初中数学 | 多边形内角和有公式!(n−2)*180°,一条对角线帮你记住它

教材定位：人教版八年级上册 · 第十一章 三角形 · 11.3 多边形及其内角和

一、什么是多边形？

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫多边形。

• 按边数命名：三角形、四边形、五边形……
• 连接不相邻两个顶点的线段叫对角线；
• 每个多边形有内角和外角。

二、多边形的对角线

从 n 边形一个顶点出发，可以画(n−3) 条对角线，把多边形分成(n−2) 个三角形。

例：五边形一个顶点出发画 2 条对角线，分成 3 个三角形。

这条性质是多边形内角和公式的关键！

三、多边形内角和公式

n 边形的内角和 = (n−2) × 180°。

为什么？从一个顶点出发连对角线，把 n 边形分成 (n−2) 个三角形，每个三角形内角和 180°，加起来就是公式。

验证：

• 三角形：n=3，(3−2)×180° = 180° ✓；
• 四边形：n=4，(4−2)×180° = 360° ✓；
• 五边形：n=5，(5−2)×180° = 540° ✓。

四、多边形外角和

任意多边形的外角和都等于 360°（与边数无关）。

证明：每个外角 = 180° − 相邻内角，n 个加起来 = n×180° − (n−2)×180° = 360°。

外角和恒为 360°，这是最省心的定理。

五、三个必踩的坑，一个都不能踩

坑一：内角和公式记错

把 (n−2)×180° 记成 n×180° ✗

正确：(n−2)×180°，n=3 时要等于 180° 来验证。

坑二：对角线数算错

从顶点出发画 (n−2) 条 ✗

正确：一个顶点出发画 (n−3) 条对角线，分成 (n−2) 个三角形。

坑三：外角和当 n×360°

说外角和随边数变 ✗

正确：外角和恒为 360°，与边数无关。

六、例题实战：一步一步来

例1：四边形内角和是多少？

公式：(4−2)×180°。

解：360°。

例2：六边形内角和是多少？

公式：(6−2)×180°。

解：720°。

例3：一个多边形内角和是 900°，它是几边形？

列方程：(n−2)×180° = 900°。

解：n−2 = 5，n = 7，是七边形。

例4：正五边形每个内角是多少度？

内角和：(5−2)×180° = 540°。

正五边形各角相等：540° ÷ 5。

解：每个内角 108°。

七、易错陷阱总盘点

八、练一练

① 五边形内角和是多少？② 八边形内角和是多少？③ 一个多边形内角和 1080°，它是几边形？④ 正六边形每个内角多少度？⑤ 判断：多边形的外角和随边数增加而变大。（对 / 错）

答案放评论区，做完来对。多边形搞定了，三角形章节就剩最后的"多边形外角和"应用——别急，本章还有一个重要内容：多边形内角和与外角和的综合应用。下篇（第12批）我们做三角形全章复习，把 11.1~11.3 串成一张网！

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