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燕山地区 2023—2024 学年第一学期九年级期末考试
数学试卷
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）
第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图案是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C.
D.
2. 已知点P在半径为r的 内，且 ，则r的值可能为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 下列函数中，当 时， 随 的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
4. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，
则小球最终停留在白砖上的概率是（ ）
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.
A B. C. D.
5. 如图，点A，B在 上，点C是劣弧 的中点， ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每
周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点都在格点上，则 外接圆的圆心坐标为( )
A. (3，2) B. (2，3) C. (2，2) D. (3，3)
8. 平面直角坐标系 中，已知二次函数 的部分图象如图所示，给出下面三个结论：
① ；② 二次函数 有最大值4；③ 关于x的方程 有两个实数根
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， ．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点A（-4，1）关于原点对称的点的坐标是_______．
10. 一元二次方程 的解是_________________．
11. 将抛物线 向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为_________________．
的
12. 已知某二次函数 图象开口向上，且顶点坐标为 ，则这个二次函数解析式可以是
_________________．
13. 如图， ， 是 的两条切线，切点为 ， ，若 ， ，则 的半径为
_________________．
14. 如图， 是 的直径，弦 于点E，连接 ，若 ， ，则 的长为
_________________．
15. 在一个不透明的盒子中共装有 个球，其中有 个红球，这些球除颜色外无其他差别．为估计 的值，
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小颖做摸球试验，她将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出 个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记
录实验数据如下：
摸球的次数
摸到红球的次数
摸到红球的频率
根据以上数据，估计 的值约为_________________．
16. 2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥
物玩偶礼盒装，每盒进价为 元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过 元 盒．在销售
过 程 中 发 现 该 礼 盒 每 周 的 销 量 ( 件 与 销 售 单 价 ( 元 之 间 近 似 满 足 函 数 关 系 ：
．
（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为 (元 ，则 与 的函数关系式为________________；
（2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为__________________元．
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20题6分，第21－23题，每题5分，第
24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 解方程：x2+4x﹣12＝0．
18. 已知 ，求代数式 的值．
19. 2023年7月31日，北京遭遇 年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某
社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到 组(信息登记)，
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组(物资发放)， 组(垃圾清运)的其中一组．
（1）小东被分配到 组是 事件 (填“必然”，“随机”或“不可能”)；
小东被分配到 组 的概率是 ．
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率．
20. 如图，将 绕点B逆时针旋转得到 ，点C的对应点E恰好落在 上．
（1）若 ， ，求线段 的长．
（2）连接 ，若 ， ，求 的度数．
21. 阅读下面的材料
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉
伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时
期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．
以 为例，花拉子米的几何解法步骤如下：
① 如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为 和5的矩形，再补上一个边长为5的小正
方形，最终把图形补成一个大正方形；
② 一方面大正方形的面积为(x+ )2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为
，可得方程 ，则方程的正数解是 ．
根据上述材料，解答下列问题．
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（1）补全花拉子米的解法步骤②；
（2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程 的正数解的正确构图是
(填序号)．
的
22. 已知关于x 一元二次方程 有两个不相等的实数根．
的
（1）求m 取值范围；
（2）若m为正整数，请你写出一个满足条件的m值，并求出此时方程的根．
23. 已知二次函数 的图象经过点 ， ．
（1）求该函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于二次函数 的值，结合函数图
象，直接写出 的取值范围．
24. 如图，在 中， ，点D在 上，以 为直径作 与 相切于点E，连接
并延长交 的延长线于点F．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径．
25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．
在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B
中的剩余质量分别为 ， (单位：克)．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录 ， 与x的几组对应值如下：
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x(
1 2
分 0 5 15 …
0 0
钟)
2 23. 2 14.
(克 7 …
5 5 0 5
)
2 1
(克 20 10 5 …
5 5
)
（1）在同一平面直角坐标系 中，描出上表中各组数值所对应的点 ，并画出函数
的图象；
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分， 与x之间近似满足函数关系
．场景B的图象是直线的一部分， 与x之间近似满足函数关系 ．
请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场
景A，B中发挥作用的时间分别为 ，则 (填“＞”，“=”或“＜”)．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上，设抛物线的对
称轴为 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围．
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27. 如图， 为等边三角形，点 为 边上一点(不与点 ， 重合)，连接 ，过点 作
于点 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）依题意补全图形，直接写出 的大小，并证明；
（2）连接 并延长交 于点 ，用等式表示 与 的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中，对于 和 外一点 给出如下定义：连接 交 于点 ，作点
关于点 的对称点 ，若点 在线段 上，则称点 是 的“关联点”．例如，图中 为 的
一个“关联点”．
（1） 的半径为1．
①如图1，在点 ， ， 中， 的“关联点”是 ；
②已知点 在直线 上，且点 是 的“关联点”，求点 的横坐标 的取值范围．
（2）直线 与 轴， 轴分别交于点 ，点 ， 的圆心为 ，半径为2，若线段
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上所有点都是 的“关联点”，直接写出 的取值范围．
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