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重难点专训11 导数中的新定义问题
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................2
题型一：拐点.........................................................................................................................................................2
题型二：曲率问题.................................................................................................................................................4
题型三：拉格朗日中值定理................................................................................................................................7
题型四：凹凸函数...............................................................................................................................................10
题型五：泰勒多项式...........................................................................................................................................14
题型六：帕德近似...............................................................................................................................................19
题型七：牛顿迭代法...........................................................................................................................................25
题型九：定义新概念...........................................................................................................................................30
题型十：定义新性质...........................................................................................................................................34
重难专题分层过关练..........................................................................................................................41
巩固过关...............................................................................................................................................................41
创新提升...............................................................................................................................................................47
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决导数新定义问题
解决导数新定义问题需紧扣“拆解定义—转化考点—规范计算”核心逻辑，步骤如下：
①拆解定义抓本质：优先精读新定义，圈画关键公式、符号规则或操作步骤（如曲率公式中的二阶导
数），忽略陌生术语的理论背景，将抽象定义转化为具体可操作的数学表达式。
②衔接高中知识转化：将新定义与高中导数考点挂钩，如“求最值”转化为导数判单调性、“切线问
题”关联导数几何意义、“不等式证明”构造函数求导。若定义含极限，按导数定义（差商极限）简化；
含高阶导数，分步求一、二阶导数即可。
③分步计算避陷阱：涉及参数范围时，结合定义域、特殊点（如导数不存在处）验证。计算后对照定
义反向检查，避免漏用条件。
题型一：拐点
典例1-1．对于三次函数
，现给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次
函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数
，则函数的对称中心为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，进而
，
令
，故
，
所以
，故对称中心为
故选：B
典例1-2．给出定义：设
是函数
的导函数，若方程
有实数解，则称点
为函数
的“拐点”．已知函数
的拐点为
，则下列结论正确的
为（ ）
A．
B．点
在直线
上
C．
D．点
在直线
上
【答案】B
【详解】因为
，则
，
，
依题意可得
，则
，故A 错误；
，故C 错误；
又
，所以点
在直线
上，故B 正确，D 错误；
故选：B
变式1-1．给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的“拐点”．经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图象的对称中心．若函数
，则
的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可得
，
，
令
解得
，
又
，
所以
的图象的对称中心为
，即
，
所以
，
故选：B
变式1-2．设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，
则称点
为曲线
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且
“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数
的图象的对称中心为
.
(1)求实数
的值；
(2)求
的零点个数.
【答案】(1)
，
(2) 个
【详解】（1）因为
，
所以
，所以
，
又因为
的图象的对称中心为
，
所以
，解得
；
（2）由（1）知，
，
∴
，
令
，得
或
，
所以当
时，
，即
在
上单调递增；
当
时，
，即
在
上单调递减；
当
时，
，即
在
上单调递增.
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
所以
，
，且当
时，
；当
时，
，
所以
有个零点.
题型二：曲率问题
典例2-1．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，
是
的导函数，则曲线
在点
处的曲率
.已知函数
，则
曲线
在点
处的曲率为 .
【答案】
/
【详解】因为
，故
，
，
故
，
故
，即曲线
在点
处的曲率为
，
故答案为：
典例2-2．在平面曲线中，曲率（curvature）是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，如图，圆
、
、
在点Q 处的弯曲程度依次增大，而直线在点Q 处的弯曲程度最小，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．
曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，
是
的导函数，则曲线
在点
处
的曲率
，则余弦曲线
在
处的曲率为 ；正弦曲线
曲率K 的平方
的最大值为 ．
【答案】
【详解】由
，
，则
，
所以在
处的曲率为
，
由
，
，则
所以
，令
，则
，
令
，则
，即
递增，
所以
，即
的最大值为1.
故答案为：1；1
变式2-1．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．
衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，
是
的
导函数，则曲线
在点
处的曲率
．
若曲线
与
在
处的曲率分别为
，
；设正弦曲线
曲率为
，则
的最大值为 ．
【答案】
1
【详解】
，
，
，
，
所以
.
，
.
令
，
，
所以
在
上递增，当
即
时，
有最大值
.
故答案为：
；
变式2-2．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，
在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定
义如下：记
为
的导函数，
为
的导函数，则曲线
在点
处的曲率为
．
(1)已知函数
，求曲线
在点
处的曲率
；
(2)已知函数
，求曲线
的曲率
的范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，
，故
，
，
由曲率公式得
.
（2）因为
，所以
，
，由曲率公式得
，
故
，
则
，
令
，令
，函数化为
，
令
，则
，函数化为
，
对
进行变形，得到
，
令
，函数化为
，
此时，我们研究
的范围即可，而
，
当
时，
恒成立，故
在
上单调递增，
而
，
，
故
，即
，故
.
题型三：拉格朗日中值定理
典例3-1．定义在区间
上的函数
，其图象是连续不断的，若
，使得
，则称
为函数
在区间
上的“中值点”.给出下列函数：①
；②
；③
；④
，在区间
上至少存在两个“中值点”的函数是
（ ）
A．①④
B．①③
C．②④
D．②③
【答案】A
【详解】由题意知
，即存在一点
，
使得此点处的切线斜率等于点
与点
连线的斜率，即方程解的个数就是中值点个数.
①由
得
，而
，显然成立，故有无数个“中值点”，符合题意．
②由
得
，而
，
故有且仅有一个“中值点”，不符合题意．
③由
得
，而
，
故有且仅有一个“中值点”，不符合题意．
④由
得
，而
，
故有两个“中值点”，符合题意．
故选：A.
典例3-2．法国数学家拉格朗日于1778 年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数
满
足如下两个条件：（1）其图象在闭区间
上是连续不断的；（2）在区间
上都有导数.则在区间
上至少存在一个数
，使得
，其中
称为拉格朗日中值.函数
在区间
上的拉格朗日中值
.
【答案】
【解析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得
，进而求得
的值即
可.
【详解】
，则
由拉格朗日中值的定义可知，函数
在区间
上的拉格朗日中值
满足，
所以
所以
，即
，则
故答案为：
变式3-1．（多选）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数
与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.
其定理陈述如下：如果函数
在闭区间
上连续，在开区间
内可导，则在区间
内至少存
在一个点
，使得
，
称为函数
在闭区间
上的中值点，
若关于函数
在区间
上的“中值点”的个数为
，函数
在区间
上的
“中值点”的个数为
，则有（ ）(参考数据：
，
，
，
.)
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】设函数
在区间
上的“中值点”为
由
，
则由拉格朗日中值定理可得：
又
即
所以
，
作出函数
和
的图象,如图1.
由图可知，函数
和
的图象在
上有两个交点.
所以方程
在
上有两个解，即函数
在区间
上有2 个“中值点”.
所以
又
，函数
在区间
上的“中值点”为
，
则由拉格朗日中值定理可得：
即
，
作出函数
与
的图象，如图2
, 当
时，
由图可知，函数
与
的图象在区间
上有1 个交点.
即方程
在区间
上有1 个解.
所以函数
在区间
上有1 个“中值点”，即
故选：BC
【点睛】本题考查函数导数中的新定义问题，考查方程是实数根的个数的判断，解答本题的关键是将问题
转化为方程
在区间
上的实数根的个数和方程
在区间
上的实数根的个
数问题，数形结合即可，属于中档题.
变式3-2．法国数学家拉格朗日1797 年在著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数
满足条
件：
（1）在闭区间
是连续不断的；（2）在区间
上都有导数.
则在区间
上至少存在一个实数，使得
，其中称为“拉格朗日中值”．
函数
在区间
上的“拉格朗日中值”
．
【答案】
【详解】因为
，所以
,
结合“拉格朗日中值”定义可得
,
所以
，又因为
，所以
,
故答案为:
题型四：凹凸函数
典例4-1．丹麦数学家琴生是19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面
留下了很多宝贵的成果.若
为
上任意
个实数，满足
，则称函数
在
上为“凹函数”.也可设可导函数
在
上的导函数为
在
上的导函数为
，当
时，函数
在
上为“凹函数”.已知
，且
，令
的最小值
为
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】记函数
，首先证明其凹凸性：
，
在
上为“凹函数”.
由琴生不等式，得
，
即
.
所以
，
即当
时，
取最小值
，所以
.
故选：B.
典例4-2．定义1：若函数
在区间
上可导，即
存在，且导函数
在区间D 上也可导，则称
函数
在区间
上存在二阶导数，记作
.定义2：若函数
在区间
上的二阶导数恒
为正，即
恒成立，则称函数
在区间
上为凹函数.已知函数
在区间
上为
凹函数，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为
，因为
，
，
令
，解得
，故
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查导数的新定义问题，理解题意为解题的关键，属于简单题.
变式4-1．（多选）设
为函数
的导函数，若
在
上单调递增，则称
为
上的凹函数；
若
在
上单调递减，则称
为
上的凸函数．下列结论正确的是（ ）
A．函数
为
上的凹函数B．函数
为
上的凸函数
C．函数
为
上的凸函数D．函数
为
上的凹函数
【答案】ABD
【详解】对于选项A：因为
为
上的增函数，
所以
为
上的凹函数，故A 正确；
对于选项B：因为
，设
，
则
，
当
时，
，可知
为
上的减函数，
即
为
上的减函数，所以
为
上的凸函数，故B 正确；
对于选项C：因为
，设
，
则
，注意到
，
可知
在
内不是单调递减函数，即
在
内不是单调递减函数，
所以函数
在
上不为凸函数，故C 错误；
对于选项D：因为
，令
，
则
，
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
，即
在
上恒成立，
可知
为
上的单调递增，所以
为
上的凹函数，故D 正确．
故选：ABD.
变式4-2．已知函数
的导函数为
，我们称函数
的导函数
为函数
的二阶导函数，
若一个连续函数
在区间I 上的二阶导函数
，则称
为I 上的凹函数，若二阶导函数
，则称
为I 上的凸函数．
(1)证明：函数
是凸函数．
(2)已知函数
，
．
①若
是
上的凹函数，求实数a 的取值范围；
②
在
内有两个不同的零点
，
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②证明见解析
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
是
上的凸函数．
（2）①因为
，
所以
．
因为
是
上的凹函数，所以
在
上恒成立，即
．
令
，则
．
当
时，
，则
单调递增；
当
时，
，则
单调递减．
，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
②由①知，因为
在
内有两个不同的零点
，
所以方程
在
内有两个根
，即
．
因为
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
．
欲证
，即证
因为
且
在
上单调递减，
所以只需证明
，即证
．
欲证
，即证
，即
，
只需证
，即证
，而该式显然成立．
欲证
，即证
．因为
，所以只需证
，
即证
即需证
．
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
则原不等式得证．
故
．
题型五：泰勒多项式
典例5-1．计算器计算
，
，
，
等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成
的. “泰勒展开式”的内容为：如果函数
在含有
的某个开区间
内可以进行多次求导数运算，则
当
时，有
，其中
是
的导数，
是
的导数，
是
的导数，…. 取
，则
精确到
的近似值
为（ ）
A．0.82
B．0.84
C．0.86
D．0.88
【答案】B
【详解】根据题意，
，
取
时，可得
，
则
，
令
，代入上式可得
，
所以
．
故选：B
典例5-2．给出以下三个材料：①若函数
可导，我们通常把导函数
的导数叫做
的二阶导数，
记作
.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作
，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般
地，
阶导数的导数叫做
阶导数，记作
.②若
，定义
.③若函数
在包含
的某个开区间
上具有
阶的导数，那么对
于任一
有
，
我们将
称为函数
在点
处的
阶泰勒展开式.例如，
在点
处的
阶泰勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出
在点
处的阶泰勒展开式
，并直接写出
在点
处的阶泰勒
展开式
；
(2)比较（1）中
与
的大小.
(3)证明：
.
【答案】(1)
,
；
(2)答案见解析；
(3)证明过程见解析.
【详解】（1）
，
，
，
，
，
，
，即
；
同理可得：
；
（2）由（1）知：
，
，
令
，则
，
，
，
在
上单调递增，又
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
，
，
在
上单调递增，又
，
当
时，
；当
时，
；
综上所述：当
时，
；当
时，
；当
时，
；
（3）令
，则
，
，
在
上单调递增，
又
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
；
在点
处的
阶泰勒展开式为：
，
，当且仅当
时取等号，
①当
时，由（2）可知，
，当且仅当
时取等号，所以
；
②当
时，设
，
，
，
，
当
，由（2）可知
，所以，
，即有
；
当
时，
，
所以，
时，
单调递减，从而
，即
．
综上所述：
.
【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确
阶泰勒展开式的具体定义；本
题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在
处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的
方法将不等式进行转化.
变式5-1．记
为函数
的
阶导函数，
且有
，若
存在，则称
阶可导.英国数学家泰勒发现：若
在
附近
阶可导，则可构造
（称为
次泰勒多项式）来逼近
在
附近的函数值，例如：
在
处的3 次泰勒多项式为
，则
在
处的5
次泰勒多项式中
的系数为 .
【答案】15
【详解】
，
因为
，
所以
，
，
又
，
，
.
所以
，
故
的系数为
.
故答案为：15
变式5-2．在高等数学中，我们将
在
处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
（其中
表示
的n 次导
数
），以上公式我们称为函数
在
处的泰勒展开式.当
时泰勒展开式也称为麦克
劳林公式.比如
在
处的麦克劳林公式为：
，由此当
时，可
以非常容易得到不等式
请利用上述公式和所学知识完成下
列问题：
(1)写出
在
处的泰勒展开式.
(2)若
，
恒成立，求a 的范围;（参考数据
）
(3)估计
的近似值（精确到
）
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
【详解】（1）
，
，
，
，
其中
，
在
处的泰勒展开式为：
，
（2）因为
，
由
在
处的泰勒展开式，先证
，
令
，
，易知
，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，
再令
，
，易得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
，所以
恒成立，
当
时，
，所以
成立，
当
时，令
，
，易求得
，
所以必存在一个区间
，使得
在
上单调递减，
所以
时，
，不符合题意.
综上所述，
.
（3）因为
转化研究
的结构，
，
，
两式相减得
，
取
得
，
所以估计
的近似值为
（精确到
）.
【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，
，
，
，
，
题型六：帕德近似
典例6-1．帕德逼近是法国数学家享利帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法.帕德逼近有“阶”
的概念，如果分子是m 次多项式，分母是n 次多项式，那么得到的就是
阶的帕德逼近，记作
一般地，函数
在
处的
阶帕德逼近定义为：
，且满足
，
，
，
，
注：
，
，
，
已知函数
在
处的
阶帕德逼近为
(1)求
的解析式;
(2)比较
与
的大小;
(3)证明：
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知
，
，
，
，
由
，
，
，
得
，解得
，所以
（2）设
，
，
则
，且等号不恒成立，
所以
在
上单调递增，
又
，所以当
时，
当
时，
当
时，
即当
时，
当
时，
当
时，
（3）由（2）知当
时，
，取
，得
，
即
，
分别取
，2，3，
，8，
得
，
，
，
，
，
，
，
，
叠加得
，
即
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
变式6-1．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为
，且满足：
..
.已知
在
处的
阶帕德近
似为
.注：
，
(1)求实数
的值；
(2)求证：
；
(3)求不等式
的解集，其中，
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）∵
∴
∵
，则
，
由题意得：
∴
解得：
；
（2）由（1）知，即证
令
，则
且
即证
时
，记
则
∴
在
上单调递增，在
和
上单调递增
当
时，
，即
，即
成立，
当
时，
，即
，即
成立，
综上所述，
时，
∴
成立，即
成立.
（3）由题意得：欲使得不等式
成立，则至少有
，即
或
首先考虑
，该不等式等价于
，即
，
又由（2）知
成立，
∴使得
成立的
的取值范围是
再考虑
，该不等式等价于
，
记
，则
，
∴当
时，
时，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减
∴
，即
，
∴
，
当
时由
，可知
成立；
当
时由
，可知
不成立；
所以使得
成立的
的取值范围是
综上可得：不等式
的解集为
.
【点睛】关键点点睛：本题第1 问的关键是理解题意，利用待定系数法求解；第2 问的关键是换元后构造
函数
，第3 问的关键是由不等式构造函数，利用导数解不等式.
变式6-2．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我
们定义函数
在
处的
阶帕德近似为
，该函数满足
．
注：
．
设函数
在
处的
阶帕德近似为
．
(1)求
的解析式；
(2)证明：当
时，
；
(3)设函数
，若
是
的极大值点，求k 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)
.
【详解】（1）由题意，可设
，且
，则
，
而
，
，且
，则
，
所以
.
（2）当
时，恒有
，
令
，且
，则
，
当
时，
，即
在
上递增；
当
时，
，即
在
上递减；
所以
，故
，得证.
（3）令
在
处的
阶帕德近似为
，
由
，则
，故
，
由
，
，而
，则
，
所以
，故
，
由
，而
，则
，
综上，
，且
，
令
，则
恒成立，
所以
在R 上递增，即
，
故
时
，
时
，
所以
时
，
时
，
此时，
时
不是
极值点；
以
为界，讨论如下：
由连续函数
，
当
，则
，而
，
在
上
，
递减，在
上
，
递增，则
，
所以，在
两侧
恒成立，
是极小值点；
当
，则
，而
，
在
上
，
递增，在
上
，
递减，则
，
所以，在
两侧
恒成立，
为极大值点；
当
，有
，
在
上
，
递增，在
上
，
递减，则
，
所以，在
两侧
恒成立，
为极大值点；
当
，则
，而
，
在
上
，
递增，在
上
，
递减，则
，
所以，在
两侧
恒成立，
为极大值点；
综上，
.
【点睛】关键点点睛：第三问，利用帕德近似及导数知识确定
为界点，再讨论参数并利用导数研究
单调性，及与1 的大小关系为关键.
题型七：牛顿迭代法
典例7-1．英国数学家牛顿在17 世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是
的根，选取
作为初始近似值，过点
作曲线
的切线
与
轴的交点的横坐
标
，称
是的一次近似值；过点
作曲线
的切线，则该切线
与
轴的交点的横坐标为
，称
是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似
值序列，其中
，称
是的
次近似值，这种求方程
近似解的方
法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程
的近似解，则下列说法不正确的是（ ）
A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为
B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为
C．
D．
【答案】D
【详解】构造函数
，则
.取初始近似值
，则
，
，故选项A 正确；
取初始近似值
，则
，
，故选项B 正确；
根据题意，可知
，
，
，
，
上述四式相加，得
，故选项C 正确，选项D 不正确.
故选：D.
典例7-2．如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如
下：设函数
的一个零点
，先取定一个初值
，曲线
在
处的切线为，记与x 轴的交
点横坐标为
，曲线
在
处的切线为
，记
与x 轴的交点横坐标为
，以此类推，每进行一
次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到
的近似值
，设函数
，令
．
(1)证明：
存在唯一零点
，且
；
(2)已知
，证明：
；
(3)经过4 次迭代后，判断
的近似值
与
的差值小于
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)经过4 次迭代后，
的近似值
与
的差值小于
【详解】（1）
，所以
单调递增，
因为
，
，
所以
存在唯一零点
，且
．
（2）
在点
处的切线方程为
，
令
，解得
，
，
易知
，所以
，
要证
，只需证
，
即
，
因为
，所以
．
（3）由（2）可知，
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以经过4 次迭代后，
的近似值
与
的差值小于
．
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但
是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，
以不变应万变才是制胜法宝.
变式7-1．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代
数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为
的点处作
的切线，该切线与x 轴的交点为
；
在横坐标为
的点处的切线与x 轴的交点为
；一直继续下去，得到
，
，
，…，
，
它们越来越逼近
的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当
，
近似值相等时，该值可
作为函数
的一个零点r．用“牛顿法”求方程
的近似解r，可以构造函数
，若
，得到该方程的近似解r 约为 （精确到0.1）．
【答案】3.3
【详解】由
，得
．
当
时，
，
，
则过点
的切线方程为
，
令
，得
．
又
，
，
则过点
的切线方程为
，
令
，得
，此时
与
近似值相等，故近似解r 约为3.3．
故答案为：3.3
变式7-2．牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17 世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如
下：如图，设是
的根，选取
作为的初始近似值，过点
作曲线
的切线
，
的方程为
．如果
，则
与
轴的交点的横坐标记为
，称
为的一
阶近似值．再过点
作曲线
的切线，并求出切线与
轴的交点横坐标记为
，称
为的
二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：
，
，…，
，根据已有精确度
，当
时，
给出近似解．对于函数
，已知
．
(1)若给定
，求的二阶近似值
；
(2)函数
．
①试写出函数
的最小值
与的关系式；
②证明：
．
【答案】(1)
(2)①
，②证明见解析
【详解】（1）函数
，求导得
，
依题意，
，当
时，
，
同理
，而
，所以
；
（2）①因为
，
所以
，令
，
求导得
，所以
在
上单调递增，
函数
单调递增，
，
由
，得
，且
，则
，
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
于是函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
处取得最小值
，
即
.
②由①知，
，
令
，求导得
，
令
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，
则当
时，
恒成立，即函数
在
上单调递增，
而
，因此
，所以
.
题型九：定义新概念
典例8-1．定理：如果函数
及
满足：①图像在闭区间
上连续不断；②在开区间
内可导；
③对
，
，那么在
内至少存在一点，满足
成立，该定理称为
柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：
已知
，若存在正数
，
（
），满足
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
可得：
，
令
，所以
由柯西中值定理可知：那么在
内至少有一点，满足
成立，
因为
，
，所以
，
，
所以令
，
，
，
令
可得：
或
，
令
可得：
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
当
趋于正无穷时，
趋近
，
所以
，所以实数
的取值范围为
.
故选：A.
典例8-2．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的
曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．
通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数
的图象，现定义双曲正弦函数
，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知
）
(1)证明：①倍元关系：
；②平方关系：
(2)对任意
，恒有
成立，求实数a 的取值范围；
(3)证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：①
；
②
.
（2）构造函数
①当
时，因为
，当且仅当
即
时等号成立，
所以
，故
单调递增，
此时
，故对任意
恒成立，符合题意；
②当
时，令
，
则
恒成立，故
单调递增，
由
与
，
可知存在唯一
，使得
，
当
时，
，则
在
内单调递减，
故对任意
，即
，不合题意，舍去；
综上所述，实数a 的取值范围为
.
（3）由（2）知：当
时，
，令
，则
，
令
单调递增，
所以
，即
恒成立，
所以
，则
，
令
单调递增，
所以
，即
恒成立，令
，
所以
.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放
缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可.
变式8-1．设函数
与
是定义在同一区间
上的两个函数，若对任意的
，都有
，则称
与
在
上是“密切函数”，区间
称为“密切区间”.设函数
与
在
上是“密切函数”，则实数m 的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意在
上
恒成立，
，
设
，则
，当
时，
，
递增，当
时，
，
递减，所以
，又
，
，所以
，所以
，解得
．
故答案为：
【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，把新定义问题转化为不等式恒成立问题，再变形后转
化为求函数的最值．
变式8-2．定义：如果函数
在定义域内，存在极大值
和极小值
，且存在一个常数
，使
成立，则称函数
为极值可差比函数，常数
称为该函数的极值差比系数.已
知函数
.
(1)当
时，判断
是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在
使
的极值差比系数为
？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由；
(3)若
，求
的极值差比系数的取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
【详解】（1）当
时，
（
），
则
当
时，
，当
，
，
所以
在
和
上严格递增，在
上严格递减，
所以
的极大值为
，极小值为
，
所以
，所以
是极值差比函数.
（2）
的定义域为
，
，
假设存在
使
的极值差比系数为
，
则
，
是方程
的两个不相等的正实数根，
则
，解得
，不妨设
，则
，
因为
，
所以
，从而
，得
（*）
令
（
），
，
所以
在
上是严格增函数，所以
，
因此（*）无解，所以不存在
使
的极值差比系数为
；
（3）由（2）知极值差比系数为
，即
，
不妨设
，令
，
，极值差比系数可化为
，
，又
，解得
，
令
（
），
，
设
（
），
，
所以
在
上单调递减，当
时，
，
从而
，所以
在
上单调递增，所以
，
即
，
所以
的极值差比系数的取值范围为
.
【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数
的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究.
题型十：定义新性质
典例9-1．设
定义在
上，若对任意实数，存在实数
，使得
成立，则称
满足“性质
”，下列函数满足“性质
”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将
变形为：
，
令
，则
在
上至少有2 个不等实数使得
，
所以
在
上不单调，即可
满足“性质
”；
对于A，
，当
时，
在
上单调递增，所以
不满足“性质
”；
对于B，
，
，所以
时，
，当
时，
，
所以
在
上不单调，
满足“性质
”；
对于C，
，当
时，则
，所以
在
上单
调递减，则
不满足“性质
”；
对于D，
，当
时，
，
在
上单调递
减，则
不满足“性质
”；
故选：B
典例9-2．若存在正数
，对任意的
，
恒成立，则称函数
，
在
上具有性质“
”．
(1)判断函数
，
在
上是否具有性质“
”，并说明理由；
(2)若函数
，
在
上具有性质“
”，求
的取值范围；
(3)若函数
与
在
上具有性质“
”，且存在
，
，使得
，求证：
．
【答案】(1)
和
具有性质“
”，理由见解析；
(2)
；
(3)答案见解析.
【详解】（1）函数
和
在
上具有性质“
”.
理由如下：
因为
和
在
上均为偶函数，且在
上单调递增，
所以只需考虑
的情况，
令
，则
，
所以
在区间
上单调递增，且
，所以
恒成立，
则
，即
，
则
，再根据函数
是偶函数，
即
，
，
所以函数
和
在
上具有性质“
”.
（2）
，
在区间
单调递增，
在
上单调递增，
设
，若函数
和
具有性质“
”，
则
，整理为
设
，由以上可知，
在区间
上单调递增，
即
，
当
时，
恒成立，
令
，
，
，得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值
，
所以
；
（3）由题意可知，存在
，
，
，又
，
则
，即
，
，
，设
，
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
设
，
，不妨设
，
，
，且
，
设
，
，
所以
在区间
上单调递减，且
，即
，
即
，即
，则
，
即
，则
，得
，即证.
变式9-1．对于函数
，
和
，
，设
，若对任意的
，
，都有
成立，则称函数
与
“具有性质
”.
(1)判断函数
，
与
是否“具有性质
”，并说明理由；
(2)若函数
与
“具有性质
”，且函数
在区间
上存在两个零
点
，
，求证：
；
(3)已知函数
，
，
，求证：函数
与
“具有性质
”.
【答案】(1)具有性质
，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）令
，
，
所以
，所以
在
上单调递增，
不妨设
，所以
，即
，
即
，
所以
，
所以函数
，
与
“具有性质
”.
（2）证明：由函数
在
上有两个零点
，
，得
，
又函数
与
“具有性质
”，
则
，
即
，即
，
令
，
，即
.
记
，即
，又
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
要证
，即证
，不妨设
，
即证
，只需证
，即证
.
设
，即
，
所以
，
所以函数
在
上单调递减，且
，
又
，则
，即
，则
得证，
故
.
（3）证明：不妨设
，所以
，所以
，
所以
，令
，
，
所以
，所以
在
上单调递减，
又
，所以
，即
，
所以
；
当
时，
，
令
，
，所以
，
令
，所以
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
即
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
，即
，
所以
，
综上，
，即
，
即函数
与
“具有性质
”.
变式9-2．已知定义在正整数集
上的函数
，若函数
同时具有性质：①对任意
，
；②存在实数a，使得对任意
，
，则称函数
为“可积函
数”，此时a 称为
的“可积指标”.（e 是自然对数的底数）
(1)判断函数
，
是否“可积函数”，若是，求出
的“可积指标”；若不是，请说明理
由；
(2)若定义在正整数集
上的函数
是“可积指标”为a 的“可积函数”，求
的解析式，及“可积
指标”a 的最大值.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
；
【详解】（1）函数
，
不是“可积函数”，理由如下：
当
时，函数
是单调递减，
所以有
，符合性质①；
假设存在实数a，使得对任意
，
，
即
，则
，
所以
，两边取对数得
，
得
，令
，
设
，
，
则
，
由
，
，
则
，
故
在
单调递减，且
，
因此给定一个
值，对应的
值不同，即
值不同，
所以对于对任意
，因此不存在实数a，使
，
因此不符合性质②，
故函数
，
不是“可积函数”；
（2）当
，有
成立，
当
时，有
，
两式相除，得
，显然当
时，也成立，
综上，
；
因为函数
是“可积指标”为a 的“可积函数”，
所以有
，可变形为
.
令
，则
，
设
，
，
则
令
，其中
，
则
，
令
，其中
，
则
，则
在
单调递减，
所以
，即
，故
在
单调递减；
所以
，即
，故
在
单调递减；
当
时，
，即
，
且当
时，
，
故要使
恒成立，则
.
故
，且“可积指标”a 的最大值为
.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于运算，利用整体换元法，进而简化函数运算探求函数性质.
巩固过关
1．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，
是
的导函数，则曲线
在点
处的曲率
．曲线
在点
处的曲率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【详解】令
，则
，
．
因为
，
，
所以曲线
在点
处的曲率为
．
故选：B
2．牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，其表述如下：若函数
在区间
上的导函数为
，那么
.若
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【详解】因为
，取
，则
，
所以，
，
因为
，则
，故
，
故选：B.
3．（多选）对于三次函数
，给出定义：
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的“拐点”.某
同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对
称中心，若函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的极大值点为
B．
有且仅有3 个零点
C．点
是函数
的对称中心
D．
【答案】BCD
【详解】A 选项，由函数
，可得
，
令
，解得
或
；令
，解得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
单调递增，
当
时，
取得极大值，极大值为
，所以极大值点为
，故A 错误；
选项，由
知，当
时，
取得极小值，
极小值
，且当
时，
，
当
时，
，
，所以函数
有3 个零点，故
正确；
选项，由
，可得
，
令
，可得
，又由
，
所以点
是函数
的对称中心，故C 正确；
D 选项，因为
是函数
的对称中心，所以
，
令
，
可得
，
所以
，
所以
，即
，所以D 正确.
故选：BCD.
4．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当
在
处的
阶导数都存在时，
.注:
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，即为
的导数.
表示
的阶乘，即
.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算
的值为 .(精确到小数点后两位)
【答案】0.84
【详解】令
，
则
，
，
，
，
故
，
由麦克劳林公式得，
，
所以
.
故答案为：0.84.
5．在18 世纪，法国著名数学家拉格朗日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定
理陈述如下，如果函数f（x）区间[a，b]上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间
（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝
（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f
（x）在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x 的f（x）＝ex+mx 在区间[
1
﹣，1]上的中值点x0的值为
.
【答案】
【详解】解：当x∈[
1
﹣，1]时，由拉格朗日中值定理可得
＝
，
∵f'（x）＝ex+m，
∴
+m，即
，
∴
.
故答案为：
.
6．探索新定义 定义：设二元函数
在点
的附近有定义，当
固定在
而
在
处有
改变量
时，相应的二元函数
有改变量
，如果
存在，那么
称此极限为二元函数
在点
处对
的偏导数，记作
．若
在区域
内每
一个点
处对
的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y 的二元函数，它就被称为二元函数
对自变量
的偏导函数，记作
．已知
，则
．
【答案】
【详解】依题意，
，同理可求得
，
所以
．
故答案为：
7．记函数
的导函数为
，函数
的导函数为
，若
，则称点
为函数
的广义反曲点.
(1)若
，求
的广义反曲点；
(2)已知函数
有且仅有三个广义反曲点，证明函数
的三个广义反曲点共线，
并求出直线方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析，直线方程为
【详解】（1）
记
，则
，所以
.
又
，所以
的广义反曲点是
.
（2）函数
，则
，
记
，则
.
记
，
设
的广义反曲点的横坐标分别为
，
，
，则
，
，
是
的全部零点.
证明
的三个广义反曲点共线等价于证明
，使得
，
.
即证
，使得
，
，
是方程
的根，
即方程
有且仅有三个不相同的根
，
，
.
由
，
所以
，
即
，由
，解得
，
代入
成立，所以
满足条件.
即
的三个广义反曲点共直线
.
8．已知函数
，设
是
的导数，
．
(1)求
的值；
(2)求证：对于任意
，等式
都成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
，
，
则两边求导，得
，
为
的导数，
，
，
两边再同时求导得，
，
将
代入上式得，
；
（2）证明：由（1）得，
恒成立，
两边再同时求导得，
，
再对上式两边同时求导得，
，
同理可得，两边再同时求导得，
，
猜想得，
对任意
恒成立，
下面用数学归纳法进行证明等式成立：
①当
时，
成立，则上式成立；
②假设
（
且
）时等式成立，
即
，
，
又
，
那么
（
且
）时，
等式
也成立，
由①②得，
对任意
恒成立．
令
代入上式得，
，
所以，对于任意
，等式
都成立．
创新提升
1．已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若对任意的实数
，
，曲线
与直线
总相切，则称函数
是“
函数”，
当
时，若函数
是“
函数”，求
.
【答案】(1)极小值0，无极大值．
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）函数
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
有极小值
，无极大值.
（2）由（1）可知：当
时，
，
在
单调递减；
当
时，令
，得
，
，
所以
，且
为增函数，
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，
，
在
单调递增；
综上，
当
时，
的单调递减区间为
，无递增区间；
当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（3）当
时，函数
是“
函数”，
求导得
，
设曲线
与直线
切点
，
则
，故
，即
，
所以
且
，
设
，
，易知
，且
是增函数，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
，所以
是方程
的根，且唯一，
所以
．
2．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的
重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述
如下：若定义在
上的函数
满足条件①在闭区间
上连续，②在开区间
内可导，则
，
.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若
，则
.现已知函数
.
(1)设可导函数
，证明：
，
；
(2)若
在
上的最小值为
，求a 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【详解】（1）因为
，且
在
上连续，在
内可导，
所以，由罗尔中值定理得
，
.
（2）设
，则
.
当
，即
时，
，
当
，得
，则
在
上单调递减，
当
，得
，则
在
上单调递增，
从而
，故
符合题意.
当
时，即
时，令
，得
或
.
当
，即
时，
当
或
，得
，则
在
和
上单调递增，
当
，得
，则
在
上单调递减.
因为
在
上的最小值为
，且
，则
，得
；
当
，即
时，
恒成立，则
在
上单调递增，故
，不合题意；
当
，即
时，
当
或
，得
，则
在
和
上单调递增，
当
，得
，则
在
上单调递减，
从而
，故
，不合题意；
综上，a 的取值范围为
.
3．设函数
定义在区间I 上，若对任意
，有
，则称
为I 上的下凸
函数，等号成立当且仅当
．若函数
在区间I 上存在二阶可导函数，则
为区间I 上
的下凸函数的充要条件是
．
(1)若
是
上的下凸函数，求实数a 的取值范围；
(2)在锐角三角形
中，求
最大值；
(3)已知正实数
满足
，求
的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
(3)
【详解】（1）解：因为
是
上的下凸函数，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
又因为
在
上单调递减，
所以
，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
；
（2）解：令
，
则
，
所以
在
上是下凸函数，
又因为
，
所以
，
即
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为
；
（3）解：因为正实数
满足
，
所以
，
令
，
则
，
因为
，所以
所以
，
即
所以
在
上是下凸函数，
所以
，
即
，
即
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是从两个角度理解下凸函数的定义及第（3）问中构造函数
.
4．对于函数
，若实数
满足
，则称
为
的不动点．已知函数
．
(1)若
的极小值小于
，求
的取值范围；
(2)当
时，求函数
的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．
【答案】(1)
(2)函数
有两个不动点，证明见解析
【详解】（1）
，
当
时，
，当
时，
，
所以，
在
上单调递减，在
上单调递增，
故极小值为
．
由
，解得
．
故
的取值范围为
；
（2）当
时，
，依题意方程
，
即
的解就是函数
的不动点．
令
，
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以，
在
上递减，在
上递增，
又
，
，且当
时，
．
所以，存在唯一
，
，使
．
当
时，
，即
，当
时，
，即
，
所以，
在
上递减，在
上递增．
所以，
．
因为
，即
，也即
所以
．
又
．
根据零点存在定理，
在
，
内各仅有一个零点，
所以，
有且仅有两个零点．即函数
有两个不动点．
设
是
的零点，则
，
又
，
所以
也是
的零点．
故
所有零点之和等于零．即函数
所有不动点之和等于零．
