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二〇二五年齐齐哈尔市初中学业水平考试
数学试卷
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，总分120分
3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
的
1. 《九章算术》是我国古代著名 数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入 元记作
元，则支出 元记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 将一个含 角的三角尺和直尺按如图摆放，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．下图中飞
机的俯视图是（ ）
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A. B. C. D.
6. 如果关于 的分式方程 无解，那么实数 的值是（ ）
A. B. C. 或 D. 且
7. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟
的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织
900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生
都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
9. 如图，在菱形 中， ， ，动点 从点 出发沿边 匀速运动，运动到
点 时停止，过点 作 的垂线 ，在点 运动过程中，垂线 扫过菱形（即阴影部分）的面积为 ，
点 运动的路程为 ．下列图象能反映 与 之间函数关系的是（ ）
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A. B. C.
D.
10. 如图，二次函数 的图象与 轴交于两点 ， ，且 ．下列
结论：① ；② ；③ ；④若 和 是关于 的一元二次方程
的两根，且 ，则 ， ；⑤关于 的不等式
的解集为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11. 中国年水资源总量约为 亿 ，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．
将 用科学记数法表示为__________．
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12. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是__________．
13. 若圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则其侧面展开图的圆心角为__________度．
14. 如图，在 中， ，连接 ，分别以点A，C为圆心，大于 的长为半径作
弧，两弧交于点E，F，作直线 ，交 于点M，交 于点N，若点N恰为 的中点，则 的长
为__________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第二象
限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为 ，连接 ，若 ，则实数k的值为
______．
16. 等腰三角形纸片 中， ，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交 于点
D，交直线 于点E，连接 ，若 ， ，则 的面积为__________．
17. 利用几何图形 变的化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，
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以 为边作 ，使 ， ，再以 为边作 ，使
， ，过点 ， ， 作弧 ，记作第1条弧；以 为边 ，
使 ， ，再以 为边作 ，使 ， ，
过点 ， ， 作弧 ，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点 的距离最小的点的坐
标为__________．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18. （1）计算：
（2）分解因式：
19. 解方程：
20. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应
号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，
倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜
爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生
的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
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根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： __________；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为__________度；
（4）若该校有 名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
21. 如图， 内接于 ， 为 的直径，点D在 的延长线上，连接 ， ，
过点B作 ，交 于点E．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若点B是 的中点，且 ，求 的半径．
的
22. 2025年春晚舞台上 机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求
知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设
置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以
20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向
C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速
返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之
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间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，C两区相距__________米， __________；
（2）求线段 所在直线的函数解析式；
（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
23. 综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何
模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
（1）【几何直观】如图1， 中， ， ，在 内部取一点 ，连接 ，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，则 与 的数量关系是
__________； 与 的数量关系是__________；
（2）【类比推理】如图2，在正方形 内部取一点 ，使 ，将线段 绕点 逆时针
旋转 得到线段 ，连接 ，延长 交 的延长线于点 ，求证：四边形 是正方形；
（3）【深度探究】如图3，矩形 中， ， ，在其内部取一点 ，使 ，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，延长
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交 的延长线于点 ，连接 ，若 ，则 __________；
（4）【拓展延伸】在矩形 中，点 为 边上的一点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转
得到线段 ，连接 ，若 ， ，则 的最小值为__________．
24. 综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴
交于点 ，连接 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是直线 下方抛物线上的点，连接 ， ，当 时，求点 的坐标；
（3）点 是第四象限内抛物线上的一点，连接 ，若 ，则点 的坐标为__________；
（4）如图2，作点 关于 轴的对称点 ，过点 作 轴的平行线l，过点 作 ，垂足为点 ，
动点 ， 分别从点 ， 同时出发，动点 以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向匀速运动，动
点 以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向匀速运动（当点 到达点 时，点 ， 都停止运
动），连接 ，过点 作 的垂线，垂足为点 ，连接 ，则 的取值范围是__________．
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