高中物理模型&知识总结 200 例|第 22 期 拉密定理(正弦定理法)

拉密定理（正弦定理法）

适合：【高三一轮】

一、模型识别

三个力平衡，已知的全是角度：秋千法里绳与竖直的夹角随位置一路在变，水平力那类题只给  和 。既凑不出直角，也谈不上相似，正交分解还得解方程组。这时候换个配法——每个力配它"对面的角"，三个"力比正弦"全相等，比例一步就出来。

识别信号：

• 恰好三个力，共点，其中一个是重力
• 已知的是各力与同一条参考线（多数是竖直方向）的夹角
• 角度是 、、、 这类正弦值好算、余弦值不规整的角
• 求某个力的大小、某两个力的比值，或者判断某个力随角度怎么变

二、核心规律

定理本身

三个共点力平衡时

式中的  是 对面那个角，也就是  与  的夹角。三个角是两两之间的夹角，加起来正好 。

它就是正弦定理换了个说法

三个力首尾相接围成闭合三角形，三条边分别是 、、。共点时两两之间的夹角，平移之后成了三角形的外角，对应的内角是 。对这个三角形写正弦定理

因为 ，把补角换回原角，就是拉密定理。

三条取角规矩

• 每个力配另外两个力的夹角，不是配它自己旁边那个角
• 若量到的是优角（大于  的那一侧），取补角，正弦值不变
• 算完要验：三个角相加必须等于 ，对不上就是取错了

两个直接可用的特例

• 三个力两两夹角都是  时，三个力大小相等
• 知道两个角和一个力，第三个力乘比例就出来，不必再列投影方程

什么时候用它

• 三个力，角度零碎但不是直角 —— 拉密定理
• 三个力，能凑出直角三角形 —— 矢量三角形更快（第 20 期）
• 三个力，已知量全是长度 —— 相似三角形（第 21 期）
• 四个力以上 —— 老实正交分解

一句话：每个力配它对面的角，对面角就是另外两个力的夹角；三个"力比正弦"全相等，角度一读、比例就出来。

三、例题 1

题《大国工匠》节目中讲述了王进利用"秋千法"在  的高压线上带电作业的过程。如图所示，绝缘轻绳  一端固定在高压线杆塔上的  点，另一端固定在兜篮上。另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上  点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制。身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，工人先将兜篮拉至  点，且 ，然后缓慢地从图示  点运动到处于  点正下方  点的电缆处。绳  一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备总质量为 ，不计一切阻力，重力加速度大小为 。关于王进从  点运动到  点的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．、 两绳拉力的合力大小等于 

B．工人对绳的拉力一直变大

C．绳  的拉力越来越小

D．当绳  与竖直方向的夹角为  时，工人对绳的拉力为 

答案A

解

A．由于王进缓慢运动，受力平衡，、 两绳拉力的合力与重力  等大反向，故 A 正确；

BC．设  绳拉力为 ，与竖直方向夹角为 ，工人拉  绳子的力为 ，与竖直方向夹角为 。由于 ，兜篮运动的轨迹是一个圆弧，如图所示

由几何关系可知

对兜篮受力分析，有下图

由正弦定理得

随着王进从  点缓慢运动到  点的过程中， 减小， 增加， 增加；

当  增加时  减小，故 BC 错误；

D．当  时，，代入可得工人对绳的拉力

故 D 错误。

故选 A。

四、例题 2

题如图所示，轻质细线一端拴接一质量为  的小球，另一端悬挂于天花板上的  点，给小球施加一水平外力 ，小球平衡后细线与竖直方向的夹角 ，与  的夹角为 。下列说法中正确的是（　　）

A．保持  水平，将  缓慢增大， 逐渐减小

B．保持小球位置及  角不变，将  缓慢减小到 ， 逐渐减小

C．保持  角不变，将  缓慢增大到 ， 先增大再减小

D．保持  角不变，将  缓慢增大到 ，细线拉力  逐渐减小

答案D

解

A．小球处于平衡状态，重力、水平外力和细线拉力的合力为零，三力首尾相连可构成闭合力三角形。设力三角形中与重力  相对的角为 ，则 ；与外力  相对的角为 ，与细线拉力  相对的角为 。由正弦定理及上述角度关系，外力为

同理，细线拉力为

下面的力三角形图展示了三种变化过程，可据此核对角度与边长关系：

保持  水平时，细线与  的夹角满足

代入前式得

随着  增大， 增大，故  逐渐增大，故 A 错误；

B．保持小球位置及  角不变，缓慢减小  时， 先增大后减小。由前式可知  先减小后增大，故 B 错误；

C．保持  不变，将  从  增大到  时，有

在给定区间内，正弦值随角度增大而增大，所以外力一直增大，故 C 错误；

D．在上述过程中，

随着  从  增大到 ， 从  减小到 ，正弦值减小，所以细线拉力  逐渐减小，故 D 正确。

故选 D。

五、易错点

• 角配错位置：把该力与竖直方向的夹角当成对面角。对面角永远是另外两个力的夹角，跟这个力自己没挨着。
• 钝角正弦想当然：、。角度大的那个，正弦反而小，力的顺序就反了。
• 优角不取补：两个力的夹角还有另一侧，可能是 ， 是负的，比例直接变号。一律补到  以内再用。
• 四个力硬套：拉密定理只对三个共点力成立。多一个力，三个角的关系就散了，必须回正交分解。
• 同一根绳算成两个力：绳跨过光滑定滑轮，两端张力大小相等，只能记一个力，另一段是同一根绳的延伸。
• 几何关系没写就先套定理：圆弧轨迹、等长绳这类条件先转成角度关系（如 ），角度关系不对，正弦定理算得再顺也是错的。
• 算完不验角：三个对面角相加不是 ，说明至少有一个取错了，后面的比例全作废。

一句话总结

拉密定理一句话：每个力配它对面的角——对面角就是另外两个力的夹角；三个"力比正弦"全相等，两角一力已知，剩下的力乘比例就出来了；钝角的正弦比锐角小，别拿角度大小当力的顺序。