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2025 年初中学业水平考试
数学试题
本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔
将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 如图，数轴上表示 的点是（ ）
A. M B. N C. P D. Q
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省
2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（ ）
.
A B. C. D.
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5. 已知 ，则下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”
“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，
则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒
若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒
有 个，夜叉有 个，则根据条件所列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的
平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（
）
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形 是面积为4的正方形．若函数
的图象经过点 ，则满足 的 的取值范围为（ ）
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A. B. C. D.
10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 （厘米/天）和光照强度 （勒克斯）之间存
在一定关系．在低光照强度范围（ ）内， 与 近似成一次函数关系；在中高光照强度范
围 内， 与 近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（
）
的
A. 当 时， 随 增大而减小 B. 当 时， 有最大值
C. 当 时， D. 当 时，
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 写出使分式 有意义的 的一个值______．
12. 在平面直角坐标系中，将点 向下平移2个单位长度，得到的对应点 的坐标是______．
13. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______．
14. 取直线 上一点 ，①过点 作 轴的垂线，交 于点 ；②过点 作 轴
的垂线，交 于点 ；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点 的坐标为 ，则
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点 的坐标是______．
15. 如图，在 中， ， ， ．点 为边 上异于 的一点，以 ，
为邻边作 ，则线段 的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
17. 在 中， ， ， 的平分线 交 于点 ．如图1．
（1）求 的度数；
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（2）已知 ，分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ， ，作直
线 交 于点 ，交 的延长线于点F．如图2，求 的长．
18. 山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，
建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为 万平方米，每立方米的水可供发电 千瓦时，求注水多长时间可供发电
万千瓦时？
的
19. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体 值进行了检测，
并对一天（24小时）内每小时的 值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的 值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，
8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．
乙基地水体的 值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，
8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．
【整理数据】
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
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【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空： ______， ______；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的 值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体 值的日变化量（ 值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明
该日两基地的 值是否符合要求．
20. 如图，在 中，点 在 上，边 交 于点 ， 于点 ． 是 的平
分线．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 的半径为2， ，求 的长．
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21. 【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到
鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到 的长度的方案，以检测该
部件中 的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，
分别与 ， 相切于点 ， ．用游标卡尺测量出 的长度 ．
【问题解决】
已知 ， 的长度要求是 ．
（1）求 的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为 ，现测得 ．根据以上信息，通过计算说明该部件 的长度
是否符合要求．（参考数据： ）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果
能，写出一个；如果不能，说明理由．
22. 已知二次函数 ，其中 ， 为两个不相等的实数．
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（1）当 、 时，求此函数图象的对称轴；
（2）当 时，若该函数在 时，y随 的增大而减小；在 时， 随 的增大而增大，
求 的取值范围；
（3）若点 ， ， 均在该函数的图象上，是否存在常数 ，使得
？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由
23. 【图形感知】
如图1，在四边形 中，已知 ， ， ．
（1）求 的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段 上取一点 ，连接 ．将四边形 沿 翻折得到四边形 ，其中 ， 分别是
A，D的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
的
①甲：点 恰好落在边 上，延长 交 于点 ，如图2．判断四边形 形状，并说明理
由；
②乙：点 恰好落在边 上，如图3．求 的长；
（3）如图4，连接 交 于点P，连接 ．当点E在线段 上运动时，线段 是否存在最小值？
若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
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