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重难点培优02 利用基本不等式求最值
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................2
题型一 分离转化对勾型（★★★）............................................................................................................2
题型二 变形后利用常数代换法（★★★★）............................................................................................3
题型三 消元法（★★★★）........................................................................................................................4
题型四 换元法化简（★★★★）................................................................................................................4
题型五 双换元法化简（★★★★）............................................................................................................5
题型六 三角换元法化简（★★★）............................................................................................................5
题型七 多次使用基本不等式（★★★★）................................................................................................6
题型八 三元型均值不等式（★★★★）....................................................................................................6
题型九 基本不等式与其他知识交汇（★★★★★）................................................................................7
03 实战检测・分层突破验成效..........................................................................................................8
检测Ⅰ组 重难知识巩固................................................................................................................................8
检测Ⅱ组 创新能力提升................................................................................................................................9
1、重要不等式
（1）公式：对于任意的实数
，有
，当且仅当
时，等号成立．
【说明】
，当且仅当
时，等号成立．
（2）常见变形：
、
、
．
2、基本不等式
（1）公式：如果
，
，那么
，当且仅当
时，等号成立．
（2）常见变形：
；
（3）常用结论：
①
（
同号），当且仅当
时取等号；
（
异号），当且仅当
时取等号．
②
（
），当且仅当
时取等号；
（
），当且仅当
时取等号；
3
、基本不等式链：
即调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值(注意等号成立的条件).
题型一 分离转化对勾型
【技巧通法·提分快招】
形如
，可以通过换元
分离降幂，转化为对勾型
1．设
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·江西赣州·期中）（多选题）下列式子中最小值为8 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
的最小值为 ．
5．（24-25 高三上·上海·开学考试）函数
在
上的最大值为 ．
题型二 变形后利用常数代换法
【技巧通法·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如
，可以通过同除ab，化为
构造“1”的代换求解
2、形如
，求
型，则可以凑配
，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b 系数，来进行变换凑配。
3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求
型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利
用“1”的代换来求解。
1．（23-24 高三上·陕西咸阳·月考）已知实数x 满足
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．18
C．27
D．36
2．（24-25 高三上·江西宜春·期末）已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·河南·月考）已知正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·重庆·模拟预测）若
，且
，则
的最小值为 ．
5．（24-25 高三上·山东聊城·月考）已知正数
，
满足
，则
的最小值为 ．
6．（24-25 高三上·四川南充·月考）已知正数x，y 满足
，则
的最小值为
．
题型三 消元法
【技巧通法·提分快招】
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或
“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
1．（2025·河南·模拟预测）若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．
D．
3．（24-25 高三上·重庆·月考）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·吉林长春·一模）已知
，
，
，则
的最小值为 ．
5．（24-25 高三上·重庆九龙坡·期末）已知
均为正实数，若
，则
的最小值为 .
题型四 换元法化简
1．（24-25 高三上·河北唐山·月考）已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，则
的最小值为 ．
3．（24-25 高三上·河南·月考）已知
，则
的最小值为 .
4．（24-25 高三上·浙江·期中）设
，则
的最大值为 .
题型五 双换元法化简
1．已知
为正数，求
的最大值（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．（23-24 高三上·四川巴中·开学考试）已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数
，
，满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数
，
满足
，则
的最小值是 ．
题型六 三角换元法化简
【技巧通法·提分快招】
一般情况下，复合或者能转化为
型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转
化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值
1．（24-25 高三上·安徽合肥·月考）已知正数x，y 满足
，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（23-24 高三上·湖北荆州·月考）已知实数
满足
，则
的最大值为 .
3．（23-24 高三下·重庆·开学考试）已知实数
满足
，则
的最大值为 ；
的取值范围为 ．
题型七 多次使用基本不等式
【技巧通法·提分快招】
多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性.
1．（23-24 高三上·河北·月考）已知正实数
，
满足
，则
的最小值为
．
2．（23-24 高三下·重庆·模拟预测）对任意的正实数
，满足
，则
的最小值为
.
3．（2025·辽宁·模拟预测）设
表示数集
中最小的数，若
，则
的最大值为 .
题型八 三元型均值不等式
【技巧通法·提分快招】
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等
等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结
构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
1．（23-24 高三上·河南漯河·期末）设正实数
、
、
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知
，
，
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数
，
，满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数
，
，
满足
，则
的最
小值是 .
题型九 基本不等式与其他知识交汇
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量
，若
在上的投影向量相等，
则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
2．（2025·山东枣庄·二模）将函数
的图象上所有点向左平移2 个单位长度后，再向下平移1 个
单位长度，得到函数
的图象，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角
，
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
4．（24-25 高三下·山东·模拟预测）已知随机变量
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．
5．（23-24 高三上·湖北恩施·期中）已知点G 是
的重心，过点G 作直线分别与
两边交于
两点（点
与点
不重合），设
，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
6．（2025·重庆九龙坡·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
,
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·陕西·模拟预测）若
的展开式中常数项为
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列
中，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．6
3．（2024·江西新余·二模）已知x，y 为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．12
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·重庆·月考）已知
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·四川成都·模拟预测）若
是正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·广东深圳·月考）已知
，
，则
最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．2
7．（24-25 高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知
，
，
，且
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高三上·江苏无锡·月考）已知正数
，
满是
，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．函数f(x)＝
(x>1)的最小值为 ．
10．（24-25 高三下·浙江湖州·模拟预测）已知正实数x，y 满足
，则
的最大值为
．
11．（2024·广西河池·模拟预测）若实数
，且
，则
的最小值为 .
12．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z 满足
，则
的最大值是
．
13．已知正实数
，
满足
，则
的最小值为 ．
14．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知
的最
小值为 .
15．（24-25 高三上·重庆·期中）若正实数
，
满足
，则
的最
小值是 .
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江苏盐城·三模）设正数
，随机变量
的分布列，若随机变量
的期望为1，则
最小值为（ ）
0
A．1
B．
C．4
D．2
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．（23-24 高三上·河北邢台·期末）设
，若
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．
C．
D．4
4．（23-24 高三下·江苏苏州·模拟预测）已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选题）若
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·上海·月考）已知
，若
，则
的最小值为 .
