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通州区 2023～2024 学年第一学期九年级期末质量检测数学试卷
2024年1月
考生须知：
1．本试卷共6页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分．每题均有四个选项，符合题意的选项
只有一个．）
1. 在 中， ， ， ，则 的值是（）
A. B. C. D.
2. 已知 的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在 （ ）
.
A 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定
3. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所
得到的抛物线的表达式为( )
A. B.
.
C D.
4. 如图，点 ， ， 在 上， 是等边三角形，则 的大小为（ ）
A. 60° B. 40° C. 30° D. 20°
5. 如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD ，则点P所在的格点为（
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）
A. P B. P C. P D. P
1 2 3 4
6. 下列关于二次函数 的说法正确的是（ ）
A. 它的图象经过点（-1，-3） B. 它的图象的对称轴是直线x=3
C. 当x=0时，y有最大值为0 D. 当x<0时，y随x的增大而减小
7. 在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若 DQE的面积为9，则 AQB的面积
为（ ） △ △
A. 18 B. 27 C. 36 D. 45
8. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数 的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图
象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 已知扇形的圆心角为 ，半径为2，则扇形的弧长为__（结果保留 ．
10. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=_____．
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11. 某市开展植树造林活动．如图，在坡度 的山坡 上植树，要求相邻两树间的水平距离
为 米，则斜坡上相邻两树间 的坡面距离为______米．
12. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮
船的轮子被水面截得的弦 长为8米，轮子的半径 为5米，则轮子的吃水深度 为______米．
13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位： ）与电阻R（单位： ）是反比例函数
关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 ，那么用电器的可变
电阻R应控制在______ ．
14. 如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若
∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．
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15. 如图，A，B两点在反比例函数 的图像上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形
面积为1，则阴影部分的面积之和为______．
16. 在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ．P是第一象限内任意一点，连接 ， ．若
， ，则我们把 叫做点P的“角坐标”．
（1）点 的“角坐标”为______；
（2）若点P到x轴的距离为2，则 的最小值为______．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每题5分；第23～26题每题6分；第27～28题每题
7分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）
17. 计算： ．
18. 如图，在 中， ， ， ．求 的长和 的值．
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19. 已知二次函数几组x与y的对应值如下表：
x … 1 3 4 …
y … 12 5 0 0 5 …
（1）写出此二次函数图象的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式．
20. 如图，在 中， ， 平分 ，交 于点D， ， ，求
长的．
21. 无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据
传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C
的俯角分别是 和 ，此时无人机距直线 的垂直距离是200米，求小山两端B，C之间的距离．
22. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图， ．
求作：直线BD，使得 ．
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作法：如图，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线 ， ，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交 于点D；
④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ______．
∴ （______）（填推理的依据）．
∴ ．
23. 如图， 中， ，以 为直径的半圆与 交于点D，与 交于点E．
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（1）求证：点D为 的中点；
（2）求证： ．
24. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 的一个交点是 ．
的
（1）求 和 值；
（2）设点 是双曲线 上一点，直线 与 轴交于点 ．若 ，结合图象，直接写出点
的坐标．
25. 如图，点 在以 为直径的 上， 平分 交 于点 ，交 于点 ，过点 作
交 的延长线于点 ．
（1）求证： DF是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
26. 在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若 ， ，则 ______ ；（用“ ”，“ ”，或“ ”填空）
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（3）若对于 ， ，都有 ，求m的取值范围．
27. 如图， 中， ， ，点D在 的延长线上，取 的中点F，连结
，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连结 ．
（1）依题意，请补全图形；
的
（2）判断 数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为 ．给出如下定义：过 外一点 做直线与 交于点
、 ，若 为线段 的中点，则称线段 是 的“外倍线”．
（1）如图 ，点 ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．在线段 ， ， 中，
的“外倍线”是______；
（2） 的“外倍线” 与直线 交于点 ，求点 纵坐标 的取值范围；
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（3）如图 ，若 的“外倍线” ， 的坐标为 ，直线 与线段 有公共点，直
接写出 的取值范围．
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