高中数学核心解题技巧120讲(第20讲)

                                      第二十讲数形结合解三角问题

利用三角函数的图像可以确定解析式中参数的值，研究三角函数的性质如处理三角函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、最值以及函数零点的个数等问题.

例1(1)设x∈[0,2π], 关于x的方程sinx+  2 |sinx |—k²+k=0 有四个实根，则实数k的取值范围是----- ;

解题策略：第(1)问转化为在x∈[0,2π]条 件下求函 数f(x)=sinx+2|sinx| 与  函  数g(x)=k²—k图像的交点个数问题；第(2)问，结合斜率公式求动点与定点斜率的最大值、最小值；第(3)问，可借助三角函数的图像或单位圆中的三角函数线确定函数的定义域。

和 g(x)=k²—k(0≤x≤2π) 的图像如图1 - 84所示，

解题策略：本例用三角函数的方法直接解是困难的，如果把不等式左边看成两点距离的平方，会找到一种相当简捷的解法.

解：原不等式可看作点P(-3—2sinθcosθ,—asinθ-acosθ)与直线l:y=x 上任意一点距离的平方大于等于1/8

解题策略：第(1)问，由图像求三角函数y=Asin(wx+φ) 的解析式，进而求初相、周期、振幅，一看最高点、最低点的纵坐标，得出振幅A,若最高点、最低点未知，则看其他关键点，代入通过解方程组得解；二看图像反映的最小正周期，由

得到w的值；三看呈递增趋势的零点,由w的值求出初相φ,取点确定φ时，应取最高点或最低点，取其他点时要检验；第(2)问，如何求函数f(x)=f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x) 的周期?只要求出f ₁ (x),f₂(x),…,fn(x) 的周期依次为T₁,T₂, … ,Tn,  则 T₁,T₂, … ,  Tn 的最小公倍数就是函数f(x)     的一个周期；第(3)问，可从函数单调性入手将逆向思维的问题转化为正向思维的问题解决，还可充分挖掘图像的几何性质—对称 性，以及对称性与周期性的关系，通过对图形的直觉观察寻找简捷的解法。

解题策略：这两小题都是不等式的证明.从表面看似乎与三角函数关系不大.如果我们能从不等式中找到某种几 何模型，原问题就转化为三角函数问题，运用三角知识求解.事实上，第(1)问的几何模型是给出的.不等式中的三个角  实质上是长方体的一条对角线与从同一个顶点出发的三条面对角线所成的角，借助于这个图形，运用一系列的三角恒  等变形即可证明结果；第(2)问，联想到面积公式，通过构造三角形，利用图形进行直观转化，妙趣横生。