换元法在高中数学解题中的应用

1.从一道高考改编题的多种解法讲起

本文从一道高考改编题出发, 探究二元变量最值问题的多种解法, 重点研究换元法的实施策略.

(2022 年新高考数学 II 卷 T12 题改编)若实数  满足 , 求  的取值范围.

解法 1(目标换元)设 , 代入已知得 , 由判别式 , 解得 , 则 .

解法 2(均值换元)设 , .

由 

解得 ,

则 ,

则 .

解法 3(比值换元)设 , 代入已知求得:, ,

则 ,

当  时, ; 当  时, ; 当  时, . 综上 , 则 .

解法 4(和差换元)设 , 代入已知得 , 由椭圆性质可知 , 则 .

解法 5(乘积换元)设 , 则 , 由  解得 , 所以 , 则 .

解法 6(对偶换元)设 , 则 , . 由  解得 , 所以 , 则 .

解法 7(三角换元)由已知得 , 令

所以 .

解法 8(极坐标换元)设 , 代入已知得 , 所以 , 所以 .

解法 9(重要不等式)由已知得 , 解得 .

解法 10(齐次化)因为 , 同解法 3 可得 .

解法 11(权方和不等式)由权方和不等式得 , 所以 .

解法 12(柯西不等式)由柯西不等式得 , 解得 , 当且仅当  时取最大值,  时取最小值,

综上, 本题的解法相当丰富, 换元法是解决这类题目的常用方法, 而且换元的方式非常灵活, 下文就换元法在高中数学解题中的应用展开研究．

2 换元法的理论基础

2.1 换元法的概念与分类

一般的, 换元法, 也称为变量替换法, 是一种通过引入新的变量(称为"元")来替换原有的变量(称为"式"), 从而简化问题的解题策略．换元的实质是等价转化, 关键是构造元和设元, 理论依据是等量代换, 目的是变换研究结构和研究对象, 将问题迁移至新的结构和对象中去研究．从分类的角度来看, 常见的换元法包括: 代数换元、三角换元和极坐标换元．其中代数换元情境丰富、手段多样, 主要包括: 整体换元、局部换元、目标换元、均值换元、比值换元、和差换元、乘积换元、常数换元和对偶换元．三角换元和极坐标换元特点鲜明, 能解决一些复杂的问题．

2.2 换元法的数学原理

换元法的背后蕴含着深刻的数学原理．从函数的角度来看, 换元法基于函数的复合与反函数的概念．通过替换变量, 改变函数的形式, 使得原本难以处理的函数关系变得清晰明了．在代数运算中, 换元法利用等量代换的思想, 将复杂的代数式用新的变量表示, 简化运算过程, 降低计算难度．从方程的角度, 换元法可以将高次方程、分式方程、无理方程等转化为低次方程或整式方程, 便于求解．在多元不等关系的求解中, 恰当的换元能够使式子的结构更加规整, 有利于运用已知的不等式定理和常见方法进行求解．

2.3 换元法的适用条件

当所给问题中的变量关系较为复杂、直接求解困难时, 换元法往往能发挥作用．对于具有特定结构的数学表达式, 如含有平方和、倒数关系等, 换元法能够简化运算．当问题中存在多个变量相互制约, 通过换元可以减少变量个数, 降低问题的复杂度．在一些不等式证明和求最值的问题中, 如果原表达式的形式适合通过换元转化为常见的函数形式, 如二次函数、三角函数等, 也可以考虑使用换元法．

3 换元法在高中数学解题中的应用

典型换元法解题案例, 如下．

3.1 换元法在代数问题中的应用

在代数运算中, 通过巧妙地运用换元法, 可以将复杂的式子简化, 从而更轻松地解决问题．

【例 1】已知 , 且 , 则  的最小值为 .

分析: 如何沟通目标和条件之间的关系是解决本题的关键. 目标式过于复杂, 可从条件入手采用"局部双换元''对本题等价转化.

解: 令 ,

则 ,

解得 , 所以

(当且仅当  时等号成立),

所以  时

 的最小值为 .

评注: 本题解法很多,"局部双换元''的运算量相对较小, 结合"常数换元''转化为熟悉模式求解.

【例 2】求方程  的实数根.

分析: 对其中两个无理式进行换元, 尝试变无理方程为整式方程.

解: 令 , 则 .

用待定系数求得 , 则原方程等价为 , 解得 , 即：, 求得  或 ,

经检验  和  是原方程的根.

评注: 本题利用"目标双换元'', 将  表示为两个"元''的式子, 通过恒等变形转化为整式方程求实数根 (要检验根).

【例 3】已知  的面积为 , 且 , 则  的最大值为 .

分析: 用换元法改变  的结构, 将问题转化为熟悉形式.

法 1: 设 , 则  且 .

所以 , 又 .

法 2: 设 ,

则  (当且仅当  时等号成立),

所以  的最大值为 .

评注: 在圆锥曲线的优化问题中, 类似的分式结构最值问题, 一般都可以考虑对分子或分母换元.

【例 4】(多选题) 曲线  的方程为 , 则 () A.  是轴对称图形 B.  是中心对称图形 C. D. 

分析: 条件看成以  为元的一元二次方程或对条件进行配方, 转变条件结构.

解: 由条件解得 , 易知 A、B 正确;

对于 C 项, 原方程中令  得  或 , 取 , 则 , 故 C 项错误;

由  可设 , 则 , 令 , 解得 , . 由  得 , 则 , 故 C 项错误;

所以当  时, , 所以 , 故 D 项正确.

另, 对于 C、D 项, 设 , 将条件化为 , 则 , 即 . 所以 , 即 , 所以 C 项错误;

因为 , 所以 , 故 D 项正确.

综上, 此题答案为 ABD.

评注: 对无理式  进行三角换元 , 将问题转化为求三角函数的最值范围. 对于伯努利双纽线 , 利用极坐标换元比较容易求解问题.

4 换元法解题的常见错误

在高中数学解题中应用换元法时, 常见的错误有以下情况.

4.1 错误选择换元变量

学生可能会在选择换元变量时出现失误, 导致新变量的引入无法有效简化问题, 反而使问题更加复杂. 未能准确把握原问题中变量之间的关系, 随意选择换元变量, 使得后续的计算和推理陷入困境.

4.2 换元过程中忽略新变量的取值范围

由于换元后变量发生了变化, 其取值范围也可能随之改变, 如果忽略这一点, 可能会得出错误的结果.

4.3 计算或推理错误

在换元后的计算和推理环节, 可能会出现运算错误, 如符号错误、公式运用不当等, 从而影响最终的解题结果.

4.4 未检验取等号的条件

此外, 有些学生在完成换元后的求解后, 未能正确还原到原变量, 导致答案不符合原问题的要求.

5 总结: 换元法解题的优化策略

换元法解题的优化策略对于提高解题效率和准确性具有关键意义, 优化策略可以以下几个方面入手.

5.1 注重对换元变量的合理选择

根据条件和问题的特点, 选取能够简化问题、降低计算难度的变量进行换元. 例如, 对于复杂的代数表达式, 选择能够消除根式、分式或高次幂的变量. 如前文例 2, 需对两个根式换元.

5.2 加强对换元范围的精确掌控

在进行换元时, 要充分考虑原问题中变量的限制条件, 确保换元后的表达式在新的变量下仍然满足这些条件. 前文中多处有体现"对换元范围的精确掌控'', 现再举例如下:

若正实数  满足 , 设 , 则  的最小值为.

解：条件  转化为 ,

则 , 设 , 则 .

由  得 ,

所以 .

令 ,

则 ,

所以  在  上单调递增, 所以 (当且仅当  即  时等号成立).

点评: 要注意对换元变量的合理选择, 本题最合理的是整体换元, 设 . 在引入新的变量时, 一定要注意变量的范围. 例如本题, 若由 , 则  的最小值为 , 这个显然是错误的.

5.3 灵活运用多种换元方式的组合

有时单一的换元方式可能无法完全解决问题, 此时可以尝试将不同类型的换元方法结合使用, 以达到更好的解题效果, 例如前文例1先后用到"局部换元“和"常数换元”.

5.4 注重换元法与其它方法的结合

换元法是一种很基础的方法, 通常需与基本不等式、柯西不等式等方法结合使用.再举例如下:

已知 , 求  的最小值.

解： 设 , 则

法 1:

由柯西不等式, ,

所以 .

法 2: 由闵可夫斯基不等式得 , 则

(当且仅当  即  时等号成立),

所以  时,

 的最小值为 6.

6.变式练习

以下练习供读者们练手, 体会换元法的巧妙和灵活, 感受换元法之强大. (1) 已知  且 , 则  的最小值为 .

(2) 已知 , 则  的最小值为 .

(3) (多选题)设曲线  的方程为 , 则 () A.  是关于原点对称 B.  只有两条对称轴 C. D. 

(4) 求方程  的实数根.

参考答案: (1) 12; (2) 10; (3) ACD; (4) 1和.