文档文本内容
专题 03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用
目 录 导 航
01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基 ▶高阶思维・探究拓展
考点01函数的图象 难点解读01数形结合找临界
考点02函数与方程 难点解读02复合方程的实数根
考点03函数模型及其应用
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶高考解密・母题探究 技法点拨02根据图象选择函数解析式
技法点拨03函数零点所在区间问题
题型01函数图象的识别
技法点拨04二分法及其应用
题型02根据函数零点的个数求参数
技法点拨05二次函数模型的应用
题型03函数模型的应用
技法点拨06分段函数模型的应用
▶重点突破・考法深研
技法点拨07指数函数模型的应用
重点01利用图象变换作图象
技法点拨08对数函数模型的应用
重点02根据复杂函数解析式辨识图象
技法点拨09幂函数模型的应用
重点03函数零点个数的判断
▶易错剖析・避坑攻略
重点04根据函数零点个数求参数
易错点01图象辨识只看局部不看整体致错
▶技法提炼・审题点拨
易错点02对零点存在定理理解不当致错
技法点拨01函数图象变换判断
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 函数的图象
1、利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
（1）①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)．
（2）列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，
（3）描点，连线．
2、利用图象变换作函数的图象
（1）平移变换
【注意】“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减．
（2）对称变换
①y＝f(x)的图象――――――→y＝－f(x)的图象；
②y＝f(x)的图象――――――→y＝f(－x)的图象；
③y＝f(x)的图象―――――――→y＝－f(－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象―――――――――→y＝log x(a＞0且a≠1)的图象．
a
（3）伸缩变换①y＝f(x)的图象 y＝f(ax)的图象；
②y＝f(x)的图象――――――――――――――――――――――――――→y＝af(x)的图象．
（4）翻转变换
①y＝f(x)的图象―――――――――――――→y＝|f(x)|的图象；
②y＝f(x)的图象―――――――――――――――――→y＝f(|x|)的图象．
【新题对点练】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数 的图象如图所示，则
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将 图象向右平移1个单位，可得 图象.
将 图象x轴下方部分，沿x轴翻折至上方，x轴上方部分不变可得 图象.
将 图象向上平移1个单位，可得 图象.故选项C满足题意.故选：C
考点02 函数的零点及二分法
1、函数零点的定义
（1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是
一个点，而是一个数．
2、函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线， ，且 具有单调性，
则函数 在区间 内只有一个零点．
推论2：函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，函数 在区间 内有零点，且
函数 具有单调性，则 ．
3、二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的
零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度 ，用二分法求函数 零点 的近似值的步骤
①确定零点 的初始区间 ，验证
②求区间 的中点
③计算 ，进一步确定零点所在的区间：
若 （此时 ），则 就是函数的零点；
若 （此时 ），则令 ；
若 （此时 ），则令 .
④判断是否达到精确度 ：若 ，则得到零点近似值 （或 ）；否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．
【新题对点练】（25-26高二下·山东日照·期末）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，又 ， ，则 ，
根据零点存在性定理，函数 的零点所在区间为 .
考点03 函数模型及其应用
1、几类函数模型
（1）一次函数模型：f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
（2）反比例函数模型：f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
（3）二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c（(a，b，c为常数，a≠0)）
（4）指数函数模型：f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
（5）对数函数模型f (x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
a
（6）幂函数模型：f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2、三种函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xn(n>0)
a
性质
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现 随x的增大逐渐表现 随n值变化而各有
图象的变化
为与y轴平行 为与x轴平行 不同
值的比较 存在一个x，当x>x 时，有log x<xn<ax
0 0 a
【新题对点练】（25-26高三上·河北·期中）某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率
衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为 ，学习率 随迭代次数 的变化公式为
.当学习率小于等于 时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公
式为 ，其中 为第一阶段结束时的迭代次数， 为总迭代次数.当学习率小于等于 时，
模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（ ，
）（ ）
A．307 B．308 C．309 D．310
【答案】C
【解析】在第一阶段，由 ，
即 ，得 ，而 ，所以解得 ，
即 时第一阶段迭代结束，所以 .在第二阶段，由 ，即 ，
得 ，
而 ，所以解得 ，即 时模型停止训练.故选：C.
难点解读01 数形结合找临界
1、函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交点的横坐标的关系
函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交代你的横坐标之间可以相互转化，我们可以写出下面三个完
全等价的命题：
① 是关于 的函数 的零点；
② 是关于 的方程 的实数根；
③ 是函数 图象与函数 图象交点的横坐标．
对于①，我们可以用函数的单调性与零点存在定理处理，对于②，我们可以用方程相关知识与方法处理，
对于③，我们可以用数形结合，根据两个函数的图象处理．这样我们就可以将三个问题转化为另一个，选
用最简便的方法处理．
2、直曲相切&双曲公切找临界
在探讨函数 的零点个数时我们常将问题转化力“研究函数 图象与直线
交点的个数” ．这样我们就可以用数形结合，讨论两个函数图象交点的个数，从而解决
问题．在实际计算过程中，临界情形大多数为直线与曲线相切的时候．
3、端点&间断点找临界
除直曲相切、双曲公切找到的临界情况外，在曲线（或区间）的端点以及函数图象的间断点处函数零点个
数也可能突变，所以也需要单独讨论，研究是否为临界情形．
4、数形结合找临界的一般步骤
第一步：将“函数 的零点个数”的相关问题转化为“函数 图象与函数 图象
的交点个数”的相关问题．
第二步：画出函数 与函数 的图象，如果含参，重点讨论直曲相切、双曲公切以及端点、间断点
情形，得到全部的临界情形．
第三步：数形结合解答问题．
难点破解【典例1】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数 函数 有
4个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，当 时， ，
当 时， ， ，
所以 ，
当 时， ， ，
所以 ，
当 时， ， ，
所以 ，
当 时， ， ，
所以 ，
作出函数 的大致图象，
若函数 有4个零点，即 与 有4个交点，
当直线 过点 时， ；当直线 过点 时， ；
由图可知， 与 有4个交点时，有 ，故选：D
【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）设定义在 的函数 ，若函
数 在区间 上恰有10个零点，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，当 时， ，
当 时， ，将 上的图象，向左平移 个单位长度，向下平移 个单位长度
得到，
以此类推，作出函数图象：
当 时，即 ，
当 与 在 上相切时，
可知 ，当 时，解得 ，
此时 ，可得切点为 ，
可知 ，解得 ，
根据图象可知，实数 的取值范围为 .故选：C.
难点解读02 复合方程的实数根
1.复合方程的由外向内
探讨“求关于 的复合方程 实数根的个数”相关问题时，如果方程能解，我们一般
采用由外向内一层一层去处理，其一般步骤如下：
第一步：设 ，解关于 的方程 ，得到若干实数根 ， ，…或确定方程的根 ， ，
…的范围．
第二步：分别探讨关于 的方程 ， …的实数根的个数（或结合图象观察函数
的图象与函数 的图象的交点个数），各个方程的实数根个数之和即是关于 的复合方程 的实数根的个数，也可以根据实数根个数之和求方程中参数的取值范围．
2、复合方程的有内到外
探讨“关于 的复合方程 的实数根的个数，求参数取值范围”相关问题时，当外层
方程容易解时，可以使用前面的由外向内．但是现实往往是残酷的，含参方程往往没法解，此时就需要由
内向外处理．其一般步骤如下：
第一步：构建合适的复合函数，设 ，得到函数 的性质及值域，如有必要则画出函数图象．
第二步：确定关于 的方程 的实数根的个数情况，或求出参数的取值范围．
难点破解
【典例1】（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数 ，若函数
有6个不同的零点，则实数 的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】画出函数 的图像如图所示，
函数 有6个零点，
等价于 有6个解，
即 或 共有6个解，
等价于 的图像与直线 和直线 ，共有6个交点，
由图得 的图像与直线 有4个交点，
所以 的图像与直线 有2个交点，
所以 或 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围是 .故选：A.
【典例2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数 ，若函数 有6个
零点，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 ， 时， ，对称轴为 ，
所以 在 单调递增，函数图象如下：
令 ， ，解得 或 ，
即 或 ，根据图象 有2个解， 有1个解，
所以此时 有3个零点，不符合题意；
当 ， 时， ，对称轴为 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，函数图像如下：
令 ， ，解得 或 或 ，
根据图象 有2个解， 有3个解，
又 有6个零点，所以 要有1个解，
即 ，解得 ，故选：D.
素养进阶·答题技法突破题型01 函数图象的识别
考情定位：新高考选填基础高频题型，稳定考查，难度偏低，侧重考查函数性质综合辨析与图象特征识别
能力，是函数板块基础得分题型．
核心考法：①根据函数解析式辨析对应图象形态；②结合定义域、奇偶性、单调性快速排错；③利用特殊
点函数值、零点、极限趋势锁定图象；④结合图象变换规律识别复合函数图象．
解题要点：遵循“性质优先、特殊点验证、趋势兜底”的解题逻辑，不盲目完整作图，先通过基础性质排
除明显错误选项，再代入关键特殊值核验，最后结合函数增减速率、无穷趋近趋势确定最终图象，高效精
准解题．
【典例1】（2024·全国甲卷·高考真题）函数 在区间 的图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，
又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又 ，
故可排除D.故选：B.
【典例2】（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该
函数是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.故选：A.
题型02 根据函数零点的个数求参数
考情定位：新高考选填中档压轴高频题型，区分度高，综合性强，融合函数单调性、极值、图象、方程思
想，是参数范围求解的核心热门题型．
核心考法：①将零点个数问题转化为两函数图象交点个数问题；②参变分离后结合函数图象走势求参数范
围；③含参函数分类讨论单调性与极值，判定零点个数对应的参数区间；④分段、复合函数零点个数对应
的参数约束问题．
解题要点：优先采用数形结合思想，化零点问题为图象交点问题；可分离参数则优先参变分离，转化为水
平直线与函数图象的交点问题；无法分离参数则依据底数、对称轴、定义域等标准分类讨论，结合单调性、
极值、端点值锁定参数范围，严格验证等号取舍条件．
【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）若函数 有两个零点，则 的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】令 ，得 ，即 ，
方法一：
令 ，则 ，即 ， ,
则一元二次方程 有两个正根，
那么 ，
所以， 的取值范围是 .
方法二：
设 ，那么设 ，则 ，
由于 在 上单调递减，在 上单调递增，故 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
根据函数图象可知，函数 有两个零点，则 的取值范围是 .
【典例2】（2024·全国甲卷·高考真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，
则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】令 ，即 ，令
则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增， ，
因为曲线 与 在 上有两个不同的交点，
所以等价于 与 有两个交点，所以 .
题型03 函数模型的应用
考情定位：新高考应用题必考题型，聚焦数学建模核心素养，贴合生活实际场景，侧重考查从实际问题抽
象函数模型、求解并还原实际问题的能力．
核心考法：①根据实际变化规律匹配二次、分段、指数、对数、幂函数模型；②建立函数解析式并限定实
际自变量定义域；③利用函数单调性、区间最值求解最优方案、最值、取值范围；④结合数据趋势拟合模
型、预测实际数据．解题要点：严格遵循建模解题流程，先设变量、提炼实际等量关系，精准匹配对应函数模型；必须结合实
际场景约束自变量取值范围，在有效定义域内求解函数性质，最终将数学结果还原为实际问题答案，规范
作答．
【典例1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的
强弱，定义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源
的声压级：
与声源的距离
声源 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意可知： ，
对于选项A：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为 ，即 ，可得 ，即 ，故C正确；
对于选项D：由选项A可知： ，
且 ，则 ，
即 ，可得 ，且 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD.
重点01 利用函数图象变换作图象
绘制函数变换图象采用“基础图象+分步变换”标准化流程，先熟练画出一次、二次、指对幂等基础函
数图象，严格遵循“先伸缩、后平移、再对称”的固定变换顺序分步作图；精准区分自变量变换与整体
函数变换，牢记平移、伸缩、对称、翻折核心规则，重点掌握 与 两类绝对值翻折
画法，作图后结合定点、单调性、定义域核验图象准确性．
【典例1】作出函数 的图象．
【答案】
【解析】因 ，先作出 的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
即得y＝ 的图像，如图.【典例2】作出下列函数的图象
(1) ；
(2) ；
(3) ；
【答案】(1)
(2)
(3)
重点02 根据复杂函数解析式辨识图象
辨析函数图象的入手点
1、从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
2、从函数的奇偶性，判断图象的对称性．3、从函数的特征点，排除不合要求的图象．
4、从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
5、从函数的周期性，判断图象的循环往复．
【典例1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，函数的定义域为 ，关于原点对称，
由 ，所以 为奇函数，排除A；
又 ，排除C和D.
【典例2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】 ，且定义域为R，
所以 为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项，
并且在y轴右侧， 趋近于0时， ，故 ，
故只有选项 满足题意.
重点03 函数零点个数的判断
零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令 ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间 上是连续不断的曲线，且 ，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数 的图象，函数 的图象与 轴交点的个
数就是函数 的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数 拆成两个函数 和 的差，根据 ，
则函数 的零点个数就是函数 和 的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．
【典例1】（2025·广东·模拟预测）函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
在同一直角坐标系中分别作出 ， 的图象，如图所示，观察可知，它们有3个交点，即 有3个零点.故选：D.
【典例2】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数 的定义域为 ， ，
是奇函数.且当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】因为 是定义在 上的函数且满足 ，则 关于 对称，
又 是奇函数，则 ， 关于 对称，
且当 时， ，可以画出 的图形，
则 的零点个数转化为 与 的交点个数，
如图，当 时， ，
故两个图像交点的个数为10，即 的零点个数为10.故选：D
重点04 根据函数零点的个数求参数
已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两
个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
【典例1】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数 在区间 上有零点，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 ， 在区间 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
由函数 在区间 上有零点，
得 即 解得 .
因此，实数 的取值范围是 .故选：B.
【典例2】（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知函数 ，方程 恰
有三个不同的实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出函数 图象：
因为
方程 化为 ，方程 恰有三个不同的实数解，等价于 的图象有三个不同的交点，
所以由图可得，当 ，即 时符合题意，故选：C
技法点拨01 函数图象变换的判断
解题严格遵循“先伸缩、再平移、后对称”的标准变换顺序，区分自变量变换与整体函数变换的本质差
异，牢记“左加右减、上加下减”平移规则、横竖伸缩系数规律．
重点辨析 与 两类绝对值翻折变换特征，结合函数定点、单调性、对称性辅助验证
变换结果，精准规避变换顺序错乱、规则混淆等问题．
【典例1】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数 的图象，只需将
的图象上所有的点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）
B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）
C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
【答案】A
【解析】把 的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为 ，
再把所得各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为 .故选：A.
【典例2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为 ，则图②对应的函数是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图②可知，将 在 的图象沿着 轴对称得到 ，
然后再沿着 轴翻折，即可得到 .故选：B
技法点拨02 根据图象选择函数解析式
采用“性质优先、多点验证、趋势兜底”的标准化解题思路，第一步通过定义域、值域、奇偶性、单调
性快速排除错误选项；第二步代入特殊点、零点、定点验证函数值匹配度；最后结合函数增减速率、无
穷趋近趋势、渐近线特征锁定正确解析式，无需完整作图，高效完成图象与解析式匹配．
【典例1】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】图像中函数与 轴有两个交点（即两个零点），
选项A ， 只有1个零点 ，选项C， 没有零点，因此排除A、C.
图像中 时，函数值趋近于0，选项D ，当 时， ，不符合趋势，排
除D.
选项B： ，零点为 （两个零点，一负一正，符合图像）；
时， ， ，且 时， ，符合图像左半部分趋势；
时， ， ， 时 ，符合；
时， ，求导得 ，可得 时函数先增后减，且 时，指数函数增长快于多项式， ，完全符合图像特征.
【典例2】（2026·山东济南·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，对于函数 ，由 可得 ，
即函数 的定义域为 ，与题中图象不符；
对于B选项，令 ，可得 ，即函数 只有一个零点，与题中图象不符；
对于C选项，函数 的定义域为 ，
，函数 为偶函数，与题中图象不符；
对于D选项，函数 的定义域为 ，
，函数 为奇函数，
令 得 ，可得 ，
当 时， ，则 ，与题中图象相符.
技法点拨03 函数零点所在区间问题
判断函数零点所在区间的步骤第一步：将区间端点代入函数求函数的值；
第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；
第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；
若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点．
【典例1】（25-26高三下·河南郑州·阶段检测）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递减，
又 ， ， ，
， ，
根据零点存在定理，可知函数 的零点所在区间为 .故选：C
【典例2】（25-26高三上·重庆九龙坡·阶段检测）函数 的零点所在的一个区间是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的定义域为 ，
函数 在 上都单调递增，则函数 在 上单调递增，
而 ，所以函数 零点所在的一个区间是 .故选：C
技法点拨04 二分法及其应用
明确二分法适用前提：函数在区间上连续且端点函数值异号。固定解题流程：确定初始区间→取区间中
点→计算中点函数值→判断零点所在子区间→不断缩小区间，循环迭代直至满足题目精度要求．主要用于求解方程近似解、锁定零点精准区间，迭代过程严格依据符号判断区间取舍．
【典例1】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）用二分法求函数 零点近似值时，第一次所取区间
，则第三次所取的区间可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为第一次所取区间 ，取中点 ，所以第二次取的区间为 或 ，
当第二次取的区间为 时，取中点 ，所以第三次取的区间为 或 ；
当第二次取的区间为 时，取中点 ，所以第三次取的区间为 或 ；故选：D
【典例2】（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）用二分法求方程的近似解时，求得 的部
分函数值数据如表所示：
x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125
3 1.342 0.5793
则当精确度为0.1时，方程 的近似解可取（ ）
A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9
【答案】C
【解析】由表格可得，函数 的零点在区间 内，
且 ，结合选项可知，方程 的近似解可取1.8．故选：C.
技法点拨05 二次函数模型的应用
适用于最值优化、动态变化类实际问题，建模核心是提取变量二次对应关系，构建二次函数解析式．
解题优先确定自变量实际取值范围，结合二次函数开口方向、对称轴位置，判断对称轴与闭区间的位置
关系，求解区间最值与取值范围，最终结合实际情境验证结果、还原实际问题答案．
【典例1】（24-25高三上·陕西渭南·期中）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距
离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离 （米）与汽车的车速 （千
米／时）满足下列关系： （ ， 是常数， ）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速 （千米/时）的关系图，如图所示.
(1)求 ， 的值；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度.
【答案】(1) ， ；(2)行驶的最大速度为70千米 时．
【解析】（1）由图象可知，点 ， 在函数 图象上，
，解得 ，
， ；
（2）令 ，得 ，解得 ，
又 ， ，
即行驶的最大速度为70千米 时．
【典例2】（24-25高三上·河北承德·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若
该基地预计从第1年到第n年 花在该台运输车上的维护费用总计为 万元，该车每年运输收
入为23万元.
(1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算?请说明理由.
【答案】(1)3；(2)方案①较合算，理由如下：
该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，
，
当且仅当 时，取等号，方案①最后的利润为： （万）；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，
方案②的利润为 （万），
两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.
【解析】（1）由题意可得 ，即 ，解得 ，
，
该车运输3年开始盈利.；
（2）略
技法点拨06 分段函数模型的应用
适配分段变化、阶段性规律的实际问题，根据不同自变量区间对应不同函数解析式，分段建立模型、分
段求解．解题关键是精准划分自变量取值区间，严格遵循各段函数解析式的运算规则，分别求解各段最
值、范围，最后整合所有区间结果，贴合实际场景综合作答．
【典例1】（25-26高三上·山东烟台·期中）某企业生产某种电子产品的年固定成本为 万元，且每生产
一万件该电子产品需另投入生产成本 万元，设该企业每年生产该电子产品 万件并全部销售完，年销售
收入 （单位：万元）.已知当 时，该企业生产该电子产品年利润为
万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本）
(1)求该企业生产该电子产品所获年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式；
(2)求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量.
【答案】(1) ；(2)10万件.
【解析】（1）由题当 时，该企业生产该电子产品年利润为 万元，
所以 ，解得 ，
所以当 时， ；当 时， ，则 ；
综上， ；
（2）当 时，对 求导，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
则当 时， 取得最大值， （万元）；
当 时， （万元），
当且仅当 ，即 时等号成立，
综上可得该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量为10万件.
【典例2】（25-26高三上·湖北·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度
与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内
的浓度 与时间 满足关系式： 为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液
内的浓度 与时间 满足关系式： ，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射
药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时）
(1)若 ，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？
(2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 时，最大值 ；(2)
【解析】（1） 时， ，
则小白鼠血液中药物的浓度 ，
当 时， ，
当 即 时， ；当 时， ，
当 即 时， ，
由于 ，故小白鼠在 时，浓度最高，达到 .
（2） .
当 时，可得 ，
在 时单调递减，
则 ；
当 时，可得 ，
，
则当 ，即 时， ，
又 ， .
技法点拨07 指数函数模型的应用
主打指数增长、指数衰减类实际问题，如人口增长、复利增长、衰减消耗等场景．
建模依托指数函数增减特性，结合实际数据确定底数与参数，利用指数函数单调性分析变化趋势、求解
最值与预测值，全程把控自变量实际定义域，贴合指数爆炸、快速衰减的变化规律解题．
【典例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）某电子产品的电池健康度 随循环次数 衰减的函数模型为
，其中 为常数， ．已知 ，则电池健康度从80
衰减到60，循环次数大约需要增加（ ）
（参考数据： ）A．120 B．150 C．170 D．180
【答案】B
【解析】由 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ，所以 ，
当循环为 次时电池健康度为60，可得 ，
所以 ，两边取对数得 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加 .
【典例2】（2026·山东聊城·模拟预测）某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年
后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：
，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为 ，使用4年后保值率为 .
若该车的保值率低于 即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?
（参考数据： ， ）（ ）
A．5年 B．6年 C．7年 D．8年
【答案】B
【解析】由题意，当 时， ，
根据题中数据，可列方程组 ，则 ，则 ，
即 ，所以 ，由 ，则 ，
所以该车大约在使用6年后会进入“大幅贬值”区间.
技法点拨08 对数函数模型的应用
适配增长速率逐渐放缓的实际场景，如响度、酸碱度、数据增幅拟合问题．
利用对数函数在定义域内单调递增、增长平缓的特性建立模型，结合换底公式、对数运算公式化简求解，依托函数单调性分析变量变化规律，精准求解实际取值与变化趋势问题．
【典例1】（2026·陕西安康·模拟预测）已知某AI智能软件处理相关数据量 （单位： ）与所需时间
（单位： ）之间的关系为 ，当要处理的数据量从 增加到 时，处理的时间增加
了 ，则要处理的数据量为 时，所需的处理时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意： ，所以 .
所以 .
当 时， （ ）.
【典例2】（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，
靶标DNA数量 与扩增次数 满足： ，其中 为DNA初始数量， 为扩增效率
.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的 倍，
则至少需要扩增的次数约为（ ）（参考数据： ）
A．20次 B．25次 C．26次 D．27次
【答案】D
【解析】由题意知，当 时， ，代入 ，
得 ，
整理得： ，也就有 ，
将 代入 ，
得 ，整理得： ，
故 ，但由于扩增次数 必须为整数，
故至少需要27次扩增，即 .
技法点拨09 幂函数模型的应用
适用于中等增速、常规变量关联的实际拟合问题，依托第一象限幂函数图象规律与单调性解题．
根据幂指数正负、大小判断函数增减速率与图象走势，结合实际数据拟合幂函数模型，求解变量对应关
系、取值范围与变化规律，适配常规非线性变化的实际应用场景．【典例1】（25-26高三上·甘肃天水·阶段检测）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道
时，其流量 （单位： ）与管道半径 （单位： ）的四次方成正比．若气体在半径为 的管道
中，流量为 ，气体在半径为 的管道中，流量大于 且小于 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，设 ，由题意可得 ，解得 ，故 ，
当 时， ，解得 ，故选：D.
【典例2】（2024·广东广州·一模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠
成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数 ）与体重W（单位：
Kg）的 次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次 ，B的
脉搏率是70次 ，则B的体重为（ ）
A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg
【答案】D
【解析】依题意，设 ，由 ，得 ，则 ，
当 时， ，所以 ．故选：D
易错点01 图象辨识只看局部不看整体致错
辨析：仅凭局部特殊点匹配图象，忽略函数整体单调性、极限趋近趋势、渐近线特征，选错匹配图象．
【典例1】（25-26高三下·四川成都·开学考试）函数 在 的图象大致为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意， 关于原点对称，
又 为奇函数，可排除B选项；
又 时， 可得 ，可排除A选项，
当 时， ,
当 时， ，所以当 时， ，当 时， ,
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，结合图像分析D不对，C选项正确.
【典例2】（25-26高二下·湖北·阶段检测）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，即 ，
因为 恒成立，所以 ，解得 或 ；所以函数 的图象与 轴有两个交点，分别为 和 ，
观察选项：A选项图象与 轴只有一个交点，排除；
C选项图象在 处与 轴有交点，排除；
对于D选项，当 时， ， ，
由指数函数与幂函数的增长速度可知 ，
即图象在 轴负半轴应无限趋近于 轴，
而D选项图象在 时 ，排除D,
当 时， ，且 ，
所以 ，图象在 轴上方，且在 轴负半轴应无限趋近于 轴；
当 时， ，所以 ，图象在 轴下方，
当 时， ，所以 ，图象在 轴上方； B选项符合上述所有特征.
易错点02 对零点存在定理理解不当致错
辨析：误以为端点异号则零点唯一，忽略区间内函数波动、极值穿越x轴的情况，导致零点个数判断失
误；忽略函数间断点造成误判．
【典例1】实数 是图象连续不断的函数 定义域中的三个数，有满足 ，
，则函数 在区间 上的零点有（ ）
A．2个 B．奇数个 C．1个 D．至少2个
【答案】D
【解析】由题意有： ，所以 在 至少存在一个零点，
又 ，所以 在 上至少存在一个零点，
所以 在 上至少存在2个零点，故选：D.
【典例2】（24-25高三下·云南昭通·阶段检测）（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，
，且 的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）
A． 在区间 上可能存在零点 B． 在区间 上可能存在极值点C． 在区间 上一定存在零点 D． 在区间 上一定存在极值点
【答案】ABC
【解析】当 在区间 上先减后增，且存在极值点 时，若 ，
则设 ， ， 且 的图象是一条连续不断的曲线，
故由零点存在性定理， 在 与 上有两个零点，故A正确；
此时存在极值点 ，故B正确；
由 ，且 的图象是一条连续不断的曲线，
故由零点存在性定理可知 在区间 上一定存在零点，故C正确；
若 在区间 上单调递减，此时D无法满足，故D错误．故选：ABC．
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一、单选题
1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若图中所示为在同一直角坐标平面上 的图像及
的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图像可知 图像上点的横坐标变为原来的一半，
纵坐标变为原来的两倍得到函数 的图像，所以 .故选：A
2．（2025·重庆·模拟预测）若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于B，由题可知函数 的图象，当
时 ，故B项错误；
对于A、C、D：对于函数 ，
当 时， ，故C、D项错误，A项正确.故选：A.
3．（2026·青海西宁·二模）将函数 的图象向左平移1个单位长度，再向下平
移1个单位长度得到函数 的图象，则 的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得 ，易知函数的定义域为 ，又 ，
故 是奇函数，图象关于原点对称，排除AD；
当 时， ，排除C，故B符合题意.
4．（2026·四川·二模）函数 的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数定义域为 ， ，因此 是奇函数，故排除A.
当 时， ，又 ，所以 .故排除C.
当 时， ，故排除D.
函数 的部分图象可能是选项B.
5．（25-26高三下·湖南岳阳·阶段检测）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】B选项，函数 ，定义域为R，与图象不符，B选项错误；
CD选项，对于函数 ， 当 时， 恒成立，与图象不符，CD选项错误；
A选项，函数 ，定义域为 ，
，函数为奇函数，图象关于原点对称，
当 或 时， ；当 或 时， .A选项正确.
6．（2026·河南南阳·一模）已知函数 ，利用二分法求函数 在 内的零点的近似
值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 ， ，
，函数 的零点在 内；
，函数 的零点在 内；
，函数 的零点在 内.故选：A
7．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数 在 内的零点近似值，若精确度要求为 ，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原始区间长度为 ，
第一次，区间长度减半，为 ，
第二次，区间长度减半，为 ，
第三次，区间长度减半，为 ，
第四次，区间长度减半，为 ，
故至少需要重复四次.故选：B.
8．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数 ，则方程 根的个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】因 ，
当 时， 即 ，解得 或 ，均符合题意；
当 时， 即 ，解得 ，符合题意.
故方程 根的个数为3.
9．（2026·山东青岛·一模）已知定义在 上的函数 满足 ， ，当
时， ，则方程 所有根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得函数 的图象关于点 对称，
又 ，得函数 的图象关于直线 对称，
从而函数 是周期为4的周期函数.
又当 时， ，则 ，
即 是 的单调递增函数， ， ，可画出 的部分图象，
又方程 的根即 与 的交点横坐标，如图两函数的图象共有17个交点，并且关于点 对称，故所有根之和为17.
10．（2026·广东江门·二模）已知函数 ， ，若 恰有 个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，则 ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 的取值范围为 ．
作出 的大致图象，如图所示．
由 ，得 ，
由图可知，当 时，直线 与 的图象恰有2个交点，
即 恰有2个零点．
所以 的取值范围是 .
11．（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知函数 ，若函数 恰有
5个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由 恰有5个零点，
则关于 的方程 恰有5个相异实根，
令 ，问题转化为满足 的 恰有5个不同的解.
作出函数 的图象，如图所示，
由图易得：当 时，关于 的方程 仅有一个实根 ，且 ，
此时 仅有1个实根，不合题意；
当 时， 仅有两个相异实根 ，
而 各仅有1个实根，不合题意；
当 时， 仅有3个实根 ，
且 各仅有1个实根，
且两实根均小于 ，则 有三个实根，必有 ，
所以 .
又 ，所以 ，此时的5个实根互不相等，
即 恰有5个零点；
当 时， 仅有2个相异实根 ，且 ，
此时 仅有1个实根， 有2个实根，不合题意.
所以实数 的取值范围为 .
故选：C
12．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率 （单位：次
）与体重 （单位：kg）、外界环境温度 （单位：℃）有关，满足 （ 为常数）．已知在环境温度为 时， 为两个睡眠中的恒温动物， 的体重为 、脉搏率为210次 ，
的脉搏率是105次 ，则 的体重为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知在环境温度为 时， 的体重为 、脉搏率为210次 ，
故 ，
的脉搏率是105次 ，设其体重为t kg，则 ，
则 ，即 ，解得 （kg）.
13．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度 （单位： ）关
于时间 （单位： ）的函数解析式为 （ 为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为 ，
若从 到 ，水面高度下降了 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】由题意可得 ，解得 ．令 ，
即 ，化简得 ，解得 （ 舍去）．
14．（2026·浙江嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为
，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过
，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】设脱碳处理的次数为 ，则脱碳处理 次后的碳排放浓度为 ，
由题意可得 ，则 ，即 ，
由于 ，所以 的最小值为 ，
故至少需要脱碳处理的次数为 .15．（2026·湖北十堰·二模）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环
节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、
水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间
y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足： （其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度
为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87
小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（ ）
A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃
【答案】C
【解析】已知保鲜时间 与贮藏温度 的关系为 （ 为常数）.
当 时， ，代入得： ①
当 时， ，代入得： ②
将① ②化简可得： ，即 ，解得： ，
代入①式求得： ，
由题意 ，即： ，即 ，
则 ，将 代入： ，
化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得： .
所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过 .
二、填空题
16．（2026·湖北·二模）已知函数 ．若函数 （e为自然
对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】易知，当 时， ，所以 是 的一个零点.
所以 时， 有3个零点，即 有3个根，
即 和 的图象有3个交点．
设 ， ，则 和 的图象有3个交点．
当 时， 和 的图象有且仅有1个交点，不合题意，应舍去．函数 恒过定点 且对称轴为 ，作出 和 的大致图象，
当 ，若 与 的图象相切， ，
设切点 ，则 ，解得 ．
和 的图象有3个交点，则 ．
当 ， 时满足题意，解得 ，
综上所述， ．
