八上习题18.1:分式值为零有哪些条件?怎样整体代入?

教材原题｜习题18.1 拓广探索

11. 在什么条件下，下列分式的值为0？ （1）（3x²－12）／（x²＋4x＋4）； （2）（5a－b）／（a＋b）。

12. 已知a－1/a＝1，且（2a⁴－3a²x＋2）／（a³－a）＝1，求x的值。

同学们，分式看起来只是把分数里的数换成了字母，但字母可以取不同的值，分母就可能变成零。今天的两道题，一道训练条件意识，一道训练整体意识。算得快固然好，先弄清哪些运算合法，才是学好分式的起点。

先猜一猜：分子等于零，分式就等于零吗？

零除以五等于零，零除以零却没有意义。因此，看到分子为零，不能马上落笔写答案。请先想一想：第11题第一小题中，让分子为零的两个数，会不会有一个恰好让分母也为零？

01 · 先有意义，再讨论值是否为零

分式值为零：两个条件要同时满足

一般地，分式A/B的值为零，当且仅当A＝0且B≠0。前一个条件决定结果是不是零，后一个条件保证这个分式本来就有意义。它们不是二选一，而是缺一不可。

做题时可以按“找候选、查分母、写结论”三步走。分子方程得到的数只是候选值，必须回到原分母检查，留下合法的值。即使先约分，原分母的限制也不能丢。

第11（1）题：为什么只能取x＝2？

解：要使原分式的值为0，须满足 3x²－12＝0，且x²＋4x＋4≠0。 由3（x－2）（x＋2）＝0，得x＝2或x＝－2。 又∵ x²＋4x＋4＝（x＋2）²， ∴ x≠－2。 所以，当且仅当x＝2时，原分式的值为0。

把两个候选值代回原式，区别就很清楚：x＝2时，分子为零，分母为十六；x＝－2时，分子与分母同时为零，此时原式没有意义。注意，后者不是“值不等于零”，而是根本没有值。

约分以后，也要带着原来的限制

原式可以化为3（x－2）／（x＋2），但约去因式x＋2的前提是x≠－2。约分只是改变写法，不能给原来没有意义的取值补发通行证。尤其遇到约分后分母不再含某个因式的情况，更要保留原来的限制。

第11（2）题：b＝5a还不够

解：要使分式的值为0，须满足 5a－b＝0，且a＋b≠0。 由5a－b＝0，得b＝5a。 代入分母限制，得a＋5a＝6a≠0，故a≠0。 所以，当且仅当b＝5a且a≠0时，分式的值为0。

只写b＝5a会把a＝b＝0也算进去，而这一组数使分母为零。也可以写成a＝b/5且b≠0，意思相同。不必分别寻找两个字母的唯一数值，本题要求的是它们应满足的关系。

02 · 已知条件要变成题目用得上的形式

第12题分析：不急着求a，先把条件变形

已知a－1/a＝1，说明a≠0。两边同乘a，得到a²－1＝a。因此，原来较复杂的分母可以写成a³－a＝a（a²－1）＝a²。因为a≠0，a²也不为零，后面的除法有了依据。

再把a－1/a＝1两边平方：a²－2＋1/a²＝1，于是a²＋1/a²＝3。请看，题目的四次项除以a²后，正好会出现这个整体。我们需要的是这个整体的值，并不需要求出a本身。

第12题规范解答｜整体代入得到x＝5/3

解：∵ a－1/a＝1， ∴ a≠0，a²－1＝a，a²＋1/a²＝3。 ∴ a³－a＝a（a²－1）＝a²≠0。 由题意，得 （2a⁴－3a²x＋2）／a²＝1， 即2a²－3x＋2/a²＝1， 所以2（a²＋1/a²）－3x＝1。 代入a²＋1/a²＝3，得6－3x＝1。 解得x＝5/3。

这里的分子必须逐项除以a²：第一项得到2a²，中间一项得到－3x，常数项得到2/a²。不能只除第一项，也不能把最后的常数二忘掉。这正是把整个分子作为整体相除的含义。

为什么不必分别讨论a的取值？

满足题设的a可能不止一个，但上面的变形对每一个符合条件的a都成立。它们都使分母变成a²，都使a²＋1/a²等于三，因此对应的x相同。未知字母多，不代表每个字母都必须先单独求出来。

再追问一步：两边平方时，为什么出现减二？

把一个差平方，需要用完全平方公式：第一项的平方，减去两项乘积的二倍，再加第二项的平方。这里两项分别是一个非零数与它的倒数，它们的乘积恰好等于一，所以中间项是减二，不能漏掉。若错误地把差的平方写成两个平方的差，后面的整体值就会算错。

本题是从已经成立的等式推出新的等式，所以平方这一步可以使用。我们没有反过来把平方后的等式当成原条件，也没有据此增添新的取值。学习代数变形时，要分清“由已知推出结论”和“两个条件完全等价”这两种说法。

怎样检验第12题的答案？

将所得的x代回化简后的左边，得到六减五，确实等于一。再检查化简过程：原分母已证明等于一个非零数的平方，所以替换分母、逐项相除都有依据，检验有效。

如果把题目看成一次小小的闯关，那么先过的是分母非零这一关，再过的是整体变形这一关，最后才是解出未知数。这样的书写顺序既能帮助自己发现错误，也让阅卷老师看清每一步的理由。

名师方法｜条件不遗漏，整体不拆散

第11题的核心是同时检查分子与分母；第12题的核心是把已知条件改写成分母和分子所需要的形式。遇到求值题，先观察结构能否对上，再决定计算方向，常常可以避开没有必要的复杂运算。

当堂检测

1. 分式（t²－9）／（t－3）的值为零时，t等于多少？ 2. 若（2u－v）／（u＋v）＝0，u、v满足什么条件？ 3. 已知a－1/a＝1，求a²＋1/a²。

想好再看：第一题t＝－3，要排除使分母为零的三；第二题v＝2u且u≠0；第三题为三。写完答案，再给每一次约分、除法检查一下非零条件。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十八章《分式》第145页，习题18.1“拓广探索”第11、12题。