数列求和之分组与并项：拆成熟脸，凑成整对

高中数学各个击破 · 第 104 讲 | 第 17 册《数列求和》第 5 讲

本期考点：拆项分组 ·相邻并项 ·奇偶分段 ·绝对值分段 ·区间与周期分段

📌 写在前面

前面几讲备了几件兵器：等差等比用公式，一般数列配不成对就用倒序，等差乘等比就用错位。

可考场上还有一类数列，它谁都不像：

第一个既不是等差（相邻的差是，在飘），也不是等比（相邻的比也在飘）；第二个的符号一跳一跳；第三个连表达式都随换脸。

它们的共同点是：整块啃不动，切开就好啃。

切开是"等差加等比"；两两一组，每组恰好是；在前后各是一段干净的等差。

于是这一讲就两把刀：

一把叫"分组"——把一个通项拆成几块熟脸，各算各的，最后加起来。

一把叫"并项"——把相邻几项先捆成一项，让"捆"起来的和变成熟脸。

合起来八个字：能拆则拆，能并则并。

先把丑话说在前面：这两把刀不是“高招”，是兜底。考场上碰到一个没见过的数列，别急着找公式，先问自己一句——它能不能被拆成我认识的东西？

🎯 学习目标

1. 会用和的可加性把拆成几块分别求和，并养成"拆完数项数"的习惯；
2. 掌握并项的两条主线（相邻两项之和为常数、为一次式），会由推，能处理型、奇偶分段型与绝对值型；
3. 会按"段"计数：区间型、周期型、取整型、组型，能定位"第项落在哪一段"，整段累加再补齐尾巴。

🧱 要点提炼

一、先问三句，路线就定了

拿到一个陌生通项，按顺序问三句话，答案会直接把路线指出来。

三句话都答"否"，那就再看一层：它是不是以某个数为周期在重复？ 是的话按"整周期 + 余项"算（这正是分段思想的一个特例）。

一句话记法：能不能拆？要不要配对？以几为一段？

二、拆项分组：一个通项，几块熟脸

依据只有一条，就是和的可加性：

有限项求和天然可拆，不需要任何额外条件——这正是它好用的原因。

三个动作：拆开 → 各算 → 合并。

以  为例。第一块  是首项 、公差  的等差，前  项和 ；第二块  是首项 、公比  的等比，前  项和 。所以

唯一的坑是项数。 拆完之后，每一块都必须恰好是  项——不是 ，也不是 。因为每一块用的都是"前  项和"公式，一旦某块的下标起点不是 ，或者末项差了那么一项，加起来的就不是 。每拆一次，就在草稿上给每块标一个"共  项"，这是最便宜的保险。

还有一句要提醒：拆法不唯一。 可以拆成  与  两块，也可以看成  的两倍。哪种顺手用哪种——分组不是"标准答案式"的操作，是你自己给自己找熟脸。

三、并项：把一对当成一项

并项的想法更朴素：既然单看不好办，那就两两捆起来看。

主线一：一对之和是常数。

最典型的是 。展开看：。相邻两项一正一负、绝对值只差 ，所以

每一对都是 ，于是 ，。两支合起来正好是一个闭式：

主线二：一对之和是一次式。

设 ，且  是一次函数。把  换成  再相减：

这个结论值钱：一次式的差是常数，于是奇数项自己成等差、偶数项自己成等差。 两条等差各走各的，互不干扰。前  项和就是"两条等差的前若干项和相加"——又回到了分组。

若  是常数呢？那就是主线一，一对之和恒定。

奇偶分段的固定套路：先算整对，再补余项。

设  为奇数时 、偶数时 。 里恰好有  个奇数项、 个偶数项，各算各的再加起来，通常很干净。而

这一句能省掉无数次重复劳动：不必从  再推一遍奇数支，只把最后一对里的偶数项减回去就行。顺序永远是先整对、后余项——因为整对好算，余项只需一步。

绝对值型也归到分段。 的转折点在 ： 时它是 （递减的等差）， 时它是 （递增的等差）。做法是先老实算到转折点，再另起一段往下加，中间不要试图用一个式子包住两边。

四、按段计数：区间、周期、取整、组

这一类题的答案不在"公式"里，在"数数"里。先数清每段有几项、每段的和是多少，再整段累加、补齐尾巴。

区间型。 例如 （当 ）。第  段从  到 ，共  项，每项都是 ，段和 。整段走完（）时

（右边这个和要借错位相减来算——分组求和经常要回头借前面的兵器，这不是跑题，这是常态。）

周期型。 若 ，一个周期之和为 ，则

取整型。 按位数分段： 有  项、每项 ； 有  项、每项 ； 有  项、每项 。段长是 ，段值是 。

组型。 第  组有  个数（比如连续奇数），段长是 、段和要单独算。这类题的"段长在变"，所以定位第  项在哪一组时，要解  这种不等式。

四种型的共同动作只有一个：定位 + 整段 + 余项。

🧮 典例精讲

组一　拆项分组

例 1　已知数列  的通项公式为 ，求其前  项和 。

解　通项是两块之和，直接拆：

第一块是首项 、公差  的等差，共  项，和 ；第二块是首项 、公比  的等比，共  项，和 。所以

验： 时 ； 时 ； 时 。全对。

这道题三秒钟就能做完，但它把分组求和的全部要点都摆出来了：拆得对、每块都数准  项、最后合起来验一个 。

例 2　已知数列  满足：当  为奇数时 ，当  为偶数时 。

（1）求 ；（2）求 ；（3）写出 。

解　这是奇偶分段，套路是"先整对、再补余项"。

（1） 里有  个奇数项、 个偶数项。

奇数项是 ，对应 ，即 ，成等差，和

偶数项是 ，对应 ，即 ，成等比，和

两段相加：

（2）整对算完，只把最后一对里的偶数项减回来：

（3）把  换回 。 偶时 ， 奇时 ，代入整理得

 为偶数：；

 为奇数：。

验： 时 ； 时 ； 时 。全对。

这里有个态度问题：分段数列的答案，本来就允许分两支写。

组二　并项

例 3　已知数列  的通项公式为 ，求其前  项和 。

解　转折点在 ，分两支。

当  时，，从  递减到 ，是首项 、公差  的等差：

特别地 。

当  时，把前  项单独留出来，从第  项起是 ：

验： 时右边 ，与第一支接上了； 时 ，而 ； 时 ，直接加也确实是 。

注意那个"接上"：把  代进第二支，正好等于 。两支在转折点处接得住，说明分段的位置没找错。

例 4　已知数列  满足 ，且对任意  都有 。

（1）求 ；（2）求 。

解　（1）一对一对地加，正好用上给定的条件（注意配对时把  取成 ）：

这是首项 、末项 、共  项的等差：

（2）要求 ，得知道  是多少。把条件的  分别取  与  再相减：

所以奇数项是公差为  的等差，首项 ，得 。再由  得

于是

换回 ： 偶时 ，； 奇时 ，。

验： 时 ； 时 ； 时 ； 时 。全对。

这道题的顺序值得记住：整对之和 → 隔项差 → 奇偶两条等差 → 回到分组。

例 5　已知数列  的通项公式为 ，求其前  项和 。

解　展开：。一正一负，绝对值每次加 ，所以相邻两项之和

每一对都是 ，全是常数。于是

两支合起来（ 时 ， 时 ）恰好是

验： 时 ； 时 ； 时 ； 时 。与  逐个吻合。

顺手记一个结论： 这类"带符号的和"，一般都能并成  乘一个简单式，别去写两支。

组三　按段计数

例 6　已知数列  满足：若 （），则 。求 。

解　先把"段"数清楚。第  段是 ，共  项，每项都等于 ，所以段和是 。

整段走完时（，即前  段全部取完）

这个和用错位相减（借上一讲的兵器）：得 。取 ，得 。

（直接数也对：。）

现在定位 ：因为 ，所以 ，即第  段的尾巴要从  数到 ，共  项，每项都是 ，这一段的和是 。

这道题的两个动作，是区间型的全部：先找"整段走到哪"，再找"尾巴剩几项"。

例 7　把全体正奇数按如下方式分组：第  组  个数（），第  组  个数（），第  组  个数（），……，第  组  个数，依次接着往下排。

（1）求第  组的第一个数与最后一个数；

（2）求第  组各数之和；

（3）求前  组所有数之和。

解　（1）前  组一共用掉了

个正奇数。第  个正奇数是 ，所以第  组的第一个数是第  个正奇数：

本组有  个数，公差 ，故最后一个数是

（2）组内成等差，首末相加乘项数除以 ：

（3）前  组之和

还有一条更快的路：前  组一共  个数，而它们是从  开始的连续正奇数，所以和就是"前  个奇数之和"，等于项数的平方：

两条路完全一致。验： 时第  组是 ；前  组 。

注意第（3）问的第二种解法——它没有做任何"求和"，只是数清了"一共几个数"。这就是分组题的本质：数得清，就加得动。

🔍 思维显微镜

显微镜一：拆完不数项数。 分组求和九成的错都出在这里。 里两块都是  项；但若写成 ，第一块是 ，仍是  项，和变成 ——**差的就是一个"少算一项"**。规矩：每拆一块，就在旁边写"共  项"。

显微镜二：整对算完，忘了余项。 好算，但题目问的往往是  或 。只要  是奇数，就必须减掉最后一个偶数项（），或者加上最后一个奇数项。这个减法一做，答案立刻不一样。

显微镜三： 没换回 。 分段题算到最后， 是"关于 "的答案，题目要的是"关于 "的答案。 偶时 、 奇时 ，这两个代换必须写出来，不能把  直接当  用。代进去以后再验 、。

显微镜四：绝对值不分段。 在  和  时是两个完全不同的等差，硬用一个式子包住必然出错。分段位置用"零点"定，分段之后代转折点看两支是否重合。

显微镜五：区间型只算整段、漏掉尾巴。 不是某个漂亮的整段值。整段只到 （），剩下  项要自己数。先定位、再整段、最后补尾巴，三步一步都不能跳。

总药方：拆完数项数，并完补余项，分段验接缝。

🗂️ 速查卡

📝 选题说明

本讲不沿用原书例题与练习，只参照书 P34–P41 的题型分布（通项拆成若干可求和数列再相加；分段型先求偶项和再用 ；含  或具周期性者按奇偶、或按  除以  的余数分类；绝对值与取整的分段；区间型常数数列；"每段  个数"的组型），题目全部自主命制，对标新高考同类考题模型。所有答案与关键数值均由独立脚本逐项验算，不依赖正文任何公式：能用有理数表示的一律用 Fraction 精确求和，整数项一律用 Python 整数精确累加，分段与取整一律直接枚举，最后才与闭式对拍。

✍️ 练一练

做一道，会一类。做完再看文末答案。

基础过关

1. 已知数列  的通项公式为 ，则其前  项和  ________。

2. 已知数列  满足：当  为奇数时 ，当  为偶数时 。则  ________，其中所有奇数项之和为 ________。

3. 已知数列  的通项公式为 ，则当  时  ________；当  时  ________。

4. 已知数列  满足 ，且 （）。则  ________；当  为偶数时  ________，当  为奇数时  ________。

5. 已知数列  满足 ，且 （）。则  ________， ________；当  为偶数时  ________，当  为奇数时  ________。

6. （多选）关于分组与并项求和，下列结论正确的是

A、若 ，且 、 都能求和，则  的前  项和等于两者前  项和相加 

B、若  且  为一次函数，则  为常数 

C、分组求和时，只要通项拆得对，各块分别求和后直接相加即可，不必核对每块的项数 

D、若  且一个周期的和为 ，则 （） 

综合练习

7. 设 （ 表示不超过该数的最大整数），则  ________。

8. 已知数列  满足 ，，，，且对任意  都有 。则  ________。

9. 已知数列  满足：若 （），则 。则  ________。

10. 已知数列  的前  项和 （）。

（1）求 ；

（2）设 ，求  的前  项和 。

📎 参考答案（做完再看！）

1. 。 拆成两块： 的前  项和 ； 的前  项和 。两块都是  项，直接相加。

验： 时 ； 时 。

2. ；。 奇数项是 （即 ，），和 ；偶数项是 ，即 ，和 。两段相加 。

（对着  数一遍：——注意第  项是  而不是 ，分段题最容易在这一步看错行。）

3. ；。 时 ，从  递减到 ：，特别地 。 时从第  项起是 ，故 。

验： 时第二支给 ，两支接上； 时 。

4. ； 偶时 ， 奇时 。 整对：，故 。

隔项差：，奇数项成公差  的等差，，于是 。故 。

换回 ： 偶时 ，； 奇时 ，代入  展开得 。

验： 时 ； 时 ； 时 。

5. ；； 偶时 ， 奇时 。 隔项差：，奇数项成公差  的等差，首项 ，故 ；再由  得 。

整对：，。故 。

换回 ： 偶时 ，； 奇时 ，代入  得 。

验： 时 ； 时 ； 时 。

6. A、B、D。 A：有限项求和具有可加性，正确。B：，一次式的差是常数，正确。D：整周期相加再加余项，正确。C：错——每一块都必须恰好  项，项数不核对就相加，"拆得对"也会算错。

7. 。 按位数分段： 到  共  项，每项 ； 到  共  项，每项 ； 到  共  项，每项 。故

8. 。 周期为 ，一个周期之和 。由 ，得

（余项  表示"再取前  项"，别取成前  项。）

9. 。 第  段有  项、每项 。先走完整段：（此时 ，前  段走完）。 落在  即第  段，尾巴有  项，每项 ：

10. （1）；（2）（ 为偶数），（ 为奇数）。

（1） 时 ； 时  也符合，故 。

（2），即 。每一对

所以 ；而 ，即  为奇数时 。

验： 时 ； 时 ； 时 。全对。

💡 金句

公式认得的是"熟脸"，考场给的往往是"生脸"。分组与并项，做的就是把生脸拆成熟脸、把零碎凑成整对。

拆得开，才加得动；数得清，才错不了。

能拆则拆，能并则并；拆完数项数，并完补余项。

共同奔赴，下期见。