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深圳市 2025 年初中学业水平考试
数学
说明：本卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、考号、考点、考场
和座位号填写在答题卡相应的区域，并贴好条形码．考试结束后，请将本卷和答题卡一并上
交．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是
正确的）
1. 节约水5吨记作 吨，则浪费水2吨记作（ ）
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正数与负数，利用相反意义量的定义判断即可．
【详解】解：如果节约用水5吨记作 吨，那么浪费水2吨，记作 吨，
故选：C．
2. 如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ）
A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同
C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体
的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右
观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可．
【详解】解：根据三视图的定义，可知该几何主视图和左视图相同．
故选：A．
3. 某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪
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从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单的概率计算，根据等可能事件的概率公式求解．
【详解】解：共有4本书，每本书被抽中的可能性相等，
抽到《九章算术》是其中1种可能，
因此概率为成功事件数除以总事件数，即 ，
故选：C．
4. 如图为人行天桥的示意图，若高 长为10米，斜道 长为30米，则 的值为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键．
根据正弦的定义求解即可．
【详解】解： 长为10米，斜道 长为30米，
∵
根据题意得： ，
∴
故选：D
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关
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运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可．
【详解】解：A． 与 的指数不同，无法直接相加，故A计算错误；
B． ，原计算正确，符合题意；
C． ，原选项计算错误，故不符合题意；
D． ，原选项缺少 项，故D错误．
故选：B．
6. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线 经平面镜后反射入眼，若 ， ，
，则入射角 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质得出 ，结合图形即可求解．
【详解】解：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
7. 某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设
原计划人数为 人，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为人，则实际人数为 人，原计划平均每
人种树 棵，实际平均每人种树 棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
8. 如图，将正方形 沿 折叠，使得点 与对角线的交点 重合， 为折痕，则 的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些
知识点是解题关键.
根据折叠得出 ， ，利用相似三角形的判定和性质得出 ，再
由正方形的性质求解即可.
【详解】解：∵正方形 沿 折叠，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 若关于 的方程 的解为 ，则 __________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是
解题关键．把 代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于 的方程 的解为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：4．
10. 如图，将无人机沿着 轴向右平移3个单位，若无人机上一点 的坐标为 ，则平移后点 的坐标
为__________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上
下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
根据点的平移规律即可求解．
【详解】解：由题意得：将点 沿着 轴向右平移3个单位，
∴平移后点 的坐标为 ，即 ，
故答案为： ．
11. 计算： __________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键．
根据同分母分式的减法运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数 与反比例函数 相交于点 和点 ．若 的
横坐标为1，则 的坐标为__________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据 的横坐标为1，求出 的值，进而求出
点坐标，再根据对称性求出点 的坐标即可．
【详解】解：令 ，
∵同一平面直角坐标系下的正比例函数 与反比例函数 相交于点 和点 ， 的横坐标为
1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴点 关于原点对称，
∴ ；
故答案为： ．
13. 如图，以矩形 的 点为圆心， 的长为半径作 ，交 于点 ，点 为 上一点，连
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接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 至 ，点 落在 上，且点 为 中点．若 ，
，则 的长为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查矩形 的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，由矩形的性质得
， 由 勾 股 定 理 得 ， 所 以 ，
，再证明 ，利用相似三角形的性质求解即可得到 ．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ；
在 中， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
由旋转得， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：6．
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14. 计算： ．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零
指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可.
【详解】原式
.
15. 解一元一次方程组 ，并 数轴上表示．
在
解：由不等式①得：__________，
由不等式②得：__________，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为__________．
【答案】 ； ； ；见解析
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，
大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集，
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【详解】解： ，
解不等式①，得：
解不等式②，得：
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为： ，
故答案为： ； ；
16. 某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，
“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统
计图如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次投票共__________人参与，其中科技安全所占百分比为__________，并补全条形统计图．
（2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下：
科技
10 9 9 3 6 9 10
畅想
科技
9 10 7 8 6 8 8
故事
平均 众
中位数
数 数
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科技
9
畅想
科技
8 8 c
故事
求表中的数据： ________， ________， ________．
（3）结合上述信息，应该选择哪个科技主题，并说明理由．
【答案】（1） ，补全统计图见解析
（2）8，9，8 （3）见解析（言之有理即可）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，求中位数、众数、平均数等知识点，正确理解
统计图是解题的关键．
（1）由科技生活的人数除以占比得到投票人数，用总人数减去其余的人数求出科技安全的人数，再除以
总人数，即可求出占比，以及补全条形统计图；
（2）根据平均数，中位数，众数的定义即可求解；
（3）可以根据中位数和众数分别进行分析即可．
【小问1详解】
解：本次投票人数为： （人），
科技安全人数为： （人），
∴占比为： ，
补全条形统计图为：
故答案为： ；
【小问2详解】
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解： ，
将“科技畅想”的打分排列为：3，6，9，9，9，10，10，
则中位数 ；
在“科技故事”打分中，8分出现次数最多，
∴ ，
故答案为：8，9，8；
【小问3详解】
解：应该选择“科技畅想”，因为给“科技畅想”活动的打高分的人数最多，表示其更受欢迎（答案不唯
一）．
17. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的
价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
（2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，
花费最少，最少费用是多少？
【答案】（1）每个篮球60元，每个足球50元
（2）当购买篮球4个的时候，所花费用最少
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式
和一次函数解析式，是解题的关键：
（1）设每个篮球 元，每个足球 元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设蓝球有 个，购买的总费用是 元，根据题意，列出不等式求出 的范围，列出一次函数解析式，
根据一次函数的性质，求最值即可．
【小问1详解】
解：设每个篮球 元，每个足球 元，由题意，得：
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或 或 ，（三个方程组任选一个即可）
解得： ；
答：每个篮球60元，每个足球50元．
【小问2详解】
设蓝球有 个，则足球有 个
，
解得： ，
设购买的总费用是 元，
，
，
随着 的减小而减小；
∵ 且 为整数，
当 最小值为4时， 最小值为540元；
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少．
18. 如图1，在 中， 是 的中点， ， ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）如图2，若点 为 上一点， ，且 ， ， 三点均在 上，连接 ， 与 相
切于点 ，
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①求 __________；
②求 的半径 ；
（3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线 ，交 于点 ，保留作图痕迹，不用写出作法
和理由．
【答案】（1）见解析 （2）①30°；②
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先证明四边形 为平行四边形，斜边上的中线得到 ，即可得
证；
（2）①根据菱形的性质，得到 ，等角对等边得到 ，三角形的外角得到
，切线得到 ，再根据角的和差关系进
行求解即可；②解直角三角形 ，进行求解即可；
（3）利用尺规作图作 ，即可．
【小问1详解】
解： ，
四边形 为平行四边形，
又 ，且 为 中点
，
平行四边形 为菱形．
【小问2详解】
① 四边形 为菱形．
，
，
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又 ，
，
，
切 于 ，
，
；
；
②设半径为 ，
，
，
， ，
；
解得： ；
【小问3详解】
由题意，作图如下：
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作平行线，熟练
掌握相关知识点，是解题的关键．
19. 综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，
安排通道数之间的关系．
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【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数 与安检时间 之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间 分钟时，已入场人数为__________，排队人数 与安检时间 的
函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优
化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
【答案】（1） ； ；（2）当 时， ；（3）最少开7条通道
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键．
（1）根据题意得安检时间为 分钟，则已入场人数为（用 表示） ， 与 的函数表达式为
；
（2）根据二次函数的性质可得出结论；
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（3）运用二次函数的性质解答即可
【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为 分钟，则已入场人数为（用 表示） ，若排队
人数为 ，则 与 的函数表达式为
（2）
当 时，
（3）设开了 条通道则：
对称轴为
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又 最多开通9条
为正整数，
最小值为7 ，
最少开7条通道；
20. 综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四
边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图 2，在 中，
， ， ．此时，四边形 是“双等四边形”， 是“伴随三
角形”．
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【问题解决】如图3，在四边形 中， ， ， ．求：
① 与 的位置关系为：__________：
② _____ ．（填“>”，“ ”或“ ”）
【方法应用】①如图4，将 绕点 逆时针旋转至 ，点 恰好落在 边上，求证：四边形
是双等四边形．
②如图 5，在等腰三角形 中， ， ， ，在平面内找一点 ，使四边形
是以 为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出 的长，若不存在，请说明理由．
【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；② 或 或
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识
是解答本题的关键．
问题解决：①根据等腰三角形的性质得出 ，从而可得 ；
②证明 得出 ，即 ，由 可得结论；
方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分 ， 或
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， 或 ， 三种情况讨论求解即可．
【详解】解：[问题解决]①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ ，
，
，
，
；
故答案为：①平行；②＝；
方法应用：① 为 旋转得到，
，
令 ，则 ， ，
，
由旋转得， ，
又 ，
∴ ，
，
，
，
四边形 为双等四边形；
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②作 于点 ，
， ，
， ，
设 ，则： ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
， ，
若 ， 时， ，
若 ， 时，
，
作 于点 ，
∴ ，
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，
，
若 ， 时，如图，
，
，
，
，
．
综上所述：满足条件时， 或 或 ．
21
