用切线解决导数综合题，核心就一句：把"相切"翻译成代数条件，再用导数研究零点、参数范围或最值。

1. 先分清是哪种"切"

• 在点 PP 处的切线：PP 一定是切点。
• 过点 PP 的切线：PP 不一定是切点，得设切点。
• 两曲线相切：同一点相切，或不同点有公切线。

最容易栽的就是第二种——"过点"不等于"在点"，别直接拿已知点去代。

3. 常见题型怎么套

① 已知切线求参数

两个方程两个未知数，通常能解。

② 过定点作切线

④ 曲线上点到直线的最短距离

先找与已知直线平行的切线。

本质：曲线上动点到直线的距离最小，一定发生在"切线与原直线平行"的位置。

⑤ 切线放缩证不等式

凸函数图像在切线上方，凹函数在下方。常用两个：

5. 做题时盯住这几个坑

• "过点"当"在点"：点不在曲线上时，不能直接代它求导。
• 导数相等就当公切线：这只说明平行，还得比截距。
• 重根没验证：联立后判别式为 0，要回代原条件。
• 忘定义域：含 ln⁡x、根式、分母时，先写定义域。
• 条数没去重：关于切点参数的方程，要数不同实根。

记个口诀就行：设切点 → 求导得斜率 → 写切线 → 代条件 → 转零点/极值/参数范围。

例题：

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