文档文本内容
第05 对数与对数函数
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 对数与对数运算.....................................................................................................................2
题型02 换底公式的应用.....................................................................................................................3
题型03 对数函数的概念、定义域和解析式................................................................................4
题型04 对数型函数图象过定点问题..............................................................................................6
题型05 对数函数的图象.....................................................................................................................8
题型06 对数（型）函数的单调性.................................................................................................10
题型07 利用对数（型）的单调性求参数
..............................................................................11
题型08 对数型函数的最值（值域）............................................................................................14
题型09 根据对数型函数的最值（值域）求参数
................................................................15
题型10 比较对数的大小...................................................................................................................17
题型11 解对数方程及不等式
....................................................................................................19
题型12 对数函数性质的综合应用
...........................................................................................20
题型13 指（对）函数的实际应用
...........................................................................................24
题型14 反函数.....................................................................................................................................25
重难·创新演练......................................................................................................................................................27
真题·实战演练......................................................................................................................................................34
模拟·基础演练
考查重点：聚焦对数运算、换底公式、对数函数解析式、定义域、图象、单调性、值域，结合复合
函数、参数求解、大小比较、对数方程与不等式，同时考查反函数及指对数综合应用。
题型01 对数与对数运算
1.已知
，则
的值为（ ）
A．15
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，又
，所以
.
故选：C.
2．若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】C
【分析】由指数式对数式互化公式把
，
解出来代入即可.
【详解】由
，得
；由
，得
；
因此，
.
故选：C
3.（多选）下列关系表示正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若设
，且
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【详解】对于A，
，所以
，所以
，所以A 正确；
对于B，由
，得
，故
，所以B 正确；
对于C，设
，取对数得
.所以
.所以C 正确；
对于D，因为
，所以
，所以
，
所以D 错误.
故选：ABC.
4．（2026·四川遂宁·一模）
__________.
【答案】4
【分析】根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得．
【详解】
.
5．（2026·湖北十堰·一模）已知
，
，用
，
表示
__________.
【答案】
【分析】对给定的等式两边取常用对数，再利用对数运算法则，结合方程的思想求解.
【详解】由
，得
，则
；由
，得
，则
，
因此
，所以
.
题型02 换底公式的应用
6．已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
，
，然后利用换底公式和对数运算性质得
，进而利用对数函数的单调性性得
，即可得解．
【详解】
，
，
可知
，
．
故选：B
7.已知：
，求证：
．
【答案】证明见详解
【详解】设
，显然
，
则
，可得
，
所以
.
8.已知
.
（1）求
的值；
（2）设
，求证：
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【详解】（1）将
两边同取对数得，
，则
，所以
.
（2）由
，得
，
.
所以
，
，
则
，故
.
题型03 对数函数的概念、定义域和解析式
9．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由对数函数的性质结合复合函数的定义域可得.
【详解】要使
有意义，必须
解得：
．
故选：C.
10.若某对数函数的图象过点
，则该对数函数的解析式为__________.
【答案】
【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可.
【详解】设函数解析式为
，且
，
由函数的图象过点
，得
，即
，解得
，
所以该对数函数的解析式为为
.
故答案为：
11.若函数
是以
为自变量的对数函数，则实数
__________.
【答案】3
【分析】由题意可得
，且
，且
，从而可求出
的值.
【详解】因为函数
是以
为自变量的对数函数，
所以
，解得
.
故答案为：3
12.若函数
定义域为
，则a 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】
对一切实数均成立，所以当
时，显然成立；
当
时，
，解得
；故
的取值范围为
.
故答案为：
13．（2026·贵州毕节·一模）函数
的定义域为__________.
【答案】
【分析】根据对数的真数大于0 即可得解.
【详解】令
，解得
或
，即
，
因此函数
的定义域为
.
14．已知函数
（
，且
）的图象过点
．
(1)求a 的值；
(2)若
，求
的解析式及定义域；
(3)在（2）的条件下，若
，求实数x 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
（
，且
）的图象过点
，所以
，所以
．
又
且
，所以
．
（2）
，其中
且
，即
，
所以
的定义域为
．
（3）因为
，所以
，即
，解得
．
又因为
即
，所以
题型04 对数型函数图象过定点问题
15．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知
且
，则函数
的图象一定经
过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】AB
【详解】由
，
且
，
则
，即函数
过点
,
当
时，函数
单调递增，过第一、二、三象限；
当
时，函数
单调递减，过第一、二、四象限．
故选：AB．
16.已知函数
且
的图象过定点
，且点
在指数函数
图象上，则
___________.
【答案】
【详解】由函数
且
，令
时，
，
所以
，设指数函数为
且
，因为点
在指数函数
图象上，
所以
，所以
，所以
，
故答案为：
.
17．已知函数
恒过定点
，则
__________.
【答案】
【详解】令
，则
，又
，所以
过定点
，
即
，
，所以
故答案为：
18．函数
（
，且
）的图象恒过定点
，若点
在函数
（
，且
）的图象上，则
的最小值为 __________.
【答案】
/
【详解】对于函数
（
，且
），令
，即
，
此时
，
即函数
（
，且
）的图象恒过定点
，
则
（
，且
），
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号.
故答案为：
.
题型05 对数函数的图象
19.已知函数
（
且
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】由函数图像知，
在定义域内单调递减，所以
，
根据图像可知函数
的图像是把
的图像向左平移小于1 个单位得到的，
所以
，解得
.
故选:A.
20.函数
与
的大致图象如图所示，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【详解】由图象结合对数函数的性质可知
，则D 不符合题意；又函数
为奇函数，定义域为
,
B 符合题意．又
的定义域都是
不符合，
故选：B．
21．函数
的部分图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
的定义域为
，定义域关于原点对称，因为
,
所以
是奇函数，排除C 选项；取
，则
；
取
，则
，排除B、D 选项；
故选：A.
22.已知函数
，若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意得
，作出图像分析
时，有
，化简
，从而得到答案.
【详解】由题可得：
，作出
的图像如下：
由
，且
，则
，
，即
，解得：
，
所以
由
，则
，
所以
，故当
，即
时，
取最小
值为
.
故选：B
23.已知函数
，若函数
有3 个零点，则实数a 的取值范围为__________.
【答案】
【详解】作出
的函数图象如图所示:
画出函数
的图象,由图象可知当
时，
有1 零点，
当
时，
有3 个零点，当
或
时，
有2 个零点.
故答案为：
.
题型06 对数（型）函数的单调性
24.（多选）下列函数在定义域内单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】对于A，当
时，函数
在R 上单调递增，因
，则函数
在R 上单调递增，故A 正
确；对于B，当
时，函数
在
上单调递增，因
，则
在
上单调
递增，故B 正确；
对于C，当
时，函数
在
上单调递增，因
，则
在
上单调递增，又
为奇函数，
则
在R 上单调递增，故C 正确；
对于D，函数
在R 上单调递减，故D 错误.
25.函数
的单调增区间是_____．
【答案】
【分析】先求解函数的定义域，再结合对数复合函数单调性规律确定单调增区间.
【详解】由
，得
或
，
所以函数
的定义域为
.
又
在定义域内单调递增，且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调增区间是
.
26.（多选）设函数
，则下列命题为真命题的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数是增函数
C．函数的图象关于直线
对称
D．函数的值域是
【答案】ACD
【详解】
恒成立，故A 正确；函数在
上单调递减，在
上单调递
增，故B 错误；由
，可知值域为
，图象关于直线
对称，故C，D
正确.
函数
的单调递减区间为
.
题型07 利用对数（型）的单调性求参数
27．函数
在
上是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由内层函数为减函数推出对数底数
，再结合真数在区间
上恒正，得到
，最终
即可得到
的取值范围.
【详解】根据题意，对于函数
，令
，则
，
又由
且
，则
为减函数，若函数
在
上是减函数，
必有
，解可得
，即
的取值范围为
.
28．若函数
在区间
上是单调函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
在
上单调递增，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数
在区间
上是单调函数，所以
，且
，
所以
．
29．（2026·河北保定·阶段检测）已知函数
在
上单调，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质可得不等式
在
上恒成立，利用分离参数法和基本不等式可
得
.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数
的取值范围.
【详解】由题意可知，
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立.
又由基本不等式可得
，当且仅当
时，取得等号，所以
.
因为函数
在
上单调，所以
在
上单调，
由复合函数单调性可知
在
上单调，
所以结合二次函数的性质可得：
或
，解得
或
.
综上所述，实数
的取值范围为
.
故选：A.
30．若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
在
上单调递增，所以
，解得
．
31．（2026·山西太原·质检）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】令
，由复合函数可知，内层函数
在
上为减函数，且对任意的
，
恒成立，即可得出关于实数
的不等式组，由此可求得实数
的取值范围.
【详解】令
，因为外层函数
为减函数，且原函数
在
上单调递增，
所以内层函数
在
上为减函数，
且对任意的
，
恒成立，
所以
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
32．若函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是__________.
【答案】
【详解】令
，因为
在
上递增，且函数
在区间
上单调递减，
由复合函数的单调性知：
在区间
上单调递减，又因为
在区间
上递减，
所以
，所以
的取值范围是
.
题型08 对数型函数的最值（值域）
33．函数
的定义域为 ，值域为 .
【答案】
【详解】因为
，所以
恒成立，
由
，得
，则
的定义域为
，
，故
的值域为
.
故答案为：
；
34．函数
的最大值为__________.
【答案】
/
【分析】将函数展开化简为关于
的二次函数，即
，结合二次函数性质求结论.
【详解】
当
，即
时，
取得最大值
.
故答案为：
.
35．已知
，设
，则函数
的最大值为 .
【答案】8
【分析】由
求出
的定义域为
，然后换元，令
，
，得
，根据二次函数的单调性可求出最大值.
【详解】
，
由
得
，即
的定义域为
，
令
，因为
，所以
，
所以
在
上为增函数，所以
时，
.
故答案为：.
题型09 根据对数型函数的最值（值域）求参数
36．设
且
，函数f（x）＝
的定义域为R．若
的值域为
，则a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数值域结合分段函数特征及对数函数单调性列式计算求解参数.
【详解】若
，则
的取值范围是
．
当
时，
，分两种情形讨论：
若
，则
在
单调递增，相应
的取值范围是
，
因此要使
的值域是
，应当有
，两端都取a 为底可得
，解得
．
当
，则
在
单调递减，相应
的取值范围是
，此时无法满足
的值
域是
，故舍去．
综上可得
．
37．若函数
在区间
上的最大值与最小值之差为1，则
的值为______.
【答案】
或
【分析】由
是单调函数可确定最值取在区间端点，列绝对值方程求解.
【详解】因为
是单调函数，所以
是单调函数，其最大值和最小值分别取在区间的两个端点
处，
所以
，即
，
所以
或
，解得
或
，
故答案为：
或
38．（2022·上海·模拟预测）若函数
（
且
）有最大值，则
的取值范围
是 .
【答案】
【详解】因为内函数的是开口向下的二次函数，
有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为
正数,所以，
解得
故答案为：
39．已知函数
的值域为R，关于a 的不等式
恒成立，则
实数k 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】函数
的值域为R，
所以
的值域要包含所有正实数，
当
时，
，则
为一次函数，
当x 取得合适值时，能取遍所有正实数，满足题意，
当
时，
是二次函数，
则
，解得
或
，
综上，a 的取值范围是
，
令
（
），则
，可化为
，
即
对
恒成立，
设
，其对称轴为
，
当
，即
时，
，解得
；
当
，即
时，
，解得
，与
矛盾，舍去.
综上，实数k 的取值范围为
.
故答案为：
.
40．（2026·河北秦皇岛·模拟）已知函数
的值域为
，则实数
的值为
.
【答案】1
【详解】因
的值域为
，
即
，又
在定义域内为增函数，故
的最大值为4，
则
，由
，可得
时，
，解得
，
此时
的定义域为
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则得
，符合题意.
故答案为：1.
题型10 比较对数的大小
41．（2026·天津河东·一模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，所以
.
42．设
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，即
，
所以
的大小关系为
.
43．设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性比较大小.
【详解】令函数
，求导得
，函数
在
上单调递增，
因此
，即
，则
，
令函数
，求导得
，函数
在
上单调递减，
因此
，即
，则
，
所以
.
故选：B
44.设
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
.
因为
为单调递减函数，所以
.
，
因为
为单调递增函数，所以
.
因为
为单调递减函数，所以
.
所以
.
故选：D.
45．已知函数
，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为当
时，
为
上的增函数，又
，
所以
，即
，
故选：A
46．已知
，则正数
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，由此
，
分别为方程
的解，在同一坐标系作函数
的图像，
分别与函数
的图像分别交于
，其横坐标分别为
，
由图可知
.
故选：A.
题型11 解对数方程及不等式
47.若集合
，则
__________.
【答案】
【分析】利用对数函数单调性求解不等式化简集合A，再利用补集的定义求解.
【详解】由
，得
，则
，
所以
．
故答案为：
48．若
，则
的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为函数
在
上单调递减，由
得，
，解得
.所以
的取值范围是
.
49．已知函数
，则
的解集为__________.
【答案】
【分析】求出
的定义域，利用对数不等式可得：
即可求解。
【详解】由函数
，可得
，
解得：
，所以函数
的定义域为
，
而
，
则
，
，得
，故解集为
．
50．已知函数
，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【详解】 令
，不等式转化为
，
，
当
时，
，
解得
，当
时，
显然不成立，所以
，
即
.
题型12 对数函数性质的综合应用
51．设函数
．若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由对数函数的性质得
的正负，从而得到
的正负，进而得到
，转化为二次函
数最值问题.
【详解】函数
的定义域是
，
当
，得
，
，得
，
当
时，
，则
恒成立，又
在区间
单调递增，则
，
当
时，
，则
恒成立，又
在区间
单调递增，则
，
由
，得
，则
，
所以
，当
，
时，
的最小值为
.
故选：B
52．（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
的增区间为
，减区间为
C．函数
的值域为
D．若
，则实数
的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于A 选项，函数
的定义域为
，
由
，有
，
可得函数
为偶函数，故A 选项正确；
对于B 选项，当
时，
，
由函数
在
上单调递增，
在
上单调递增，
可得函数
在
上单调递增（复合函数的单调性），
又由函数
为偶函数，可得函数
的增区间为
，减区间为
，
故B 选项正确；
对于C 选项，当
时，由
，得
，有
，
可得
，
又由函数
为偶函数，可得函数
的值域为
，故C 选项错误；
对于D 选项，由
及函数
是偶函数，
且函数
的增区间为
，减区间为
，
，可得
，故D 选项正确．
故选：ABD.
53.已知函数
，若
存在最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，可判断
为偶函数，进而判断
的单调性，可得
时，
，结合
时，
，结合条件可得解.
【详解】设
，
，
因为
，所以
为偶函数，
当
时，
单调递增，
且单调递增，所以
是单调递增，
故当
时，
是单调递减，
所以当
时，
的最小值为
，所以当
时，
，
当
时，
，因此
，因为
存在最小值，所以
．
故选：A.
54．已知函数
．
（1）求函数
的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）；
（2）函数
，若对
，都
，使得
成立，求实数
的取值范围；
（3）函数
，若对
，都存在
，使得
成立，求实
数
的取值范围；
【答案】(1)定义域为
，增函数；
(2)
；
(3)
.
【详解】（1）令
，即
，解得
，
所以，函数
的定义域为
，
由
在
上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以函数
在其定义域上为增函数.
（2）
，
当
时，令
，
，
当
，
取得最小值
，当
，
取得最大值
，
则当
，
，
由（1）知函数
在
上单调递增，且
，
，
故函数
在
上的值域为
，则
，
对
，都
，使得
成立，
则
，所以，
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
（3）因为
在
上单调递增，由（2）可知，函数
在
上的值域为
，
因为函数
，
若对
，都存在
，使得
成立，则
，
即
，
，
令
，则
，可得
，
，当且仅当
时，等号成立，
所以，
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
题型13 指（对）函数的实际应用
55．（2026·四川达州·二模）“本福特定律”又称“首位数字定律”，是一条关于自然界和人类社会中大
量数据的首位数字分布概率的统计规律：一个数的首位数字是
1,2,3,
,9
m m
的概率为
1
lg 1
m
，据此
可知，一个数的首位数字是3 的概率与首位数字是5 的概率之差约为（参考数据：
lg3
0.477
）（
）
A．0.046
B．0.023
C．0.262
D．0.131
【答案】A
【详解】一个数的首位数字是
1,2,3,
,9
m m
的概率为
1
lg 1
m
，一个数的首位数字是3 的概率为
1
1
4
=lg 1
lg
lg 4
lg3
2lg 2
lg3
3
3
p
，首位数字是5 的概率为
2
1
6
10
=lg 1
lg
lg6
lg5
lg 2 3
lg
lg 2
lg3
lg10
lg 2
5
2
5
p
2lg 2
lg3 1
，
一个数的首位数字是3 的概率与首位数字是5 的概率之差约为
1
2
2lg 2
lg3
2lg 2
lg3 1
1 2lg3
1 2 0.477
0.046
p
p
，故选项A 正确.
56.石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度.在团聚指数增长阶段，
散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量
与超声处理时间（单位：分钟）满足
，其中
为初始颗粒数量，
为团聚速率常数.已知某样品经超声处理6 分钟后，团聚
体数量变为初始的100 倍，则团聚速率常数
约为（ ）（参考数据：
，
）
A．56.2%
B．77.8%
C．115.4%
D．118.4%
【答案】C
【分析】根据题意，得出方程
，结合对数运算性质，即可求解.
【详解】由题意，可得
，即
，
所以
，即
，可得
，所以
.
故选：C.
57.香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽
的关系，即
其中
是信道容量，单位bps；
为信道带宽，单位Hz；
代表接收信号的
信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由
5MHz 扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps 提高至593Mbps，
依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：
，
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可.
【详解】设原始状态信道容量为
，提升后信道容量为
，
由题意可得
，即
，解得
，
同理
，即
，解得
，
所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6 倍.
故选：B
题型14 反函数
58．设函数
且
，若其反函数的图象过点
，则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
的反函数的图象过点
，所以函数
的图象过点
，
所以有
.
故选：B
59．定义在
上的函数
的反函数为
，若
为奇函数，则
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由反函数与原函数的互逆关系知，
的解就是求原函数
的值，
又
，且
为奇函数，
，
，即为
的解.
60．已知函数
的零点为
、函数
的零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，
得
，
，则
，
，
因此
分别是直线
与函数
、
的图象交点
的横坐标，
在同一坐标系中作出函数
，
的图象及直线
，如图，
函数
与
互为反函数，它们的图象关于直线
对称，
直线
也关于直线
对称，则点
关于直线
对称，
即
，则
，CD 错误；
函数
在R 上都是增函数，则函数
在
上是增函数，
又
，
，则
，
因此
，B 错误，A 正确.
61．已知实数
满足
，
，则
__________.
【答案】
【详解】由
关于
对称，又
与
垂直，
所以
与
的交点关于
对称，
结合题设有
，
，且
，
所以
是
与
的交点；
是
与
的交点，
所以
与
关于
对称，则
且
，
所以
.
62．（2025·陕西宝鸡·二模）已知
分别是函数
，
的零点，则
的值为________.
【答案】
【详解】由题意知：
，
分别为
、
与直线
交点的横坐标，
与
关于直线
对称，
关于直线
对称，
则由
得：
，
，
.
故答案为：
.
重难·创新演练
设题创新: 结合生活场景、前沿科技、命制新情境题；融合函数奇偶性、周期性、对称性综合设问；
多题型结合、一题多考点，增设多选、分段函数、零点问题等新颖考法。
1．（2026·山西大同·一模）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先应用指数和对数转化，再应用对数运算律计算判断各个选项.
【详解】因为
，
，所以
，
，所以
，A 选项错误；
，B 选项错误；
，C 选项错误；
，D 选项正确.
故选：D
2．（2026·山东枣庄·二模）已知
是定义在
上且周期为2 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的周期性及奇偶性求解即可.
【详解】因为
是周期为2 的函数，所以
.因为
是奇函数，当
时，
，所以
，故
.
故选：A
3．已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据对称性求出
的周期，再利用奇函数的性质以及周期性即可求得.
【详解】因
为奇函数，则
，
又
，则
，
于是
，即4 是函数
的一个周期，
而
，则
，
，
则
，
又当
时，
，则
，
所以
．
故选：A
4．【新考法】（2026·贵州安顺·一模）设方程
的两个根为
，则
（
）
A．0
B．1
C．e
D．
【答案】A
【分析】先将题设等式利用指对互化和
换元，可得方程
，该方程的两根为
，利用韦
达定理、指数幂运算以及立方和公式化简计算即得.
【详解】由
可得
，设
，则
，方程可化为
，
设该方程的两根为
，则
，由韦达定理，
，则有
，
于是
.
故选：A.
5．【新考法】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
的值域为R，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题知，
在区间
上单调递增，
∴
在区间
上的值域为
，
时，
，
其对称轴为
，要使
的值域为R，
则
在区间
上的值需取遍区间
内所有值，
，解得
.
故选：C．
6．【新情境】（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧
层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量
与时间（单位：年）的关系为
，其中
是臭氧的初
始含量，
为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过
年将有一
半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过
年，臭氧含量只剩下初始含量的
，
约为（ ）
（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，
年臭氧剩一半可得衰减常数
，代入臭氧剩
的条件
，再利用参
考数据计算出
.
【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为
，已知经过
年臭氧含量剩下一半，即
，两边同时取对数得：
，所以
，要求臭氧含量剩初始含量的
，
即
，所以
，即
，由
，
，
得
，代入得：
年，
因此，经过约
年臭氧含量只剩下初始含量的
.
故选：D
7．【新角度】（2025·湖南·二模）若函数
与直线
恰有三个交点，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】画出
的图象，
由图象可知a 的范围是
.
故选：D
8．【新考法】（2025·海南·模拟预测）已知函数
，若存在不相等的实数
，满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的图象对称轴
，
，
函数
在
上单调递增，函数值集合为
，在
上单调递减，函数值集合为
，
在
单调递减，函数值集合为
，在
上单调递增，函数值集合为
，
令
，则函数
的图象与直线
有4 个交点，
在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
，
观察图象，得
，
，由
，得
，
由
，得
，则
，
函数
在
上单调递减，
，因此
，
所以
的取值范围为
.
故选：C
9．（2026·宁夏银川·一模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数的换底公式，对数的运算法则以及指数函数的单调性，通过构造函数，利用导数法求出
单调性比较出
的大小.
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，
，
，
设
，
，
，
，
在
上是单调递增函数，
，
，
，
在
上是单调递减函数，
，
，
，
为
上的单调递减函数，
，
，
，
，即
.
故选：D
10．（多选）已知函数
，若
有三个不等实根
，
，
，且
，则
（ ）
A．
的单调递增区间为
B．a 的取值范围是
C．
的取值范围是
D．函数
有4 个零点
【答案】ACD
【详解】作出
的图象，结合图象逐一判断即可．
【分析】作出函数
的图象，如图所示：
对于A，由图象可得
的单调递增区间为
，故A 正确；
对于B，因为
有三个不等实根，即
与
有三个不同交点，所以
，故B 不正确；
对于C，则题意可知：
，
，所以
，
所以
，故C 正确；
对于D，令
，则有
，令
，则有
或
，
当
时，即
，即
，解得
；
当
时，即
，所以
或
，解得
，或
或
，
所以
共有4 个零点，即
有4 个零点，故D 正确．
故选：ACD．
11．若函数
为偶函数，则实数
.
【答案】
【分析】根据偶函数的定义，对于定义域内的任意
，都有
，通过这个等式来求解
的值.
【详解】已知
为偶函数，则
，即
.
对
进行化简：
将其代入
可得：
得到：
,可得：
因为上式对于定义域内的任意
都成立，所以
，解得
.
故答案为：
.
12．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知
，则
的取值范围为___________.
【答案】
【分析】利用换底公式
换为
，结合对勾函数求解即可.
【详解】因为
，所以令
，则
，所以
，由
的图象可知，所以
，
，所以
.
故答案为：
13．（2026·山东东营·二模）已知奇函数
的周期为2，且当
时，
，则
_____．
【答案】
【详解】由
的周期为2，可得
，
由
是奇函数，可得
，再由
的周期为2，可得
，因为当
时，
，所以
，即
.
故答案为：
14．【新考法】（2026·山西朔州·一模）若
，且
，
，
则
__________.
【答案】
【分析】先利用对数的运算法则对已知条件进行化简，然后通过换元法将对数方程转化为关于新变量的方
程，最后求解方程得到
的值.
【详解】根据题意，由
，可得
，又
，
所以
，令
，
，则
，
，
所以可得
①，
②，将②式通分，可得
，即
③，
将③式代入①式，可得
，解得
，即
.
故答案为：2
真题·实战演练
高频考点：对数运算与换底公式、对数函数单调性与图象、比较对数大小、对数不等式求解、对数
型函数值域与参数问题、反函数、指对数综合应用。
1．（2024·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为
在
上递增，且
，所以
，
所以
，即
，
因为
在
上递增，且
，所以
，即
，
所以
，
故选：D
2．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.
【详解】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
3．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知
，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：
，
对于选项A：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，
可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，
且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
4．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河流
中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得
，消去
即可求解.
【详解】由题意得
，则
，即
，所以
.
故选：D.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围是___________.
【答案】
【分析】原问题等价于
恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得
，由右侧函数的单调性可得实数
的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
