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《解决问题——外圆内方、外方内圆》教学设计
教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第 69 70 页例 3 及相关
练习
教学目标：
1. 结合具体情境认识外方内圆、外圆内方等与圆有关的组合图
形的特征，能用语言清楚的表达这些特征。
2. 通过独立思考、合作探究、分析讨论等活动，解决求圆和正
方形之间部分面积的问题 理解计算此类组合图形面积的方法 并能
准确进行计算。培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题
的能力。
3 让学生在解决实际问题的过程中 进一步体验图形和生活的联
系，感受平面图形的学习价值，感受数学的价值，提高数学学习的兴
趣和学好数学的自信心
学情分析：
外方内圆 、外圆内方属于正方形和圆的组合图形。学生在五年级
研究过平面组合图形的面积 对解题思路及解题方法有一定的了解和掌
握 这节课是在学生掌握了正方形的面积和圆的面积计算方法的基础上
进行教学的 是关于圆与正方形这两种平面图形的组合图形的
面积计算问题六年级学生具备一定的独立分析问题、研究问题的能
力 能够自主尝试利用具体数据解决圆和正方形之间部分的面积 同
时让学生通过小组合作 讨论交流的形式 对解答的结果和解决的方
法进行检验和回顾反思 使学生能在解决具体问题的基础上发现更为
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一般的数学规律，提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的
能力。
教学重点：组合图形的认识及面积计算
教学难点：对组合图形的特征进行分析。
教学准备：课件、答题卡
教学过程：
一、创设情境、引入课题：
1、了解“天圆地方”学说。
师：同学们，你们听说过“天圆地方”这个词语吗？
师：看来有些同学不是太清楚，让我们先来了解一下中国古代的
“天圆地方”学说吧
（课件出示）
古时候 由于人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界
看到眼前的地面是平的 以为整个大地是平的 并且把天空看作是倒
扣着的一口巨大的锅。我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说
法
师
虽然这种说法是错误的但是方和圆的说法却激发了设计师
的灵感，下面让我们伴随美妙的音乐来欣赏一组图片
2、欣赏图片
（课件展示）
师：怎么样？发现它们有什么共同之处吗？
预设 1、都有圆和正方形
预设 2、都是组合图形
3、引入课题
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师：今天这节课，我们就来借助正方形和圆的面积算法，解决一
些和圆有关的数学问题 （板书：解决问题）
【设计意图：欣赏美图 结合雕窗设计 自然地引出例题的教学，
从而激发学生学习的兴趣和探究新知的热情 】
二、探究新知：
（一）阅读与理解：
（课件显示两幅雕窗图）
师：让我们把目光聚焦于这两幅图
1、分析组合图形的特征
①这两幅图有什么联系和区别？
②认识外方内圆、外圆内方（板书：外方内圆
外圆内方）
③方中圆的圆有什么特征？圆中方的方有什么特征？
2、提出问题
师：过去我们研究过正方形的面积，昨天我们又研究了圆的面
积，象这样，把圆和正方形组合在一起，你能提出一个数学问题吗？
（二）分析与解答：
、分1 析问题
①你怎么理解圆和正方形之间的面积？
② 你打算怎么解决这个问题？
③解决这个问题需要具备哪些条件？
、2、2 解决问题：
两个圆的半径都是 1 m，怎样计算正方形和圆之间部分的面积？
师：同学们提到的这些条件都可以。这节课我们就从半径 1 米
入手，试着来解决圆和正方形之间部分的面积
尝试独立完成，同桌交流
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学习要求
①独立思考，独立解答正方形和圆之间部分的面积
②同桌两人交流解题思路、分析过程
③展示汇报
3、汇报分享
外方内圆（一生汇报）
突出：正方形的边长 圆的直径
外圆内方（一生汇报）
预设 1、把正方形看做两个相等三角形
预设 2、把正方形看做四个相等三角形
预设 3、利用对角线的平方除以 2 来解
决
师：这个正方形的面积怎么不用边长的平方来计算呢？
追问：谁还有补充吗？
4、点评并板书
外方内圆:根据图形的位置关系，找到正方形的边长，用正方形
的面积减去圆的面积：
外圆内方：找不到正方形的边长，我们可以转换思路，利用圆的直径
把正方形看做两个或四个相等的三角形来解决问题。
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（板书
S 正- S
圆
5、小结
圆-
S 正S ）
师：利用半径 1 米，我们解决了圆和正方形之间部分的面积，如
果换做半径 2 米或者 3 米等等其他数据 都可以用这样的减法思路来
解决。想一想，如果没有具体数据，这个问题还能得到解决吗？
【设计意图：经历观察思考、分析推理等学习活动，得出公共边 以
及图形各要素之间的关系，自主地运用已有的知识达成问题的解决。
教学过程中 注重把时间和空间还给学生，教师只用简单的提问
或互动，点明主旨，突出学生自主研究学习的全过程 】
（三）回顾与反思：
如果两个圆的半径都是 r，结果又是怎样的？
1、延伸讨论探讨一般化的结论。
如果两个圆的半径都是 r，结果又是怎样的？
小组合作学习，学习要求如下
四人小组讨论学习，谈谈发现 说说想法 理清思路 整理答案
汇报展示
2、四人小组展示汇报
3、师简要点评
（2r）
2－3.14×
2＝4r
2－3.14r
2＝0.86r
2
3.14×r
2－（
1 ×2r×r）×2＝1.14 r
2r
2
2
外方内圆两个图形间的面积可以用
0.86
2 r 来表
示外圆内方两个图形间的面积可以用1.14
2 来r
表示
一起来看看数学家的发现：
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外切正方形与圆之间部分的面积都是半径平方的0.86 倍. 内接正方
形与圆之间部分的面积都是半径平方的1.14 倍。
4、总结：
今天我们先利用具体数据研究了圆和正方形之间部分的面积，又用
代数式表示了计算的结果，并且验证了结果的正确性。接下来，我们利
用今天所学的知识来解决一些实际问题。
【设计意图：“授人以鱼，不如授人以渔”，通过让学生解决实际
问题，经历解决问题的全过程，并在解决具体问题的基础上发现更为一
般的数学规律。在层层深入的学习过程中，始终坚持为学生创设探索的
情境，利用知识内在的魅力吸引学生主动投入到知识的探索与研究过程
中。】
三、应用知识解决问题：
1、解答：课本第70 页“做一做”（课件出示）
右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24 cm。外面
的圆与内部的正方形之间的面积是多少？
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1.14×（24÷2）²＝164.16（cm ²）
答：外面的圆与内部的正方形之间的面是164.16 cm ²。
2、只列式，不计算。
（课件出示课本第72 页第9 题）一枚古代铜钱，直径是28 mm，中
间正方形的边长为6 mm。这个铜钱的面积是多少？
3.14×（28÷2）²-6×6
四、拓展提升：
师：看来我们必须得弄清楚外方内圆和外圆内方的本质特征。想一
想，如果让这两个圆重合成一个圆，把这两幅图叠加为一副图，会得到
一个什么样的图形呢？（课件出示图形）
思考：对于同一个圆而言，两个正方形之间部分的面积是多少呢？
五、谈收获：
说一说：这节课你有什么收获？
六、全课总结，预留思考：
师：今天这节课，我们重点研究了外方内圆和外圆内方。其实，在
数学的殿堂里，把正方形和圆组合在一起，值得思考的问题非常多。
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你来看，象这样两个图形面积的比是多少，象这样三个图形的面积
的比又是多少，这些问题，请同学们课外独立思考，自己试着去解答。
（课件出示组合图形）
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