港的导数题集(2月20日)春节钜献北大学子-港北京大学数学大神-港的导数题集(共14题)(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》

 
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港的导数题集 
 
1．（难度：★☆☆☆☆） 
原子物理中一些放射性重金属会发出射线而衰变，其物质的量减少一半所需的时
间总是恒定的，这个时间被称为半衰期，记函数
( )
e x
f x
−
=
（
0
x≥
）． 
（1）证明：
( )
f x 具有类似的半衰期，并求出半衰期的数值； 
（2）记该半衰期为0t ，构造数列{
}
na
满足
0
(
1)
na
n
t
=
−
，记(
,
(
))
n
n
a
f a
处的切线与
1
1
(
,
(
))
n
n
a
f a
+
+
处的切线交于(
,
)
n
n
x
y
，
*
nN ． 
（i）求{ }
nx
，{
}
ny
的通项公式； 
（ii）记
( )
f x 与x 轴围成的面积为S ，证明：
2
1
ln 2
2
S
+
≥
． 
 
 
 
2．（难度：★☆☆☆☆） 
已知函数
ln
( )
x
f x
x
=
（
0
x 
）． 
（1）讨论
( )
f x 的单调性； 
（2）定义在(1,
)
+的函数( )
g x 满足
( ( ))
( )
f g x
f x
=
，且
0
e
x


，
0
0
(
)
g x
x

． 
（i）讨论( )
g x 的单调性； 
（ii）若( )
1
kx
g x
x −
≥
，求k 的取值范围． 
 
 
 
 
 
 
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3．（难度：★☆☆☆☆） 
已知函数
1
1
( )
e
3ln
3
x
f x
a
x
a
−
=
+
−
−（
0
x 
）． 
（1）若
( )
f x 在
1
x = 处的切线分别交x 轴和y 轴于A，B 两点，若0
3
a


，求
AOB
△
面积的最小值； 
（2）若对于
(0,
)
2



，均有
(sin )
(cos )
1
f
f


+
−，求a 的取值范围． 
 
 
 
 
4．（难度：★★☆☆☆） 
已知函数
( )
2
x
a
f x
a
x
=
+
−
（
1
x≥，
0
a 
且
1
a ） 
（1）若
1
a ，证明：
( )
0
f x 
； 
（2）讨论
( )
f x 的零点个数； 
（3）若
( )
f x 有一个零点
0x ，证明：
0
1
ax ． 
 
 
 
 
5．（难度：★★☆☆☆） 
已知函数
( )
e x
f x
x −
=
，a ，b 满足当
ln2
a
x
a +
≤≤
时，
( )
2ln 2
b
f x
b +
≤
≤
，则 
A.
[ ln 2,ln 2]
a−
                       B.
ln 2
[ 2ln 2,
]
2
b−
 
C. a
b
≥                              D.
( )
( )
f a
f b
≥
 
 
 
 
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6．（难度：★★☆☆☆） 
已知函数
( )
ln
f x
x
x
=
−
（
0
x 
）． 
（1）讨论
( )
f x 的单调性； 
（2）若
1
2
( )
(
)
f x
f x
=
，
1
2
x
x

． 
（i）证明：
1
2
1
2
2
x
x
x
x
+

； 
（ii）证明：
2
1
1
2
2
x
x
x
x
+

 
 
 
 
 
7．（难度：★★★☆☆） 
已知函数
( )
e
e
ax
bx
f x
x
=
+
−
，且
0
a 
，
0
b 
． 
（1）证明：
( )
f x 在R 上不单调； 
（2）若
( )
f x 有且仅有一个零点
0x ． 
（i）证明：
0
e
1
2e
x
+ 
≤
； 
（ii）当
(e
2)
a
b
=
+
时，求
0x ． 
 
 
 
8．（难度：★★★☆☆） 
若tan(sin )x
ax

在(0, )
a 成立，求a 的取值范围． 
 
 
 
 
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9．（难度：★★★☆☆） 
已知函数
( )
ln
1
f x
x
x
=
−
−（
0
x 
） 
（1）求
( )
f x 的单调区间以及极值； 
（2）已知矩形ABCD 的三个顶点均在
( )
f x 的图象上，且该三个顶点有且仅有两个
顶点的横坐标大于1，证明：矩形ABCD 的周长大于4． 
 
 
 
 
 
 
 
10．（难度：★★★☆☆） 
（1）证明：当
0
x 
时，
sin
x
x

； 
（2）已知
0
a 
，若sin
(sin )
a
a
x
x

在
(0,1)
x
恒成立，求a 的取值范围； 
（3）若存在
1
a ，使得sin
(sin )
a
a
x
x

在
(0, )
x
b

恒成立，求b 的取值范围． 
注：题目经过santa 的优化 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11．（难度：★★★★☆） 
已知函数
( )
e
ln(
1)
1
ax
f x
x
=
−
+
−有两个零点
1x ，
2x （
1
2
x
x

）． 
（1）求a 的取值范围； 
（2）当
1
a 时，记
( )
f x 的极值点为
0x ； 
（i）证明：
2
1
x
a
−
； 
（ii）若
2
0
x
kx

，求k 的取值范围． 
 
 
 
 
 
 
12．（难度：★★★★☆） 
设曲线
ex
y =
上两点
1
1
( ,
)
A x y ，
2
2
(
,
)
B x
y
处的切线相交于点P ． 
（1）设D 为线段AB 的中点，证明：直线PD 处的斜率小于0； 
（2）若|
| |
|
PA
PB
=
，证明：存在唯一的实数t 满足
1
2
x
t
x

； 
（3）在（2）的条件下，比较
1
2
x
x
+
与2t 的大小，并说明理由． 
注：第三小问由73Dsi 补充． 
 
 
 
 
 
 
 
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13．（难度：★★★★★） 
 
已知函数
( )
sin
sin
(
0)
af
x
x
ax a
=
+

，当a Q 时， 
( )
af
x 最大值为
a
M ；当a Q 时，
记
2
a
M =
． 
（1）求
3
M ； 
（2）讨论
( )
f
x

在
16
(0,
)
1

+
的极值点个数； 
（3）证明：
3
a
M
M
≥
.  
 
 
 
 
 
 
14．（难度：★★★★★） 
已知曲线
2
2
2
e
(ln )
(
)
e
1
x
y

+
=
+
：
，直线l 交于A ，B 两点，其形状如下图： 
（1）求最高点和最低点的坐标： 
（2）记的最高点为P ． 
（i）若l 的斜率为0，求
PAB
△
面积的最大值； 
（ii）求
PAB
△
面积的最大值．