AI聊数学:第二章第一节:函数可导性与习题2-1第1-3题 同济大学《高等数学》第8版上册)

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小昊，我最近学到导数了，发现有一个很有趣的问题——是不是函数在某点有导数，就一定连续呢？好问题！其实反过来想更直观——如果函数在某点都不连续，那它肯定不可能有导数。但连续了是不是就一定可导？这个可得掰扯掰扯。

一、函数可导性与连续性的关系

那先说说，可导和连续到底什么关系？咱们从定义出发看。如果函数歪等于埃夫埃克斯在点埃克斯处可导，那就意味着极限德尔塔埃克斯趋于0时，德尔塔歪比德尔塔埃克斯等于埃夫一撇埃克斯，这个极限是存在的。

嗯，这是导数的定义。对。根据"具有极限的函数与无穷小的关系"，可以写成德尔塔歪比德尔塔埃克斯等于埃夫一撇埃克斯加阿尔法，其中阿尔法是德尔塔埃克斯趋于0时的无穷小。两边同乘德尔塔埃克斯，得到德尔塔歪等于埃夫一撇埃克斯乘德尔塔埃克斯加阿尔法乘德尔塔埃克斯。

这样一来，当德尔塔埃克斯趋于0时……德尔塔歪也趋于0！这正是函数在点埃克斯处连续的定义。所以，如果函数在某点可导，那么在该点必连续。

可导 → 连续：函数在某点可导是该点连续的充分条件。

那反过来呢？连续的话一定可导吗？这就未必了。连续只是可导的必要条件，但不是充分条件。教科书上给了两个非常经典的例子。

例10：三次根号埃克斯在原点

第一个例子是什么？函数歪等于三次根号埃克斯。它在整个负无穷大到正无穷大上都是连续的，但在埃克斯等于0处不可导。

怎么判断的？用定义算一下。埃夫0加德尔塔埃克斯减埃夫0除以德尔塔埃克斯等于三次根号德尔塔埃克斯除以德尔塔埃克斯，化简后是德尔塔埃克斯的3分之2次方分之1。当德尔塔埃克斯趋于0时，这个比值趋于正无穷大——也就是说导数为无穷大，注意，导数不存在。

导数等于无穷大，为什么不算存在呢？因为导数要求的是一个有限的极限值。无穷大表明函数在该点的切线是垂直于埃克斯轴的直线。从图形上看，曲线歪等于三次根号埃克斯在原点的切线就是x等于0这条竖直线。不过，垂直于埃克斯轴的直线斜率不存在，所以导数也就不存在。

例10要点：导数为无穷大（切线垂直于埃克斯轴）时，导数不存在。

例11：埃克斯的绝对值在原点

第二个例子应该更熟悉了吧？对，歪等于根号埃克斯的平方，也就是歪等于埃克斯的绝对值。这个函数在埃克斯等于0处连续，但从左边和右边求导试试看？

左边导数是负1，右边导数是正1，左右导数不相等！没错。所以它在埃克斯等于0处不可导。从图形上看，曲线在原点处有一个"尖点"，没有唯一的切线。

例11要点：连续但左右导数不相等（尖点）→不可导。

所以总结下来就是——可导一定连续，但连续不一定可导。常见的不可能情况有两种：一种是导数为无穷大，另一种是左右导数不相等。概括得真好！下面咱们进入习题2-1，看看导数概念在实际问题中怎么用。

练习讲解

第1题：旋转角速度

第一题是个物理题。物体绕定轴旋转，转角西塔是时间替的函数，记作西塔等于西塔替。如果是匀速旋转，角速度奥米伽等于西塔除以替。现在问：如果旋转是非匀速的，怎么确定物体在时刻替零的角速度？这个问题其实就是从平均角速度过渡到瞬时角速度的思路。在替零到替零加德尔塔替这个时间间隔内，物体转过的角度是德尔塔西塔等于西塔替零加德尔塔替减去西塔替零。平均角速度奥米伽杠就等于德尔塔西塔比德尔塔替。

然后让德尔塔替趋于0？对！在时刻替零的瞬时角速度就是极限德尔塔替趋于0时的平均角速度，也就是德尔塔西塔比德尔塔替的极限。这不就是西塔函数在替零处的导数吗？所以角速度奥米伽等于西塔一撇替零。

解题要点：求瞬时变化率就是求导——从平均角速度取极限得到瞬时角速度。

第2题：冷却速度

第2题也类似。物体温度高于周围介质时就会冷却，温度替是时间替的函数记作替等于替替。问怎么确定时刻替的冷却速度？这个思路和上一道题如出一辙。温度变化量德尔塔替等于替替加德尔塔替减去替替。在替到替加德尔塔替这个时间间隔内，平均冷却速度v杠等于德尔塔替比德尔塔替。

然后取极限？对，瞬时冷却速度v就是极限德尔塔替趋于0时德尔塔替比德尔塔替，也就是替一撇替。冷却是温度随时间的变化率，本质上也是导数。

解题要点：冷却速度就是温度函数对时间的导数——物理背景不同，数学本质相同。

第3题：边际成本

第3题转到经济学了。某工厂生产埃克斯件产品的成本函数为西埃克斯等于2000加100埃克斯减0.1埃克斯的平方。西埃克斯叫成本函数，西一撇埃克斯叫边际成本。要我们求两个问题：第一，生产100件时的边际成本；第二，生产第101件产品的成本，并和边际成本比较，说明边际成本的实际意义。先从第一问入手。求导——西一撇埃克斯等于100减0.2埃克斯。所以西一撇100等于100减20等于80元每件。也就是说，当产量达到100件时，边际成本是80元每件。

那生产第101件的实际成本是多少？直接算——西101等于2000加100乘101减0.1乘101的平方，算出来是11079点9元。西100等于2000加100乘100减0.1乘100的平方，等于11000元。两式相减，第101件产品的实际成本是79点9元。

79点9和80元非常接近！没错！这说明边际成本80元很好地近似了多生产一件的实际成本79点9元。边际成本的实际意义就是：当产量达到埃克斯件时，再生产一件产品所需成本的近似值。

解题要点：边际成本C'(x)近似等于生产第x+1件产品的实际成本，体现了导数作为"瞬时变化率"在经济分析中的应用。

总结

按知识点回顾

好，咱们来回顾一下这节课的核心内容。

第一，可导与连续的关系。函数在某点可导，则在该点必连续——这是必要条件。但连续不一定可导，反例有两个经典情况：一是导数等于无穷大（切线垂直），如三次根号埃克斯在原点；二是左右导数不相等（尖点），如埃克斯的绝对值在原点。

第二，导数的物理意义——瞬时变化率。习题2-1的三道题虽然背景不同——角速度、冷却速度、边际成本——但数学本质完全一样：都是函数在某点的导数。角速度是转角对时间的导数，冷却速度是温度对时间的导数，边际成本是成本对产量的导数。

听你这么一总结，思路特别清晰！原来导数不只是在数学课本里，角速度、冷却、成本分析背后都是同一个数学概念。这个"局部变化率"的思想真的太有用了！正是这样。导数的魅力就在于——用统一的数学语言刻画不同领域的变化规律。理解了这个，后面的微分、积分学起来就会特别顺畅。