专题2.16 函数模型及其应用（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】.............................................................................................1
【题型2 利用给定函数模型解决实际问题】.........................................................................................................4
【题型3 二次函数模型的应用】..............................................................................................................................6
【题型4 指数、对数函数模型的应用】..................................................................................................................9
【题型5 分段函数模型的应用】............................................................................................................................11
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
C 组 真题·实战演练
【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】
1．（2026 高三·全国·专题练习）在中国天门山举行的WWL 翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如
图反映了他从某时刻开始的15 分钟内的速度v (x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段
[0, x)内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】根据速度差函数的定义，分x∈[0,6], x∈[6,10], x∈[10,12], x∈[12,15]四种情况，分
别求得函数解析式，从而得到函数图象.
【解答过程】由题意可得，当x∈[0,6)时，翼人做匀加速运动，v (x)=80+ 40
3 x，“速度差函数”
u(x)= 40
3 x可排除B 项．
当x∈[6,10)时，翼人做匀减速运动，速度v (x)从160 开始下降，一直降到80,u(x)=160−80=80．
当x∈[10,12)时，翼人做匀减速运动，v (x)从80 开始下降，易得v (x)=180−10 x ,则
u(x)=160−(180−10 x)=10 x−20．
当x∈[12,15)时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u(x)=160−60=100，结合所给的图象，故D 正
确.
故选：D.
2．（25-26 高二下·山东滨州·期末）如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯
形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t 变化时的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据面积公式得出每段的函数解析式，进而得出答案.
【解答过程】当0≤t ≤1时，f (t )= 1
2 t
2，是过原点，且开口向上的抛物线的一部分，故排除D；
当1<t ≤2时，f (t )= 1
2 +(t −1)×1=t −1
2，为单调递增的一次函数的一部分，故排除BC；
当2<t ≤3时，f (t )= 3
2 + (3−t +1)(t −2)
2
= −t
2+6t −5
2
，是开口向下的抛物线的一部分；
故选：A.
3．（25-26 高三上·湖北武汉·期末）一天，亮亮发烧了，早晨6 时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，
中午12 时亮亮的体温基本正常，但是下午18 时他的体温又开始上升，直到半夜24 时亮亮才感觉身上不那
么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24 时)体温的变化情况的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据亮亮的体温变化判断函数图象即可.
【解答过程】从0 时到6 时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；
从6 时到12 时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；
从12 时到18 时，体温上升，图象是上升的，排除选项D．
故符合题意的函数图象为C.
故选：C.
4．（25-26 高一上·福建漳州·期中）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m
2）与时间t（单位：周）的关
系为y =a
t（a为常数），则下列说法中正确的是（ ）
A．浮萍每周增加的面积都相等；
B．t = 4时，浮萍面积就会超过20 m
2；
C．浮萍每周的增长率不是定值；
D．若浮萍面积为2m
2，3 m
2，6 m
2时所对应的时间分别是t1,t2,t3，则t1+t2=t3．
【答案】D
【解题思路】由图可得函数的解析式为y =2
t，求出对应的值以及对数的运算逐一判断即可.
【解答过程】由图可得，函数y =a
t过点(1,2)，所以函数的解析式为y =2
t.
对于A 选项，第二周比第一周增加2
2−2
1=2，第三周比第二周增加2
3−2
2= 4，所以浮萍每周增加的面积
不相等，所以A 错误；
对于B 选项，当t = 4时，y =2
4=16<20，所以浮萍面积不超过20m
2，所以B 错误；
对于C 选项，第t (t ≥2)周的增长率为2
t−2
t −1
2
t −1
×100 % =100 %，所以浮萍每周的增长率为定值，所以C 错
误；
对于D 选项，由题意可得：2=2
t1，3=2
t2，6=2
t3，所以t1= log22，t2= log23，t3= log26，
所以t1+t2= log22+ log23= log26=t3，所以D 正确.
故选：D.
【题型2 利用给定函数模型解决实际问题】
5．（2026·重庆渝中·模拟预测）某科研团队研发了一款新型环保材料，其降解过程遵循指数衰减模型，实
验测得，该材料在自然环境下的质量M (t )（单位：克）与时间t（单位：天）满足关系式M (t )= M 0⋅a
−t
，其中M 0为初始质量，a为一个大于1 的常数，已知该材料在第10 天时，其质量的常用对数值（以10 为
底）比初始质量的常用对数值小0.15，若要将材料质量降解至初始质量的
1
1000，至少需要经过（ ）天
A．198 天
B．199 天
C．200 天
D．201 天
【答案】C
【解题思路】根据题意，先求出a=10
0.015，再根据M (t )
M (0) =
1
1000，解出t即可．
【解答过程】解：M (0)= M 0, M (10)= M 0⋅a
−10，
lg M (10)−lg M (0)=lg M 0a
−10
M 0
=−10lga=−0.15，
解得a=10
0.015，则M (t )= M 0⋅10
−0.015t，
M (t )
M (0) = M 0⋅10
−0.015t
M 0
=10
−0.015t =
1
1000 =10
−3，
∴−0.015t =−3，解得t =200．
故选：C.
6．（2026·北京海淀·一模）在某密码系统中，生成密码需要从含有94 个符号的字符集中随机选择字符.密
码熵H（单位：比特）的计算公式为H = log2(94
l)，其中l 为密码长度.根据密码熵估计表，当l =8时，
H ≈52.4比特.若某用户将密码长度从l =6增加到l =18，则密码熵的增加量约为（ ）
A．78.6 比特
B．86.4 比特
C．99.0 比特
D．104.8 比特
【答案】A
【解题思路】通过对数运算法则对密码熵公式进行变形，利用已知条件求出单长度对应的熵值，进而计算
出长度变化后的熵增.
【解答过程】根据密码熵计算公式 H =log2(94
l)，利用对数运算法则将其变形为 H =l⋅log294.
当密码长度 l =6 时，密码熵 H 1=6log294；
当密码长度 l =18 时，密码熵 H 2=18log294.
密码熵的增加量 Δ H = H 2−H 1=18log294−6log294 =12log294.
已知当 l =8 时，H ≈52.4，即 8log294 ≈52.4，由此可得 log294≈52.4
8
=6.55.
将 log294≈6.55 代入 Δ H =12log294，解得 Δ H ≈12×6.55=78.6.
故选：A.
7．（2026·北京房山·一模）2025年我国新能源汽车产量突破1 600万辆．某车企研发了一款新型电池，使
用t (t ≤15)年后的容量为h(t )=0.25e
−λt +0.75，其中λ为常数．已知该电池使用3年后容量衰减为初始
(t =0时)容量的90%．若要保证电池容量不低于初始容量的80%，则该电池最长可使用约（ ）
（参考数据：ln3≈1.10，ln5≈1.61）
A．7年
B．8年
C．9年
D．10年
【答案】C
【解题思路】先求出λ，再根据题意可得0.25e
−λt +0.75≥0.8，再根据指数函数的单调性解不等式即可.
【解答过程】由题意0.25e
−3 λ+0.75=0.9，解得λ =−1
3 ln 3
5 = ln5−ln3
3
，
要保证电池容量不低于初始容量的80%，
则0.25e
−λt +0.75≥0.8，则e
−λt ≥1
5，所以−λt ≥ln 1
5，
即−ln5−ln3
3
t ≥−ln5，
所以t ≤
3 ln5
ln5−ln3 ≈
3×1.61
1.61−1.10 ≈9.47，
所以要保证电池容量不低于初始容量的80%，则该电池最长可使用约9年.
故选：C.
8．（2026·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量
和信噪比及信道带宽的关系，即C =W log2(1+ S
N)其中C是信道容量，单位bps；W 为信道带宽，单位
Hz；S
N 代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换
数千次频率将信道带宽由5MHz 扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由
17.3Mbps 提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：
2
3.46≈11，2
5.93≈60.97）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解题思路】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可.
【解答过程】设原始状态信道容量为C1，提升后信道容量为C2，
由题意可得C1=W 1log2(1+ S1
N 1)，即17.3=5log2(1+ S1
N 1)，解得
S1
N 1
≈10，
同理C2=W 2log2(1+ S2
N 2)，即593=100log2(1+ S2
N 2)，解得
S2
N 2
≈60，
所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6 倍.
故选：B.
【题型3 二次函数模型的应用】
9．（25-26 高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行
售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5 万元，每件纪念品的生产成本为40 元，经市场调研预估，若以
60 元的单价出售，则能销售1 万件，在销售单价60 元的基础上，每降价1 元，销量在1 万件的基础上增加
1 千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（ ）
A．50 元
B．52 元
C．53 元
D．55 元
【答案】D
【解题思路】设该款纪念品降价x元，根据题意得到利润y =−0.1( x −5)
2+17.5，根据二次函数的最值即
可得到答案.
【解答过程】依题意，设该款纪念品降价x元，则销售单价为(60−x)元，销售量为(1+0.1 x)万件，
利润为y =(60−x)(1+0.1 x)−40(1+0.1 x)−5=−0.1 x
2+ x +15=−0.1( x−5)
2+17.5，当x =5时，y取
得最大值，即定价为55 元时，利润最大.
故选：D.
10．（25-26 高一上·江西·阶段检测）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目
红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最
高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单
位：秒）之间的关系式为h=−3.6t
2+28.8t，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4 秒
B．第5 秒
C．第3.5 秒
D．第3 秒
【答案】A
【解题思路】利用配方法，求二次函数最大值及相应t值即可.
【解答过程】由题意，h=−3.6t
2+28.8t =−3.6(t
2−8t +16)+57.6 =−3.6(t −4)
2+57.6，
则当t = 4时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第4秒.
故选：A.
11．（25-26 高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部
分），已知AB = AC =20 m，BC =24 m，则内接矩形花园面积的最大值为（ ）
A．84m
2
B．90m
2
C．100m
2
D．96m
2
【答案】D
【解题思路】设DE = x m，矩形DEFG的面积为S (x)m
2．取BC的中点H，连接AH，交DE于I．由等腰
三角形求得AH，由三角形相似表示出AI，从而得到EF，然后得到S (x)，通过配方法求得其最大值.
【解答过程】设DE = x m，矩形DEFG的面积为S (x)m
2．
取BC的中点H，连接AH，交DE于I．
因为AB = AC，所以AH ⊥BC，AI ⊥DE，则AH = ❑√A B
2−(
BC
2 )
2
=16 m．
易知DE // BC，则△ADE∼△ABC，则DE
BC = AI
AH ，
则AI＝DE⋅AH
BC
= 16 x
24 = 2
3 x m，所以EF = HI = AH −AI =(16−2
3 x)m，
所以S (x)= DE⋅EF = x(16−2
3 x)=16 x−2
3 x
2=−2
3
(x−12)
2+96，
当x =12时，S (x)取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为96m
2．
故选：D.
12．（25-26 高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉
粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10 元．若按最低售价
出售，每天能卖出40 个；若每个肉粽的售价每提高1 元，日销售量将减少2 个．那么小嘉一天能获得的最
大收入是（ ）
A．440 元
B．450 元
C．460 元
D．470 元
【答案】B
【解题思路】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值.
【解答过程】设每个肉粽的售价提高x元，则售价为(10+ x)元，日销售量为(40−2 x)个.
收入y =(10+ x)(40−2 x)=−2 x
2+20 x + 400.
因为二次函数y =−2 x
2+20 x + 400开口向下，当x =−
20
2×(−2) =5时，y取得最大值.
此时最大收入为(10+5)×(40−2×5)=15×30= 450元.
故选：B.
【题型4 指数、对数函数模型的应用】
13．（2026·云南·模拟预测）大气压强P（单位：kPa）与海拔高度h（单位：m）之间的关系可由公式
P = P0⋅e
−kh近似描述，其中P0为海平面标准大气压强，k为常数．已知在某地区，海拔4000 米处的大气
压强为60kPa，海拔8000 米处的大气压强为40kPa．若在该地区测得某地的大气压强为45kPa，则该地的
海拔高度约为（ ）（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．5400 米
B．6100 米
C．6800 米
D．7500 米
【答案】C
【解题思路】根据条件得到60= P0 · e
−k · 4000，40= P0 · e
−k · 8000，两式相比得到2
3 =e
−4000k，又由
60= P0 ·e
−k · 4000和45= P0 · e
−kh，得到3
4 =e
−k(h−4000)，从而得到h−4000
4000
= −0.1249
−0.1761，即可求解.
【解答过程】根据题意，代入两组已知数据：对于海拔4000 米处：60= P0 · e
−k · 4000①，
对于海拔8000 米处：40= P0 · e
−k · 8000②，
将方程②除以方程①：40
60 = P0 · e
−8000k
P0 · e
−4000k，即2
3 =e
−4000k③，
设气压为45kPa 时的海拔为h米，则有：45= P0 · e
−kh④，
将方程④除以方程①：45
60 = P0 · e
−kh
P0 · e
−4000k ，即3
4 =e
−k(h−4000)，即(e
−4000k)
h−4000
4000 = 3
4
，
代入③式结果e
−4000k = 2
3：(
2
3)
h−4000
4000 = 3
4 ，
对两边取常用对数：h−4000
4000
· lg(
2
3)=lg(
3
4)，h−4000
4000
· (lg2−lg3)=lg3−lg 4，
代入参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg 4 =2lg2≈0.6020
可得h−4000
4000
· (0.3010−0.4771)= 0.4771−0.6020，
h−4000
4000
· (−0.1761)=−0.1249，
h−4000
4000
= −0.1249
−0.1761 ≈0.709，
h−4000≈0.709×4000≈2836，
h≈4000+2836=6836米．
故选：C.
14．（2026·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度I 0为
标准，天体的星等m与亮度I满足m=−5
2 lg I
I 0
，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星
与牛郎星的亮度之比为（ ）
A．10
5
2
B．10
−5
2
C．10
12
25
D．10
−12
25
【答案】D
【解题思路】利用给定的函数关系，建立方程，结合对数运算求得答案.
【解答过程】令北极星与牛郎星的亮度分别为I 1, I 2，依题意，{
2=−5
2 lg I 1
I 0
0.8=−5
2 lg I 2
I 0)
，
两式相减得−5
2 lg I 1
I 2
= 6
5 ，解得I 1
I 2
=10
−12
25.
故选：D.
15．（2026·四川成都·模拟预测）2021 年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造
作坊.利用碳14 测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14 的质量N 随时间t（单位：年）的衰
变规律满足N = N 0⋅(
1
2)
t
5730（N 0表示碳14 原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物
样本中碳14 的质量约是原来的
❑√2
2 至3
4 ，据此推测青铜布币生产的时期距今约（ ）年（按区间的中点进
行估计，近似到十年）?（参考数据：log23≈1.6）
A．1880 年
B．2580 年
C．3550 年
D．4150 年
【答案】B
【解题思路】根据题意得
❑√2
2 N 0≤N 0⋅(
1
2)
t
5730 ≤3
4 N 0，解不等式得2292≤t ≤2865，再结合区间的中点
进行估计，近似到十年即可求解.
【解答过程】根据题意，
❑√2
2 N 0≤N 0⋅(
1
2)
t
5730 ≤3
4 N 0，即
❑√2
2 ≤(
1
2)
t
5730 ≤3
4 ，
所以log2
❑√2
2 ≤log2(
1
2)
t
5730 ≤log2
3
4 ，即−1
2 ≤−
t
5730 ≤log23−2，
所以0.4≤
t
5730 ≤0.5，即2292≤t ≤2865，
所以区间的中点为2292+2865
2
=2578.5，近似到十年为2580 年.
故选：B.
16．（2026·重庆·一模）我国某电子企业通过技术创新，于本月成功推出了首款5 纳米芯片，并且随着技
术的进步，每个月都会推出其改进型号，已知三年内该芯片的晶体管数目N与以后第t个月的关系满足
N =n0⋅a
t，单个晶体管的价格Y 与t的关系为Y =m0⋅b
t，每18 个月芯片的晶体管数目会变为之前的2
倍，每12 个月单个晶体管的价格会变成原来的一半，芯片的价格为晶体管数目与单个晶体管价格之积，则
以后第6 个月时推出的改进型号芯片的价格是首款芯片价格的（ ）倍.
A．(
1
2)
6
B．(
1
2)
1
6
C．(
1
2)
1
3
D．(
1
2)
3
【答案】B
【解题思路】由题意根据单个晶体管的数目和价格变化情况列出方程，解得a,b，再分别表示出首款芯片
与改进型号芯片的价格，即可得解.
【解答过程】由题可知，若N 0=n0⋅a
0，则2 N 0=n0⋅a
18，得a
18=2，即a=2
1
18；
若Y 0=m0⋅b
0，则1
2 Y 0=m0⋅b
12，得b
12= 1
2，即b=2
−1
12.
设首款芯片价格为W 0= N 0⋅Y 0=n0m0⋅a
0⋅b
0=n0m0，
则以后第6 个月时推出的改进型号芯片的价格W 1= N 1⋅Y 1=n0⋅a
6⋅m0⋅b
6，
则W 1
W 0
= n0⋅a
6⋅m0⋅b
6
n0⋅m0
=(2
1
18 )
6⋅(2
−1
12 )
6=2
1
3 −1
2 =2
−1
6 =( 1
2 )
1
6，
故选：B.
【题型5 分段函数模型的应用】
17．（25-26 高一上·广西百色·阶段检测）某省对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方式如下表：
每户每年用电量
电价
不超过2160 千瓦时
0.60 元/千瓦时
超过2160 千瓦时但不超过4200 千瓦时的部分
0.65 元/千瓦时
超过4200 千瓦时的部分
0.90 元/千瓦时
若某户居民一年的电费为2712 元，则此户居民这一年使用的电量为（ ）
A．3750 千瓦时
B．3950 千瓦时
C．4300 千瓦时
D．4400 千瓦时
【答案】C
【解题思路】根据题意，得到本年缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求
解.
【解答过程】由题意，设某户居民用电量为x千瓦时，本年缴纳的电费为y，
可得y ={
0.60 x , x∈(0,2160]
1296+0.65×( x−2160), x∈(2160,4200]
2622+0.90×( x−4200), x∈(4200,+ ∞))
，
当某户居民本年缴纳的电费为2712 元时，可得2622+0.90×( x−4200)=2712，
解得x = 4300，即居民本年的用电量为4300 千瓦时.
故选：C.
18．（25-26 高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药t (0≤t ≤12)小时后每毫
升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含
药量不少于4 毫克时治疗疾病有效，则12 小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（ ）
A．4 小时
B．5 小时
C．6 小时
D．7 小时
【答案】A
【解题思路】首先求出函数解析式，再令y ≥4求出相应的t的取值范围，即可得解．
【解答过程】当0≤t ≤3时，则y = 6
3 t =2t，
当3<t ≤12时，设函数为y =kt +b，
将(3,6)，(12,0)代入可得{
6=3k +b
0=12k +b)，解得{
k =−2
3
b=8 )
，所以y =−2
3 t +8，
所以y ={
2t ,0≤t ≤3
−2
3 t +8,3<t ≤12)
，
要使y ≥4，则{
2t ≥4
0≤t ≤3)或{
−2
3 t +8≥4
3<t ≤12 )
，解得2≤t ≤3或3<t ≤6，
综上所述：2≤t ≤6，
所以有效所持续的时长为6−2= 4个小时．
故选：A．
19．（25-26 高一上·河北邢台·期中）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．
AQI 大于200 表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0∼24时的空气质量指数y随时间t变化的
趋势由函数y ={
4t +160,0≤t ≤12,
384
t
+176,12<t ≤24)
描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（ ）
A．6 小时
B．8 小时
C．16 小时
D．18 小时
【答案】D
【解题思路】当AQI 大于200 时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动；即AQI小于或等于200 时适合
开展户外活动，根据分段函数的解析式，分情况讨论求出不等式解集，再求出区间长度即可.
【解答过程】由AQI 大于200 表示空气重度污染，不宜开展户外活动，
得当AQI小于或等于200 时，可开展户外活动，即y ≤200，
因为y ={
4t +160,0≤t ≤12,
384
t
+176,12<t ≤24 ,)
所以当0≤t ≤12时，4t +160≤200，解得0≤t ≤10，
当12<t ≤24时，384
t
+176≤200，解得16≤t ≤24．
综上，可开展户外活动的时长至多为10−0+24−16=18小时．
故选：D.
20．（2026·安徽淮南·一模）我国在2020 年9 月22 日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030 年前
实现碳达峰，争取在2060 年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，
进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）
与处理量x（单位：吨）( x∈[120,500])之间的函数关系可近似表示为y =¿，当处理量x 等于多少吨时，
每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120
B．200
C．240
D．400
【答案】D
【解题思路】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分x∈[120,144)和
x∈[144,500]分析讨论求出其最小值即可
【解答过程】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S ={
1
3 x
2−80 x +5040, x[120,144)
1
2 x−200+ 80000
x
, x∈[144,500])
，
当x∈[120,144)时，S = 1
3 x
2−80 x +5040= 1
3 ( x−120)
2+240，
当x =120时，S取得最小值240，
当x∈[144,500] 时，S = 1
2 x + 80000
x
−200≥2❑√
1
2 x⋅80000
x
−200=200，
当且仅当1
2 x = 80000
x
，即x = 400时取等号，此时S取得最小值200，
综上，当每月的理量为400 吨时，每吨的平均处理成本最低为200 元，
故选：D.
一、单选题
1．（25-26 高二上·湖北孝感·期末）某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如下图所示（收支
差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改
变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和
虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
A．①反映建议（2），③反映建议（1）B．①反映建议（1），③反映建议（2）
C．②反映建议（1），④反映建议（2）D．④反映建议（1），②反映建议（2）
【答案】B
【解题思路】根据收支差额的计算公式可得正确的判断.
【解答过程】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜
方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；
对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③
反映建议（2）.
故选：B.
2．（25-26 高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水
价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为xm3，其缴纳的水费为y元，则（ ）
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3 元/ m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6 元/ m3
超过18m3的部分
9 元/ m3
A．y ={
3 x ,0< x ≤12
6 x ,12< x ≤18
9 x , x>18 )
B．当x =13时，y =78
C．若y = 48，则x =14
D．若y =81，则x =13.5
【答案】C
【解题思路】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判
断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断.
【解答过程】对于A：根据题意，当12< x<18时，水价y =3×12+6(x−12)=6 x−36，
当x>18时，y =3×12+6×6+9(x−18)=9 x−90，
所以阶梯水价的正确分段函数应为y ={
3 x ,0< x ≤12
6 x−36,12< x ≤18
9 x−90, x>18 )，A 错误；
对于B：当x =13时，y =13×6−36= 42，B 错误；
对于C：若y = 48，则{
0< x ≤12
3 x = 48 )①或{
12< x ≤18
6 x−36= 48)②或{
x>18
9 x−90= 48)③，
①③无解，由②解得x =14，C 正确；
对于D：若y =81，则{
0< x ≤12
3 x =81 )④或{
12< x ≤18
6 x−36=81)⑤或{
x>18
9 x−90=81)⑥，
④⑤无解，由⑥解得x =19，D 错误；
故选：C.
3．（25-26 高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗
油Q（单位：L）与速度v（单位：km /h)(0≤v ≤120)的下列数据：
v
0
40
60
80
120
Q
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（ ）
A．Q =
1
v +1 +b
B．Q =a v
3+b v
2+cv
C．Q =0.5
v+a
D．Q =k logav +b
【答案】B
【解题思路】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型．
【解答过程】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为[0,120)；第二，在定义域单调递增且单位
增长率变快；第三，函数图象过原点.
函数Q =
1
v +1 +b和Q =0.5
v+a在定义域内单调递减，不符合条件，故AC 错误；
函数Q =k logav +b中0 不在函数的定义域中，故D 错误；
B 选项：Q =a v
3+b v
2+cv满足上述三点，故B 正确.
故选：B.
4．（2026·安徽·三模）股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金
融市场行为．已知某支股票的当前价格为12 元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%
（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考
虑其他限制，设x个交易日后该股票价格达到60 元每股，则x的最小值为（ ）（参考数据：lg2≈0.301，
lg3≈0.477）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解题思路】根据每日最大涨幅列出x个交易日后股票价格满足的不等式，两边取常用对数后结合给定参
考数据计算，得到x的最小正整数值.
【解答过程】要让x最小，需要每个交易日都涨停（每天价格变为原来的1+20 % =1.2倍），
因此x天后的价格满足不等式12×(1.2)
x≥60化简得(1.2)
x≥5，
两边取常用对数，得x⋅lg 1.2≥lg 5
因为lg 1.2=lg 6
5 =lg 6−lg 5=(lg 2+lg 3)−(1−lg 2)=2lg 2+lg 3−1≈2×0.301+0.477−1=0.079
，
lg 5=1−lg 2≈1−0.301=0.699，
所以x ≥0.699
0.079 ≈8.85，
因为x是正整数，所以x的最小值为9.
故选：C.
5．（25-26 高一上·江苏扬州·阶段检测）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为
商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023 年10 月起开展网络销售与实体店体验安
装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足
函数关系式x =3−2
t +1.已知网店每月固定的各种费用支出为3 万元，产品每1 万件进货价格为32 万元，
若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公
司最大月利润是（ ）万元.
A．45.5
B．37.5
C．36
D．35
【答案】B
【解题思路】根据题意，得到t =
2
3−x −1(1< x<3)，进而得到月利润的表示式，结合基本不等式即可求
解.
【解答过程】依题意，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x =3−2
t +1，
即有t =
2
3−x −1，由t >0，得1< x<3，
因此月利润y =(32×1.5+ t
2 x )x−32 x−3−t =16 x−t
2 −3=16 x−
1
3−x −5
2
= 45.5−[16(3−x)+
1
3−x ]≤45.5−2❑√16=37.5，当且仅当16(3−x)=
1
3−x 时，即x = 11
4 时取等号，
所以当x = 11
4 万件时，该公司最大月利润为37.5万元.
故选：B.
6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率≥98 %，
某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量Y (mg/L)与时间t (h)的关系为
Y =Y 0e
−kt，其中Y 0为初始污染物数量，k为常数.若在某次过滤过程中，前2 小时过滤掉了污染物的40 %
，则可得到前4 小时共能过滤掉污染物的（ ）
A．50 %
B．64 %
C．78 %
D．80 %
【答案】B
【解题思路】利用给定的函数关系，先通过前2 小时的过滤比例求出e
−2k，再计算前4 小时的剩余污染物
比例，进而得到过滤掉的污染物占比.
【解答过程】由题意知，Y =Y 0e
−kt，因为前2 小时过滤掉了污染物的40 %，
则剩余污染物为1−40 %=60%，即0.6Y 0=Y 0e
−2k，得e
−2k =0.6，
则前4 小时的剩余污染物量：Y =Y 0e
−4 k =Y 0⋅(e
−2k)
2=Y 0⋅0.6
2=0.36Y 0，
即剩余污染物是36 %，则前4 小时过滤掉的污染物比例为1−36 %=64%.
故选：B.
7．（2026·北京门头沟·一模）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力
学模型，可用C =C0e
−kt（C0，k 为正常数）描述，其中C 为喷施农药t 天后，果蔬表面的农药残留量（单
位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数k =ln2
3 ，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为
8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（ ）
A．3 天
B．6 天
C．9 天
D．12 天
【答案】C
【解题思路】根据国家食品安全标准规定得出不等式，再由函数单调性解不等式即可求得结果.
【解答过程】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为t天,
依题意可得C0e
−kt ≤1,其中C0=8，k =ln2
3 ，
所以可得e
−ln2
3 t
≤1
8
，即−ln2
3 t ≤−3ln2，解得t ≥9；
因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为9 天.
故选：C.
8．（2026·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是
五分视力记录方式（缪氏记录法）：L=5−1g kd
D ，其中，L为被测试眼睛的视力值，d为该眼睛能分辨清
楚的最低一行“E”形视标的笔划宽度（单位：毫米），D为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1 所
示，k是与d , D无关的常量．图2 是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0 的人在距离该视力表5 米
处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2 中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3 米处进行
检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2 中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明
右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：1g2≈0.30,1g3≈0.48）
A．4.5
B．4.6
C．4.8
D．5.0
【答案】C
【解题思路】根据已知视力值求出lg kd
D 的值，再根据小明距离3 米，求出其实际视力值.
【解答过程】已知当L=5.0，D =5时，代入L=5−1g kd
D ，解得kd =5.
小明在距离该视力表3 米处进行检测,即D =3，代入L=5−1g kd
D ，求解L=5−lg 5
3；
因为题中参考数据已知1 g2≈0.30，1 g3≈0.48；
所以lg 5
3 =lg5−lg3=lg 10
2 −lg3=lg10−lg2−lg3≈1−0.30−0.48=0.22.
所以L=5−lg 5
3 ≈5−0.22= 4.78.
故选：C.
二、填空题
9．（25-26 高一上·江苏镇江·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来温度是T 1❑
∘C，空气温
度是T 0❑
∘C，则经过时间t分钟后物体温度T
oC可以由公式T =T 0+(T 1−T 0)⋅e
−0.25t求得．若把温度是
90
∘C的物体放在10
∘C的空气中冷却到50
∘C，大概需要___________分钟．（精确到0.01）
（参考数据：ln3=1.099，ln2=0.693）
【答案】2.77
【解题思路】将物体初始温度、空气温度、冷却后温度代入冷却公式，化简得到指数方程，通过取自然对
数转化为线性方程，代入参考数据计算出冷却所需时间.
【解答过程】由题知T 1=90,T 0=10,T =50，代入T =T 0+(T 1−T 0)⋅e
−0.25t，
得10+(90−10)⋅e
−0.25t =50，
即e
−0.25t = 1
2 ，∴−0.25t =ln 1
2 =−ln2，
解得t = 4ln2≈4×0.693≈2.77，
即把温度是90
∘C的物体放在10
∘C的空气中冷却到50
∘C，
大概需要2.77 分钟．
故答案为：2.77.
10．（25-26 高一上·湖南·阶段检测）我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高
允许浓度为 18 mg/m³.为满足此要求，某地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后
废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m³）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式： y = N 0(
9
10)
t
，
其中N 0为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m³，那么从现在
起至少经过__________分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数，lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
【答案】17
【解题思路】由题意得到不等式，两边取对数进行求解，得到答案.
【解答过程】由题意得100⋅(
9
10)
t
≤18，两边取对数得lg100+lg(
9
10)
t
≤lg18，
解得t ≥lg2+2lg3−2
2lg3−1
≈0.3010+2×0.4771−2
2×0.4771−1
≈16.3，
结果精确到整数，故从现在起至少经过17分钟才能达到排放标准.
故答案为：17.
11．（25-26 高一上·陕西西安·期中）为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力
的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40 分钟的远程网络学习中，注意力指数
y与时间t之间的关系近似满足如图所示的曲线．当t ∈（0，14 ]时，曲线是二次函数图象的一部分，当
t ∈[14，40）时，曲线是函数y =loga(t −5)+83(a>0 且a≠1)图象的一部分，根据专家研究发现，当
注意力指数不低于80 时，学习效率最佳．据此可以判断，研究对象在40 分钟的远程网络学习过程中，学
习效率最佳的时间共有___________分钟．（参考数据：
❑√2≈1.414；❑√3≈1.732，lg2≈0.301，lg3≈0.477 ）（结果保留小数点后两位有效数字）
【答案】22.83
【解题思路】根据图象求出分段函数的解析式，根据题意列出不等式，求解相关不等式，可求出最佳时间
段.
【解答过程】由图可设当t ∈(0,14 ]时，f (t )=m(t −12)
2+82.
因为f (14)=81，所以4 m+82=81，所以m=−1
4 .
所以当t ∈(0,14 ]时，f (t )=−1
4
(t −12)
2+82.
loga(14−5)+83=81 ，所以a= 1
3.
所以当t ∈[14,40)时，y =log1
3
(t −5)+83.
所以f (t )={
−1
4
(t −12)
2+82,t ∈(0,14 ]
log 1
3
(t −5)+83,t ∈[14,40))
.
当t ∈(0,14 ]时，由f (t )=−1
4
(t −12)
2+82≥80，得(t −12)
2≤8，所以12−2❑√2≤t ≤14，即9.17≤t ≤14.
当t ∈[14,40)时，由y =log1
3
(t −5)+83≥80，得log1
3
(t −5)≥−3，所以14≤t ≤32.
综上所述，9.17≤t ≤32.
所以，研究对象在40 分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有约32−9.17=22.83分钟 .
故答案为：22.83.
12．（25-26 高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是
由两个周长均为28m 的相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花
坛，造价为2000元/m
2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价75元/m
2；在四个空角
（图中四个三角形）铺上草坪，造价为200元/m
2.若要使总造价不高于28000元，则正方形MNPQ周长的
最大值为___________m.
【答案】12
【解题思路】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000 列不等式
解出即可.
【解答过程】设正方形MNPQ的边长为x m , x>0，则正方形MNPQ的面积为x
2m
2，
四个相同的矩形即阴影部分的面积为2(14−x) x−2 x
2=28 x−4 x
2(m
2)，
四个空角的面积为4× 1
2 ×(
14−2 x
2 )
2
=98−28 x +2 x
2(m
2)，
设总造价为W 元，则
W =2000 x
2+75(28 x −4 x
2)+200(98−28 x +2 x
2)=2100 x
2−3500 x +19600≤28000，
即3 x
2−5 x−12≤0，即(x−3)(3 x + 4)≤0，解得0< x ≤3，
故正方形MNPQ周长的最大值为3×4 =12m.
故答案为：12.
一、单选题
1．（2026·湖北十堰·二模）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节
中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水
果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y
（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：y =e
ax +b（其中a，b 为常数）.若该蔬菜在贮藏温度
为9℃的环境下保鲜时间为261 小时，在23℃的环境下保鲜时间为29 小时，且该蔬菜所需物流时间为87
小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（ ）
A．12℃
B．14℃
C．16℃
D．18℃
【答案】C
【解题思路】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围.
【解答过程】已知保鲜时间y与贮藏温度x的关系为y =e
ax +b（a,b为常数）.
当x =9时，y =261，代入得：261=e
9a+b①
当x =23时，y =29，代入得：29=e
23a+b②
将①÷②化简可得：9=e
(9a+b)−(23a+b)，即9=e
−14 a，解得：a=−ln3
7 ，
代入①式求得：e
b=261×3
9
7，
由题意y ≥87，即：e
ax +b≥87，即e
−ln3
7 x +b
≥87，
则
e
b
3
x
7
≥87，将e
b=261×3
9
7代入：261×3
9
7
3
x
7
≥87，
化简可得： 3
16
7 −x
7 ≥1，当指数大于等于零时不等式成立，即 16−x
7
≥0，解得：x ≤16.
所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过16
∘C.
故选C.
2．（25-26 高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．
茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度y（单位：❑
∘C）和泡茶时间t（单位：
min）满足关系式y ={
−5t +70,0≤t ≤5
165
t
+5,5<t ≤10)
，若喝茶的最佳口感水温大约是60
∘C，则需要等待的时间为
（ ）
A．1.5min
B．2min
C．3 min
D．4 min
【答案】B
【解题思路】解方程y =60即可.
【解答过程】因为茶水温度y（单位：❑
∘C）和泡茶时间t（单位：min）满足关系式
y ={
−5t +70,0≤t ≤5
165
t
+5,5<t ≤10)
，
且喝茶的最佳口感水温大约是60
∘C，
当0≤t ≤5时，由y =−5t +70=60可得t =2，合乎题意；
当5<t ≤10时，由y = 165
t
+5=60，解得t =3，舍去.
综上所述，t =2.
因此，需要等待的时间为2min.
故选：B.
3．（25-26 高一上·四川绵阳·期中）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为300m
3，深度为3m.池底每平方
米的造价为100元，池壁每平方米的造价为50元，设计水池的最低总造价约为（ ）
A．12000元
B．15000元
C．16000元
D．24000元
【答案】C
【解题思路】设无盖贮水池的底面长为x m，宽为y m，列出总造价关于x、y的关系式，利用基本不等式
即可求解.
【解答过程】设无盖贮水池的底面长为x m，宽为y m，
又其深度为3m，容积为300m
3，所以3⋅x⋅y =300，化简得y =100
x ，
令池底面积为S，则3⋅S =300，解得S =100，
又池底每平方米的造价为100元，则池底总造价为100×100=10000元，
池壁由四个侧面组成，面积为2×(3 x +3 y)=6(x + y)m
2，
又池壁每平方米的造价为50元，则池壁总造价为50×6(x + y)=300(x + y)元，
综上所述，水池的总造价为300(x + y)+10000元，
令f (x)=300(x + y)+10000，又y =100
x ，
所以f (x)=300(x + 100
x )+10000，
根据基本不等式，可得f (x)=300(x + 100
x )+10000≥300×2❑√x⋅100
x +10000=16000，
当且仅当x = 100
x ，即x =10时，取得最小值16000.
故选：C.
4．（2026·浙江宁波·一模）大气压强p=
压力
受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h
（m）的变化规律可以近似的表示为p= p0e
−kh（其中e 为自然对数的底数，p0是海平面大气压强，k为常
数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波
城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处
的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（ ）（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．(2900,3200) B．(2500,2800)
C．(2000,2300)
D．(1600,1900)
【答案】C
【解题思路】结合题意与对数的运算性质求解海拔高度，再判断范围即可.
【解答过程】设城区的压强为p1，四明山的压强为p2，
由题意得p1= p0e
−4 k =101000，p2= p0e
−1018k =90900，
两式作除法可得e
1014 k = 101000
90900 ，解得k =
ln 10
9
1014
，
对于目标点，可得p0e
−kh=80800，由已知得p0e
−4 k =101000，
两式作除法可得e
k(h−4)= 5
4 ，解得h=
ln 5
4
ln 10
9
⋅1014 + 4，
则h=
ln 5
4
ln 10
9
⋅1014 + 4 =
lg 5
4
lg 10
9
⋅1014 + 4 = lg5−lg 4
lg10−lg9 ⋅1014 + 4
= 1−lg2−2lg2
1−2lg3
⋅1014+ 4 = 1−3lg2
1−2lg3 ⋅1014+ 4
= 1−3×0.3010
1−2×0.4771 ⋅1014+ 4≈2152m，在(2000,2300)内，故C 正确.
故选：C.
二、解答题
5．（25-26 高二下·上海·期末）某企业2025 年年初花费49 万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设
备使用后，每年的总收入预计为40 万元，设备使用 x (x∈N
∗)年后该设备的总维修保养费用为 x
2+ 4 x
万元，盈利总额为y万元.
(1)求 y 关于 x 的函数关系式；
(2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年
数）
【答案】(1)y =−x
2+36 x−49(x∈N
∗)
(2)使用7 年后年平均盈利额最大，最大值为22 万元
【解题思路】（1）根据给定条件，直接求出y 关于x 的函数关系式；
（2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值.
【解答过程】（1）根据题意：y = 40 x−49−(x
2+ 4 x)=−x
2+36 x−49，
故y 关于x 的函数关系式为y =−x
2+36 x−49(x∈N
∗).
（2）由（1）知盈利总额为y =−x
2+36 x−49(x∈N
∗)，
则年平均盈利额为y
x = −x
2+36 x−49
x
=−(x + 49
x )+36(x∈N
∗)，
因为x + 49
x ≥2❑√x⋅49
x =14，当且仅当x = 49
x 时等号成立，即x =7，
所以y
x =−(x + 49
x )+36≤−14 +36=22，
故第7年年平均盈利额取得最大值，最大值为22万元.
6．（25-26 高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源
汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的
年固定成本为2300 万元，每生产x(x ∈N
∗)万件，需另投入可变成本G (x)万元，且
G( x)={
10 x
2+ kx ,0< x ≤40, x∈N+
2020 x + 32000
x−5 −6600, x>40, x∈N+)
，已知当年产量为10 万件时，需另投入可变成本为
16600 万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000 元，且假定全年产量可当年全部售完．
(1)求年利润W ( x)（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)W ( x)={
−10 x
2+ 440 x−2300,0< x ≤40, x∈N+
4300−20 x−32000
x−5 , x>40, x∈N+ )
(2)45 万件；2600 万元.
【解题思路】（1）先根据题意求出k的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式.
（2）先求出0< x ≤40时年利润的最大值，再求出x>40时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利
润最大.
【解答过程】（1）当x =10时，G (10)=10×10
2+k ⋅10=16600，解得k =1560.
由题意可知W (x)=2000 x−G (x)−2300，
当0< x ≤40时，W ( x)=2000 x−(10 x
2+1560 x)−2300=−10 x
2+ 440 x−2300，
当x>40时，W ( x)=2000 x−(2020 x + 32000
x−5 −6600)−2300= 4300−20 x−32000
x−5 .
所以年利润W ( x)（万元）与年产量x（万件）的关系式为
W ( x)={
−10 x
2+ 440 x−2300,0< x ≤40, x∈N+
4300−20 x−32000
x−5 , x>40, x∈N+ )
.
（2）当0< x ≤40时，W (x)=−10 x
2+ 440 x−2300=−10(x−22)
2+2540
开口向下，所以当x =22时，W (x)max=2540.
当x>40时，W (x)= 4300−20 x−32000
x−5 =−20[(x−5)+ 1600
x−5)+ 4200
≤4200−20×2❑√
(x−5)× 1600
x−5 =2600.
当且仅当(x−5)= 1600
x−5 ，即x = 45时，等号成立，此时W (x)max=2600，
∵2540<2600，所以该组件的年产量为45 万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600 万元.
7．（25-26 高一上·湖南长沙·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，室温是
θ0℃，那么t min后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ =θ0+(θ1−θ0)a
t求得，其中a 是一个随着物体
与空气的接触情况而定的正常数，某日室温为20℃，上午9 点小泽使用某品牌电热养生壶烧1 升水（假
设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8 分钟后水温达到100℃，9 点18分
时，壶中热水自然冷却到60℃．
(1)求9 点起壶中水温θ（单位：℃）关于时间t（单位：分钟）的函数θ = f (t )；
(2)若当日小泽在1 升水沸腾（100℃）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养
生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值40℃时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值
40℃时，开始加热至90℃后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后
第二次开始加热？（结果保留整数）
（参考数据：lg2≈0.301，lg7≈0.845）
【答案】(1)θ = f (t )={
10t +20,0≤t ≤8
20+80(
1
2)
t −8
10 ,t >8)
(2)43分钟
【解题思路】（1）利用已知条件求出加热阶段和冷却阶段的解析式，进而得出f (t )；
（2）把事件分成冷却、加热、冷却三个阶段，分别求出对应的时间，进而求出第二次开始加热所需时
间．
【解答过程】（1）当0≤t ≤8时，θ =kt +20，代入t =8，θ =100，解得k =10，则θ =10t +20，
当t >8时，冷却公式为 θ =θ0+(θ1−θ0)a
t −8，代入θ0=20，θ1=100，θ =60，t =18，
即60=20+80a
18−8，解得a=(
1
2)
1
10，故θ =20+80(
1
2)
t −8
10 ，
θ = f (t )={
10t +20,0≤t ≤8
20+80(
1
2)
t −8
10 ,t >8)
．
（2）若从100℃降温至40℃，根据冷却公式有θ =80×(
1
2)
t
10 +20= 40，解得t1=20分钟，
∴经过20 分钟养生壶（在保温状态下）开始第一次加热；
由（1）知，加热阶段θ =10t +20，从40℃加热至90℃，代入计算得t2=5分钟；
从90℃降温至40℃，代入θ =20+70×(
1
2)
t
10 = 40，
计算得t3=10×log 1
2
2
7 =10×(
lg7
lg2 −1)≈18分钟，
∴ t1+t2+t3=20+5+18= 43分钟．
∴43 分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热．
8．（25-26 高一上·陕西渭南·期末）2025 年9 月22 日，歼-15T、歼-35 及空警-600 三型舰载机在福建舰上
完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过
去一个月（按30 天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第x天(1≤x ≤30)的销售单价P( x) （元）
的解析式为P( x)= 40+
k
❑√x +1 （k为常数），第x天的销售量Q( x)（个）的部分数据如下表所示：
x
3
8
15
24
Q( x)
40
50
60
70
已知第15 天该专卖店的销售收入为5100 元.（销售收入=销售量×销售单价）
(1)求实数k的值；
(2)根据表格判断①Q( x)= px +q，②Q( x)= p ❑√x +1+q这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出
Q( x)的函数解析式；
(3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入f ( x)（元）在哪一天最低，最低收入是多少元?
【答案】(1)k =180
(2)模型②最符合题意，Q( x)=10 ❑√x +1+20
(3)在第8 天最低，最低为5000 元
【解题思路】（1）由题意分别求出舰艇模型第15天的销售单价和销售量，根据销售收入列出方程，求解
可得k的值；
（2）根据销售量的增长速度可知函数模型②更适合，选取(3,40)和(8,50)代入模型②，求出函数解析
式，并利用(15,60)和(24,70)检验，确定函数解析式；
（3）利用（1）和（2）的结果，列出销售收入对应的函数解析式，并利用基本不等式求得其最小值.
【解答过程】（1）由题意得，舰艇模型第15天的销售单价P(15)= 40+
k
❑√15+1 = 40+ k
4 ；
第15天的销售量Q (15)=60，依题意60(40+ k
4 )=5100，解得k =180.
（2）模型②最符合题意，理由如下：
因为Q( x)每增长10，需要的天数越来越多，可知Q( x)不是匀速增长，而是增长速度越来越慢，故排除模
型①，选择模型②.
将(3,40)，(8,50)分别代入函数模型②，可得{
2 p+q = 40
3 p+q =50)，解得{
p=10
q =20).
所以Q( x)=10 ❑√x +1+20，
经验证，(15,60)，(24,70)均满足该函数解析式.
故函数解析式为Q( x)=10 ❑√x +1+20.
（3）由（1）知P( x)= 40+ 180
❑√x +1，由（2）知Q( x)=10 ❑√x +1+20，
则f ( x)= P( x)Q( x)=(40+ 180
❑√x +1 )(10 ❑√x +1+20)=200(2❑√x +1+
18
❑√x +1 +13)
≥200×(2×❑√
2❑√x +1×
18
❑√x +1 +13)=5000.
当且仅当2❑√x +1=
18
❑√x +1，即x =8时，等号成立.
所以日销售收入在第8 天最低，最低收入为5000 元.
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
T =k log2 N（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从10
6个单位增加到1.024×10
9
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时
间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
【答案】B
【解题思路】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【解答过程】设当N 取10
6个单位、1.024×10
9个单位、4.096×10
9个单位时所需时间分别为T 1,T 2,T 3,
由题意，T 1=k log210
6=6 k log210，
T 2=k log2(1.024×10
9)=k log2(2
10×10
6)=k (10+6 log210)，
T 3=k log2(4.096×10
9)=k log2(2
12×10
6)=k (12+6 log210)，
因为T 2−T 1=k (10+6 log210)−6 k log210=10k =20，所以k =2，
所以T 3−T 2=k (12+6 log210)−k (10+6 log210)=2k = 4，
所以当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时间增加4 小时.
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 d = S−1
ln N 是河流水质的一个评价指标，其中S , N分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
A．3 N 2=2 N 1
B．2 N 2=3 N 1
C．N 2
2= N 1
3
D．N 2
3= N 1
2
【答案】D
【解题思路】根据题意分析可得S−1
ln N 1
=2.1, S−1
ln N 2
=3.15，消去S即可求解.
【解答过程】由题意得S−1
ln N 1
=2.1, S−1
ln N 2
=3.15，则2.1ln N 1=3.15ln N 2，即2ln N 1=3 ln N 2，所以
N 2
3= N 1
2.
故选：D.
二、填空题
3．（2026·北京·高考真题）音高y（单位:mel）与频率f（单位：Hz）满足y =lg(1+ f
700)，若
lg2≤y ≤3lg2，则f 的取值范围为___________．
【答案】[700,4900)
【解题思路】由题意lg2≤lg(1+ f
700)≤3lg2=lg8，进行求解即可.
【解答过程】由题意lg2≤lg(1+ f
700)≤3lg2=lg8，
则2≤1+ f
700 ≤8，解得700≤f ≤4900，
所以f 的取值范围为[700,4900).
故答案为：[700,4900).
4．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀
的区域，其余部分完好，曲线MN为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DM = DN =3．工人师傅现要从
完好的部分中截取一块矩形原料BQPR，当其面积有最大值时，AQ的长为___________．
【答案】4+ ❑√7
3
【解题思路】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当AQ≥3时，矩形面积最大时为4
，当0< AQ<3，设AQ = x (0< x<3)，即可得到S关于x的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值.
【解答过程】由题知，以A为原点，建立平面直角坐标系，如图，
则M (0,1)，N (3,4)，设MN方程为：y =a x
2+b，
所以{
0+b=1
9a+b= 4)，{
a= 1
3
b=1)
，MN方程为：y = 1
3 x
2+1，
令矩形BQPR面积为S，
当AQ≥3时，S≤SBQNC =1×4 = 4，
当0< AQ<3，设AQ = x (0< x<3)，则P(x , 1
3 x
2+1)，
所以S =(4−x)(
1
3 x
2+1)=−1
3 x
3+ 4
3 x
2−x + 4，
则S
′ =−x
2+ 8
3 x−1=−(x−4
3)
2
+ 7
9，
令S
′>0，则4−❑√7
3
< x< 4+ ❑√7
3
，S在(
4−❑√7
3
, 4+ ❑√7
3 )上递增，
令S
′<0，则x> 4+ ❑√7
3
或x< 4−❑√7
3
，S在(
4 + ❑√7
3
,+∞),(−∞, 4−❑√7
3 )上递减，
又0< x<3，S (0)= 4，S(
4+ ❑√7
3 )= 344+14 ❑√7
81
>4，
所以当AQ的长为4 + ❑√7
3
时，该矩形面积最大.
故答案为：4+ ❑√7
3
.
