初中数学解题技巧——怎样进行因式分解之整式解题:配方法

配方法是初中代数核心高阶变形手段，广泛用于代数式求最值、利用非负性解方程、比较大小、因式分解，是衔接一元二次方程、二次函数的前置核心工具

通过添项、拆项，在不改变代数式原值的前提下，把多项式重组凑成一个或多个完全平方式。利用完全平方≥0的非负特性，锁定字母取值范围，求解代数式最值、方程、大小比较等问题。

• 完全平方的结果永远是非负数，一个平方项最小只能取 0

• 多个平方相加时，每一项都具备非负约束

在不改变原式大小的前提下，添上再减去同一个常数（或代数式），构造出完全平方公式的结构。 

理解：添项和减项成对出现，一加一减相互抵消，代数式整体的值不变；构造完成后，借助完全平方A²≥0的非负性质，分析代数式取值。

二次项系数为 1：x²+px，配上常数(p/2)²，即x²+px+(p/2)²-(p/2)²

先提取二次项系数，把二次项系数化为 1，再在括号内部配方，括号外保留系数。

• 求代数式的最大、最小值；

• 多个平方相加等于 0，利用非负性解方程、求参数；

• 用作差法比较两个代数式大小；

• 部分特殊二次多项式因式分解；

• 后续一元二次方程求解、二次函数顶点式变形。

1. 整理：把含同一字母的项归到一起，常数项单独放一侧；

2. 提系数：若二次项系数不为 1，提取二次项系数，使括号内二次项系数为 1；

3. 配方：观察一次项，加上一次项系数一半的平方，同时减去同一个数，保证式子不变；

4. 写成完全平方：将配方部分整理为(   )²+常数的形式；

5. 分析结论：根据平方非负性，求解最值、列方程求值。

• 配方只加不减，只添常数没有同步减去，直接改变原式的值；

• 二次项系数不为 1 时，提取系数后，括号内配方的常数计算失误；

• 最值判断错误：平方项恒≥0，只能得到最小值；平方前面带负号才存在最大值；

• 多个平方和为 0 题型，漏看其中某一个平方项，只令部分式子等于 0；

• 配方时，一次项符号看错，完全平方内部符号写错。

1、将x2+4x+3配方 

【解析】

凑x²+4x对应的完全平方，一次项系数 4，一半为 2，需要配上2²=4，同时减 4，保证式子不变

【答案】

解：原式=x²+4x+4-4+3=(x+3)²-1

2、求代数式2x²-8x+5的最小值。

【解析】

二次项系数不为 1，先提取二次项系数，括号内进行配方，再利用平方≥0分析最值。

【答案】

解：原式

=2(x²-4x)+5

=2(x²-4x+4-4)+5

=2[(x-2)²-4]+5

=2(x-2)²-8+5

=2(x-2)²-3

∵(x-2)²≥0

当x=2时，代数式取得最小值，最小值为-3

3、已知a²-2a+b²+4b+5=0，求a+b的值。

【解析】

分组配方，将 5 拆成 1+4，凑两组完全平方；两个非负数相加等于 0，则每一项都必须等于 0。

【答案】

解：原式=(a²-2a+1)+(b²+4b+4)=0

即(a-1)²+(b+2)²=0

∵(a-1)²≥0，(b+2)²≥0，两个非负数相加为 0，只能各自为 0

∴ a-1=0，b+2=0

解得a=1，b=-2

∴a+b=1+(-2)=-1