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解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
类型一 含一个拐点的平行线问题
1．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D.若∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为( )
A．140° B．130° C．120° D．110°
第1题图 第2题图
2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为( )
A．20° B．30° C．40° D．70°
3．如图，某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，∠1＋
∠2＋∠3＝________°.
第3题图 第4题图
4．(2017·枣庄中考)将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三
角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一
个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．
5．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所
得到的关系中任选一个加以说明．【方法8】
类型二 含两个或多个拐点的平行线问题
6．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为( )
A．∠1＋∠2－∠3 B．∠1＋∠3－∠2
C．180°＋∠3－∠1－∠2 D．∠2＋∠3－∠1－180°
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第6题图 第7题图
7．如图，直线l∥l，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________°.
1 2
8．如图，AB∥CD，试解决下列问题：
(1)如图①，∠1＋∠2＝________；
(2)如图②，∠1＋∠2＋∠3＝________；
(3)如图③，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；
(4)如图④，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝__________．
9．(1)如图①，AB∥CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；
(2)如图②，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系
吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．
参考答案与解析
1．B 解析：过点C向右作CG∥AB，由题意可得AB∥EF∥CG，∴∠B＝∠BCG，
∠GCD＝90°，则∠BCD＝40°＋90°＝130°.故选B.
2．B 解析：如图，过点C作CF∥DE，则AB∥DE∥CF，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，
∠CDE＋∠DCF＝180°，∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCF－
∠DCF＝70°－40°＝30°.故选B.
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3．360
4．15° 解析：如图，过A点作AB∥a，∴∠1＝∠2.∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3＝∠4＝
30°.∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝15°，∴∠1＝15°.
5．解：如图①，过点P作PF∥AB，则AB∥PF∥CD.∴∠PAB＝∠APF，∠PCD＝∠FPC，
∴∠APC＝∠APF＋∠FPC＝∠PAB＋∠PCD；
如图②，过点P作PF∥AB，则AB∥PF∥CD.∴∠PAB＋∠APF＝180°，∠PCD＋∠FPC
＝180°，∴∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝360°；
如图③，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FPA＋∠PAB＝180°，∠FPA＋∠APC＋
∠PCD＝180°，∴∠PAB＝∠APC＋∠PCD；
如图④，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FPA＝∠PAB，∠FPA＋∠APC＝
∠PCD，∴∠PAB＋∠APC＝∠PCD.
6．D 解析：如图，过点 E 作 EG∥AB，过点 F 作 FH∥CD.∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG∥FH，∴∠1＝∠AEG，∴∠GEF＝∠2－∠1.∵EG∥FH，∴∠EFH＝180°－
∠GEF＝180°－(∠2－∠1)＝180°－∠2＋∠1，∴∠CFH＝∠3－∠EFH＝∠3－(180°－∠2
＋∠1)＝∠3＋∠2－∠1－180°.∵FH∥CD，∴∠4＝∠CFH＝∠3＋∠2－∠1－180°.故选D.
7．140 解析：如图，延长AE交l 于点B.∵l∥l ，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，
2 1 2
∴AB∥CD.∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.
8．(1)180° (2)360° (3)540° (4)(n－1)·180°
解析：(1)如图①，∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝180°；
(2)如图②，过点E作直线EF平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＋∠AEF＝
180°，∠FEC＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.
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(3)过点E，F作EG，FH平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1＋∠AEG＝
180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.
(4)根据上述规律，显然作(n－2)条辅助线，运用(n－1)次两条直线平行，同旁内角互补，
即可得到n个角的和是(n－1)·180°.
9．解：(1)∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.理由如下：如图，分别过点E，G，M作EF∥AB，
GH∥AB，MN∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1＝∠BEF，∠FEG＝
∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠CMN＝∠5，∴∠2＋∠4＝∠BEF＋∠FEG＋∠GMN＋∠CMN
＝∠1＋∠EGH＋∠MGH＋∠5＝∠1＋∠3＋∠5.
(2)∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.结论：开口朝左的所有角的度数之和与开口朝
右的所有角的度数之和相等．
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