（1）确定区间
，验证
，给定精度
.
（2）求区间
的中点
.
（3）计算
.若
则
就是函数
的零点；若
，则令
（此时零点
）.若
，则令
（此时零点
）
（4）判断是否达到精确度
，即若
，则函数零点的近似值为
（或
）；否则重复第（2）
—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
重难点题型【一】、求函数的零点或零点所在区间
1．函数
的零点所在的大致区间的
A．
B．
C．
D．
2．函数
所有零点的和等于（ ）
A．6
B．7.5
C．9
D．12
3．（2025·安徽滁州·二模）函数
所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
4．（24-25 高三上·重庆长寿·期末）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数
的零点为（ ）
A．4
B．4 或5
C．5
D．
或5
重难点题型【二】、根据函数的零点或零点所在区间求参数的取值范围
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上有零点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·宁夏银川·三模）函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·河南南阳·一模）已知函数
在区间
上有最小值，则整数
的一
个取值可以是 ．
5．函数
在
上存在零点，则整数t 的值为 ．
重难点题型【三】、求函数零点个数或方程解的个数
1．（2025·湖南长沙·三模）已知函数
，方程
的根的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2025·北京·模拟预测）已知函数
，则
的极值点的个数情况可能为 （ ）
A．没有极值点
B．有无穷多个极值点
C．恰有 2025 个极值点
D．恰有 2026 个极值点
3．（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线
与直线
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．（2025·上海·三模）函数
的零点个数为
5．（2024 高三·全国·专题练习）函数
的零点个数为 ．
重难点题型【四】、根据函数的零点个数求参数的取值范围
1．（2025·浙江丽水·一模）若关于
的方程
恰有四个不同的实根
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知定义在R 上的函数
，若函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）已知关于
的方程
恰有两个互异的实数解，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·浙江宁波·一模）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是 ．
5．已知函数
，关于
的方程
有且只有一个实数根，则实数
的取值
范围是 .
重难点题型【五】、嵌套（自我嵌套）函数的零点问题
1．（2025·河北邯郸·一模）已知函数
的定义域为
，
，且
，若
，则
的零点为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（2025·安徽·模拟预测）定义一种新运算：
，函数
，则方程
的根的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．（2025·天津·二模）已知函数
，若方程
有且只有一个解，则实数a
的取值范围是 .
4．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数
，若函数
所有零点的乘积为
1，则实数
的取值范围是 .
重难点题型【六】、嵌套（与二次函数嵌套）函数的零点问题
1．（2025·宁夏银川·三模）若函数
，则
的零点个数
为（ ）.
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数
，关于
的方程
的根的
个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
3．（2025·广东·一模）已知函数
，
，若关于
的方程
有个不
同的实数解，则实数
的取值范围是 ．
4．（2025·四川自贡·一模）若函数
有3 个零点，则实数k 的取值范围为 ．
5．（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数
，若关于
的方程
有4 个不同的实数根，则
的取值范围是
重难点题型【七】、分段函数的零点问题
1．（24-25 高三下·江苏扬州·期末）已知函数
，
，若函数
有5 个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东临沂·三模）已知函数
，若函数
的零点个数恰为2
个，则（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
或
3．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数
，若方程
的实数解恰有两个，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
4．（2025·江苏·模拟预测）已知函数
，若存在实数
，使函数
恰有个零
点，则实数
的取值范围是 ．
5．（2025·北京海淀·三模）已知函数
，若函数
有三个零点，则实数
m 的取值范围为 ．
6．（2025·山西·三模）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是 ．
重难点题型【八】、等高线问题
1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数
，存在实数b，使得方程
有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
，函数
有三个零点
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·海南·模拟预测）已知函数
，若存在不相等的实数
，满
足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，方程
有4 个不同的根
，且满足
，则
的最小值为 .
5．（2024·江西·二模）已知函数
（
，
）的图象在y 轴上的截距为
，
在y 轴右侧的第一个零点为
，当
时，若方程
恰有三个不同的根，分别记为
，
，
，则
的取值范围为 .
6．（2024·北京朝阳·一模）已知函数
，若实数
满足
，
则
；
的取值范围是 .
重难点题型【九】、唯一零点问题
1．（2025·贵州·模拟预测）已知函数
，
是
的一个极值点，且
在
上有且仅有一个零点，则实数b 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数
，
，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
3．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数
，若
在区间
上
有且仅有一个零点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
4．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
有且仅有一个零点，则实数
的
值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
在
上有且仅有一个零点，
则
的取值范围是 ．
6．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共
点，则
.
一、单选题
1．用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·云南楚雄·模拟预测）若函数
恰好有一个零点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·广东广州·模拟预测）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．（2025·重庆·模拟预测）已知
，若函数
存在两个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数
，若关于
的方程
有
个不相等的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·陕西西安·三模）设函数
.若函数
与
都没有零点，则函数
与
（ ）
A．都没有零点
B．都有零点
C．至少有一个没有零点
D．至少有一个有零点
7．（2025·河北保定·二模）已知函数
记函数
的
个零点为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（2025·山东临沂·三模）已知函数
，若函数
有8 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数
，
，若关于
的方程
有3 个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高二下·河南·期中）设函数
，若函数
的图象与直线
有三个交
点，则实数b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高一下·湖南长沙·期中）已知函数
，若关于x 的方程
有4 个不
同的实根
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数
（
且
）在
上有唯一零点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．（2024·湖北·二模）已知函数
有零点，当
取最小值时，
的值为
．
14．（2025·广东江门·模拟预测）函数
的零点个数为 ．
15．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
若关于
的函数
有8 个不同的零点，则实数
的取值范围为 ．
16．（22-23 高一上·辽宁大连·期末）已知函数
，其中
.若方程
有且只有一个解，则实数
的取值范围是 .
17．（2025·河南·三模）已知函数
，若存在实数b，使函数
恰有三个零点，
则a 的取值范围为 ．
18．已知函数
及其导函数
的图象如图所
示，若函数
在
上恰有3 个不同的零点
，且
，则
= .
19．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数
，
，若曲线
与
恰有
一个交点，则实数
．
