本内容为上一个内容的解答。

一、题目摘录及详解

136：利用函数关系求指定点的导数

题目

设函数  在  处可导，且 。又对任意的  有

求 。

详解

笔记采用导数定义，把  处的差商转化为  处的差商。

首先，在已知函数关系中取 ，得到

因此，对 ，有

因为  在  处可导，右侧在  时有有限极限。于是  在  处也可导，且

结果

这个过程同时证明了  的存在性。所用信息只有函数关系与  在  处的可导性。

137：由极限与连续性确定导数

题目

设函数  在点  处连续，且

问函数  在  处是否可导？若可导，求 。

详解

先根据已知极限求出 ，再写出导数定义。

对 ，有

由极限的乘法法则，

所以

结合  在  处连续，得到

现在计算导数：

结果

 在  处可导，且

连续性在这里把函数极限与单点值  联系起来，从而将已知极限识别为导数。

142：判断可导的充分条件

题目

设 ，则  在  处可导的一个充分条件为（　　）。

（A）下列极限存在：

（B）下列极限存在：

（C）下列极限存在：

（D）下列极限存在：

详解

由 ，在  处的导数定义可写为

下面考察各选项是否足以保证这个双侧极限存在。

（C）成立：换元覆盖零点两侧。

令 。当  从正、负两侧趋于  时， 也从正、负两侧趋于 ；反过来，每个接近  的实数  都对应实数 。

因此

选项（C）的极限存在，就保证了  存在。

（A）不成立：笔记中的阶跃函数就是反例。

取

当  时，；当  时，。所以对于所有 ，

该极限存在。但函数在  处右极限为 ，左极限和函数值均为 ，故在  处不连续，也就不可导。

（B）不成立：对称差商可能抵消尖点的两侧差异。

取 。则

这个极限存在，而

两侧导数不同，所以  在  处不可导。

（D）不成立：它只考察自变量的正侧。

仍取 。对 ，，从而

极限存在，但  在  处不可导。这里  只覆盖  的取值，提供的是右侧差商的信息。

结果

笔记核对

笔记给出的（A）、（B）反例均成立。（C）的充分性来自立方换元对零点两侧的完整覆盖；（D）的反例在本次整理中补全。充分性的判断以极限结构或具体反例为依据；当  时，导数定义本身就可写成 。

143：将复合函数极限化为导数定义

题目

设函数  在  处可导，且 ，，求极限

详解

笔记的核心步骤是将  写成 ，从而引出 。将这一思路展开为三个因子的乘积：

这个等式在充分接近  的非零  上成立。

第一个因子利用基本极限：

第二个因子利用  在  处的可导性：

其中  从左侧趋于 ；题设在  处可导，保证这个方向的差商也趋于 。

第三个因子利用半角公式：

因此原极限为

结果

笔记核对

笔记的结果  正确。计算中用到的二阶信息可准确写成

这一形式明确保留了本题所用的二阶变化量。

150：绝对值函数乘积的不可导点

题目

函数

不可导点的个数为（　　）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

详解

沿用笔记的乘积结构，记

于是 。在  的点附近， 的符号保持不变， 等于  或 ，所以函数可导。可能的不可导点只有

对其中任意一个点 ，均有 、，且

用导数定义计算两侧差商：

由 ，有

因此

现在分别代入三个点。

在  处：

所以

函数在  处可导。

在  处：

所以

函数在  处不可导。

在  处：

所以

函数在  处不可导。

结果

不可导点为  和 ，共有两个，故选

笔记核对

笔记中“有两个不可导点”的判断正确。上述差商计算补全了具体位置和各点的左右导数，也说明了  如何使  处的两侧差商都趋于 。

161：分段函数在连接点可导

题目

试确定  和  的值，使函数

在  处可导。

详解

按笔记的顺序，先由可导推出连续，得到函数值的匹配关系，再令左右导数相等。

第一步：连续性。

函数在连接点的值为

右侧极限为

所以连续性给出

第二步：计算左导数。

第三步：计算右导数。

利用  以及 ，有

因此

第四步：左右导数相等。

于是

代回后，函数在  处连续，且两侧导数均为 ，可导性得到验证。

结果

此时还有 ，与笔记的计算一致。

185：先求极限定义的函数，再求导

题目

设

求 。

详解

先固定实数 ，把  作为求极限的变量。这里的计算对  与  都成立。

当  足够大时， 与  同号，故底数为正。将底数改写为

对 ，记

其中 。取对数，并把极限写成两个因子的乘积：

分别计算，得到

所以

由指数函数的连续性，

从而

当  时，原式直接给出 ，也与这个表达式一致。因此该表达式适用于所有实数 。

接着对所得函数使用乘积法则和链式法则：

整理得

结果

笔记补全

笔记已正确求得 。本次补全了题目要求的 。对数法的严密顺序是先求  的极限，再由指数函数连续性确定  的极限；在得到  的显式表达式后进行求导。

194：使用莱布尼茨公式计算高阶导数

题目

设函数 ，则 （　　）。

（A）

（B）

（C）

（D）

详解

按笔记写出的莱布尼茨公式，对正整数 ，有

取 、。其中

且

因此求和中只有  与  两项保留下来：

提取公因子 ，得到

例如， 时得到 ； 时得到 ，与逐次求导一致。

结果

笔记选择（A）正确，以上补全了莱布尼茨公式中各项的具体计算。

195：由多项式最高次项确定高阶导数

题目

设函数

求  和 。

详解

先确定多项式的次数和最高次项系数。

 的次数为 ，最高次项为 ； 的次数也为 ，最高次项同样为 。因此二者的乘积是首项系数为  的二十次多项式，可写成

所有次数小于  的项，经过二十次求导后都变为 。最高次项的二十阶导数为

所以

这个结果是常数，再求一次导数，得到

结果

笔记修正

笔记第 2 页将  记为 ，正确结果为 。这里的  是最高次项的系数，连续二十次求导产生的乘数为 。笔记中的  正确。

二、两则评注的说明

评注一：分别考察不同的趋近方向

本节对应原摘录中的第一则评注，以及笔记第 3 页关于指数函数、反正切函数极限的讨论。

1.  在  时的极限。

当  时，，所以

当  时，，所以

两侧行为不同，因此

不存在。

2.  在  时的极限。

由反正切函数在正、负无穷远处的极限，得到

两侧极限不同，所以其在  时的双侧极限也不存在。

笔记把这些表达式在  处补上了函数值。极限由去心邻域中的取值决定，补充单点值保持上述极限结论。

3.  与  在无穷远处的极限。

两个方向分别为

原摘录中的  没有附正负号。采用  的约定时，它同时包含正、负两个方向，上面两个函数均无共同极限。采用  表示  的约定时，对应结论分别为趋于  和趋于 。以上分方向的写法明确给出了每一种情形。

评注二： 在  处的可导性

原结论

（1） 在  处不可导。

（2）若 ，且  在  处连续，则  在  处可导的充要条件为 。

详解

先证明第二个结论。因为

所以

当  时，；由  的连续性，

当  时，，从而

因此，两侧导数相等恰好等价于

也就是

此时两侧导数均为 ，所以 。

再取 ，就得到  的左右导数分别为  和 ，从而证明第一个结论。

结果

在  于  处连续的条件下， 在  处可导，当且仅当 ；可导时有

这也是第 150 题中判断  处可导的局部机制。

三、六道例题详解

例 2.1.2：函数大小与极限、导数、积分的关系

题目

若  与  在  上均可导，且 ，则必有（　　）。

（A）

（B）

（C）

（D）

详解

（C）必然成立。

可导函数在该点连续。因此，对任意固定的实数 ，都有

结合题设在  处也满足 ，得到

（A）不成立。

题设对所有实数成立，所以把自变量换成  后，直接得到

其方向与（A）相反。

（B）不成立。

补充一个常数函数反例：取 、。它们处处可导，并满足 ，但

所以导数之间的严格不等式不成立。

（D）不对所有实数  成立。

沿用笔记中的反例，取

当  时，

因此（D）给出的不等号方向不成立。

一般地，若 ，连续的正函数  在  上的积分为正，因此（D）的方向成立；若 ，积分区间的方向带来负号：

于是得到相反方向的不等式。在  时，两边积分都为 。

结果

笔记补全

笔记给出了（D）的常数函数反例。本次补上  时的积分值，并补全了（A）至（C）的理由。（C）中的严格不等号由连续性和点值  共同保证。

例 2.1.3：可导的充要条件与换元

题目

设 ，则  在  处可导的充要条件为（　　）。

（A）下列极限存在：

（B）下列极限存在：

（C）下列极限存在：

（D）下列极限存在：

详解

笔记指出本题与第 142 题同类。下面把（B）的两个方向完整证明，并为其他选项给出反例。

（B）的必要性。

假设  在  处可导。由于 ，有

当  时，，并且

所以

该极限存在，必要性成立。

（B）的充分性。

反过来，假设

令 。这个换元在零点附近连续、严格单调，并覆盖零点的两侧；逆变换为

于是

因为

所以

导数存在，充分性成立。

（A）的反例。

取 。因为 ，

极限存在，但  在  处不可导。

（C）的反例。

仍取 。由于 ，

选项中的极限存在，而  在  处不可导。

（D）的反例。

取与第 142 题相同的阶跃函数：

对每个 ， 和  同号，因而

极限存在，但这个函数在  处不连续，从而不可导。

结果

若把（B）的极限记为 ，则还有

笔记补全

笔记中的“与 142 同理”在这里展开为两部分：换元  覆盖零点两侧，给出（B）的充要性；其他选项由具体反例排除。

例 2.1.4：有界函数在无穷远处的导数极限

题目

设函数  在  内有界可导，则（　　）。

（A）当  时，必有

（B）当  存在时，必有

（C）当  时，必有

（D）当  存在时，必有

详解

证明（B）：沿用笔记的有界性反证思路。

设

先假设 。由极限定义，存在 ，使得对所有 ，都有

对任意 ，在闭区间  上应用拉格朗日中值定理。存在 ，使得

所以

右侧随  趋于 ，与  有界矛盾。

再假设 。同样，由极限定义，存在 ，使得对所有 ，

再次使用中值定理，得到

右侧随  趋于 ，同样与  有界矛盾。

因此只可能有 ，（B）成立。

（A）的反例。

取

先核对有界性：当  时，

当  时，

因此  在整个  上有界，并且处处可导。又由

得到

但是

取两列趋于正无穷的点

就有

所以  在正无穷远处的极限不存在，（A）不成立。

（C）、（D）的共同反例。

取 ，。它有界、可导，并且

因此（C）与（D）都不成立。

结果

笔记核对与补充

笔记对（B）使用了“导数在尾部保持固定的符号和大小，则函数持续增长或下降”的反证思路。上面的中值定理证明实现了相同的增长估计，直接使用题设给出的可导性，并补齐了  的情形。（A）、（C）、（D）的反例及其条件核对在本次整理中展开。

例 2.1.9：由函数的绝对值界估计系数和

题目

设

其中  均为实数，又

证明：

详解

沿用笔记的思路：目标中的加权系数和恰好等于 。

逐项求导，得到

因此

另一方面，各正弦项在  处均为 ，所以 。对任意 ，由题设不等式得

令 。由于  在  处可导，且绝对值函数连续，左侧趋于 ，右侧趋于 。所以

代回加权系数和，即得

笔记核对

笔记的推导和结论正确。这里先利用  把函数值的界转化为差商的界，再取极限，得到导数的界。

例 2.1.10：复合函数求导与内函数的零点

题目

设

又  在  处可导，求  在  处的导数。

详解：按笔记使用链式法则。

先计算内函数在  处的导数：

因为

由夹逼定理可得

同时，，而题设给出  在  处可导。链式法则的两层条件均满足，于是

结果

补充证明：把差商在内函数零点处补全。

笔记特别指出， 在任意小的去心邻域内仍有零点。例如取

便有 ，且

因此，含有  的表达式在这些点上原本没有定义。

为使差商分解覆盖所有接近  的点，定义延拓后的函数

由  在  处可导，有 ，即  在  处连续。并且对于所有接近  的 ，包括 ，恒有

令 ，对  得

又因为

所以

乘积的极限为 ，再次得到结论。

笔记核对

笔记的链式法则解法及其关于零点的提醒均正确。上述  的延拓是本次补充，它使差商方法在  的点上也具有完整定义。

例 2.1.11：由函数方程证明处处可导

题目

设  都是定义在  上的函数，且有：

（1）对所有实数 ，

（2） 在  处可导。

（3）

证明： 对所有  可导，且

详解

按笔记的思路，固定任意一个实数 ，研究该点的差商。将函数方程中的  取为增量 ，得到

两边减去 ：

利用 、，可改写成

对 ，两边除以 ，得到

这里  已固定， 和  都是常数。根据  在  处的导数，右侧两个差商分别满足

因此左侧的极限存在，并且

由于  是任意实数，结论对所有实数成立。

结果

 在整个实数轴上可导，且

笔记核对

笔记第 4—5 页的差商推导正确。上述整理明确写出了 、 在拆分中的作用，并通过右侧两个已知极限同时证明了  的存在性与表达式。