高三数学 · 基本初等函数

2026-2027学年第9周 · 第三轮复习 · 含近年全国卷高考真题拆解与模拟训练

一、知识点精讲

第三轮复习我们跳出"背图像、比大小"的初级套路，把基本初等函数放到复合、对称、零点三个进阶维度重新打通：①指数型复合函数的单调性——外层定增减、内层定区间；②指数型函数的对称配对——f(x)+f(−x)=常数这类隐藏关系；③含参零点问题——去绝对值、分段讨论、数形结合。

1. 指数型复合函数单调性：设 f(x)=a^{g(x)}（a>0,a≠1）。外层 a^u 当 a>1 时递增、0<a<1 时递减；整体单调性由"外层与内层 g(x) 同增异减"决定。遇到 g(x) 是二次函数时，先求 g(x) 在目标区间的单调方向，再反推参数范围。

2. 指数型函数的对称配对：形如 f(x)=1/(1+a^x) 的函数满足 f(x)+f(−x)=1；更一般地，若 f(x)=c/(c+a^x)（c>0），也有 f(x)+f(−x)=1。这是高考里"对任意实数 x 恒成立"类选择题的命门，直接通分验证即可，不必代特殊值乱猜。

3. 含参零点与绝对值：零点即方程 f(x)=0 的实根。当解析式含 |h(x)| 时，先以 h(x)=0 为界分段去绝对值，化简后再分别求根；若根的个数要随参数变化，就把问题转化为两个函数图像的交点个数，用数形结合锁定参数范围。

二、高考真题分析

【真题1】(2023·新高考Ⅰ卷·第4题，单选)

设函数 f(x)=2^{x(x-a)} 在区间 (0,1) 上单调递减，则 a 的取值范围是（ ）

A. [0,+∞) B. (−∞,0] C. (−∞,2] D. [2,+∞)

解析：外层 y=2^u 在 R 上单调递增；要使 f(x) 在 (0,1) 递减，内层 u=x(x-a) 必须在 (0,1) 上单调递减。u=x(x-a)=(x−a/2)²−a²/4 是开口向上的抛物线，其减区间为 (−∞, a/2]，故需 a/2 ≥ 1，即 a ≥ 2。

答案：D

【真题2】(2022·北京卷·第4题，单选)

已知函数 f(x)=1/(1+2^x)，则对任意实数 x，有（ ）

A. f(−x)+f(x)=0 B. f(−x)−f(x)=0 C. f(−x)+f(x)=1 D. f(−x)−f(x)=1

解析：直接计算 f(−x)+f(x)=1/(1+2^{−x}) + 1/(1+2^x) = 2^x/(1+2^x) + 1/(1+2^x) = 1。故 C 正确；而 f(−x)−f(x)=1−2/(1+2^x) 随 x 变化，不是常数，B、D 错，A 显然错。

答案：C

【真题3】(2023·天津卷·第15题，填空)

若函数 f(x)=ax²−2x−|x²−ax+1| 恰有两个零点，则 a 的取值范围为 ______。

解析：以 h(x)=x²−ax+1=0 为界分两段。①当 h(x)≥0（a²≤4 且 a≠0，a=0 另行讨论）时，f(x)=(a−1)x²+(a−2)x−1=[(a−1)x−1](x+1)；②当 h(x)<0 时，f(x)=ax²−2x+x²−ax+1=(a+1)x²−(a+2)x+1。逐段求根并检验是否落在对应区间，交叉比对发现：a=0 时退化为一次式只有 1 个零点；0<a≤2 且 a=1 等情形根数不为 2；只有当 a<0 或 0<a<1 或 a>1（即 a≠0,1）时，两段合计恰有 2 个有效零点。综合得 a∈(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)。

答案：(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)

三、模拟题解答

【模拟1】（复合函数单调性，求减区间）

求函数 f(x)=3^{−x²+2x+3} 的单调递减区间。

解答：外层 y=3^u 递增，故 f(x) 递减 ⇔ 内层 u=−x²+2x+3 递减。u=−(x−1)²+4 是开口向下的抛物线，减区间为 [1,+∞)，所以 f(x) 的单调递减区间为 [1,+∞)。

【模拟2】（指数方程根的个数，数形结合）

方程 2^x = −x²+2x+3 的实根个数为（ ）

解答：转化为 y=2^x 与 y=−(x−1)²+4（顶点 (1,4)、开口向下抛物线）的交点。当 x<−1 时抛物线 <0<2^x，无交点；在 (−1,0)：x=−1 处 2^{−1}=0.5>0=抛物线值，x=0 处 1<3，由连续性有 1 个交点；在 (1,2)：x=1 处 2<4，x=2 处 4>3，有 1 个交点；x>2 后 2^x 增长快于抛物线下降，不再相交。故实根个数为 2 个。

答案：2 个

四、同步学习建议

基本初等函数进入第三轮，核心是从"会算"升级到"看穿结构"。建议本周：①死磕复合单调——记住"外层定增减、内层定区间"，用 2023 新Ⅰ卷 T4、模拟1 这类题做"先判外层、再推内层"的专项，避免直接对整体求导；②掌握对称配对——把 1/(1+a^x) 的 f(x)+f(−x)=1 当公式记，遇到"对任意 x 恒成立"的对称题 5 秒出答案；③攻克含参零点——遇见绝对值先分段、再"交点数形结合"，这是天津卷填空的常客。下周进入《函数与导数综合》，记得关注本号更新。