八上习题17.2:怎样证24整除?完全平方如何不漏解?

教材原题｜习题17.2 拓广探索

7. 已知n为正整数，求证：（4n＋3）²－（2n＋3）²能被24整除。

8. 已知4y²＋my＋9是完全平方式，求m的值。

9. 观察下列式子，你得出了什么结论？你能证明你的结论吗？ 1²＋1²×2²＋2²＝（1＋1＋1）²， 2²＋2²×3²＋3²＝（4＋2＋1）²， 3²＋3²×4²＋4²＝（9＋3＋1）²， ……

同学们，学会乘法公式之后，还要学会从一个较复杂的式子中认出公式的结构。两项相减能否看成平方差？三项相加是否符合完全平方？连续几个例子背后有没有同一个表达式？这三题分别训练这三种观察方法。

先猜一猜

第7题一定要把两个平方全部展开吗？第8题中首尾两项都是正数，中间项就一定是正数吗？第9题右边括号里的第一个数是一、四、九，接下来的数应该怎样写？先观察，再用运算检验。

01 · 先分解，再利用连续整数的奇偶性

第7题分析：先平方差，再找因子24

分析：把4n＋3与2n＋3分别看成一个整体，原式就是两个整体的平方差。利用平方差公式，可以直接写成“两个整体的差”乘“两个整体的和”，从而看清整除所需的因子。

两者的差是2n，和是6n＋6。因此原式变成12n（n＋1）。但十二还不够，我们需要继续观察n与n＋1这两个连续正整数，它们的乘积一定含有因子二。

第7题证明｜原式是24的整数倍

证明：（4n＋3）²－（2n＋3）² ＝［（4n＋3）－（2n＋3）］［（4n＋3）＋（2n＋3）］ ＝2n（6n＋6） ＝12n（n＋1）。

∵ n为正整数，n与n＋1是两个连续整数， ∴ 其中必有一个是偶数，n（n＋1）是偶数。 设n（n＋1）＝2k，其中k为整数， 则原式＝12×2k＝24k。 ∴（4n＋3）²－（2n＋3）²能被24整除。

不能写到12n（n＋1）就停止，也不能只说“因为含有十二，所以能被二十四整除”。还差的因子二来自连续整数的积，这正是证明中不能省略的一步。

02 · 认出两平方，检查中间项的符号和系数

第8题分析：完全平方有加法、减法两种

分析：首项4y²可以写成（2y）²，末项9可以写成3²。若要成为完全平方式，中间项必须等于这两个底数乘积的两倍，或者这个数的相反数。

因为（A＋B）²＝A²＋2AB＋B²，而（A－B）²＝A²－2AB＋B²，所以不能只看首尾两项为正，就排除中间项为负的情况。

第8题解｜m＝12或m＝－12

解：∵ 4y²＝（2y）²，9＝3²， ∴ 完全平方式的中间项为 ±2×2y×3＝±12y。 比较一次项系数，得m＝12或m＝－12。

验证： 当m＝12时，4y²＋12y＋9＝（2y＋3）²； 当m＝－12时，4y²－12y＋9＝（2y－3）²。 两种情况都满足题意。

这里求的是系数m，不是字母y。要求原来的多项式整体具有完全平方结构，而不是找某个特殊的y，使计算结果偶然成为一个平方数。

为什么m不能写成6？

二y与三相乘得到六y，但完全平方公式的中间项是两者乘积的两倍，还要再乘二。只乘一次会漏掉两个交叉乘积合并带来的系数二；只写正十二则会漏掉减法平方这一类。

03 · 先写一般式，再把连续整数的积看成整体

第9题分析：把第n行写出来

分析：前三行分别用了相邻的正整数一与二、二与三、三与四。第n行就应使用n与n＋1。右边括号中的一、四、九是n²，第二项是一、二、三，是n，最后一项始终是一。

因此可以猜想：对任意正整数n，都有 n²＋n²（n＋1）²＋（n＋1）²＝（n²＋n＋1）²。 换句话说，相邻两个正整数的平方和，再加上它们平方的乘积，结果仍是一个整数的平方。

第9题证明｜凑成一个整体的完全平方

证明：∵ n²＋（n＋1）² ＝2n²＋2n＋1 ＝2n（n＋1）＋1， 且n²（n＋1）²＝［n（n＋1）］²， ∴ n²＋n²（n＋1）²＋（n＋1）² ＝［n（n＋1）］²＋2n（n＋1）＋1 ＝［n（n＋1）＋1］² ＝（n²＋n＋1）²。 所以猜想成立。

最关键的观察是把n（n＋1）看成一个整体。原式就变成“整体的平方，加两倍整体，再加一”，恰好能用完全平方公式。没有必要把所有括号展开成四次多项式后再慢慢合并。

写出下一行，检验自己是否读懂规律

取n＝4，下一行应为 4²＋4²×5²＋5²＝（16＋4＋1）²。 左边是16＋400＋25＝441，右边是21²＝441。

这个例子可以帮助检查一般式是否抄错，却不能代替证明。有限次计算只验证了有限个数；前面的字母推导，才说明每一个正整数都遵循同样的规律。

回头检查：三个容易忽略的细节

第七题相减时，括号前的减号要作用于整个括号，两个常数三相减后为零；相加时，两个常数三则合成六。这一步符号若错，后面的因式结构就会完全改变。写平方差的两个因式时，暂时保留括号更稳妥。

第八题代回两种参数后，都要能写成一个一次二项式的平方，不能只验证其中一种。第九题的左边有三部分，其中中间是两个平方的乘积，不是两个整数的乘积；漏掉平方，会使猜想从一开始就写错。

还要注意整除的说法：“原式能被二十四整除”，是说原式除以二十四的商为整数。我们写出原式等于二十四乘整数，就是把这句话转成准确的数学表达。

名师方法｜先找公式的结构，再决定怎样变形

看到两个平方相减，先尝试平方差；看到首尾是平方的三项式，检查中间是否是两倍乘积；遇到连续整数的复杂式子，试着把它们的乘积作为整体。因式分解与整式乘法是两个方向的变形，可以根据目标灵活选择。

证明整除，要明确写成目标整数乘以一个整数；求参数，要分类并代回验证；探索规律，要经历观察、猜想、一般证明。三个任务不同，答案完整的标准也不同。

当堂检测

1. 第7题中额外的因子二来自哪里？ 2. 若9y²＋my＋4是完全平方式，m有哪些值？ 3. 第9题取n＝5，结果是哪个整数的平方？

想好再看：连续整数n与n＋1中必有一个偶数；12或－12；31的平方，因为25＋5＋1＝31。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十七章《因式分解》第132页，习题17.2“拓广探索”第7、8、9题。