文档文本内容
教辅资源，关注公众号★全科AA+
平凉市 2025 年初中学业水平考试
数学试卷
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟所有试题均在答题卡上作答，否则无
效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 计算 （ ）
A. B. C. -3 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查有理数的加法运算．根据异号两数相加的法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对
值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，进行计算即可．
【详解】解： ；
故选 ：D．
2. 根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力数
据451420000000用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其转换为 的形式，其中
， 为整数．通过移动原数的小数点确定 和 的值．据此进行表示即可．
【详解】解：451420000000 ，
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
1教辅资源，关注公众号★全科AA+
【解析】
【分析】本题考查同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，利用同底数幂除法，合并同类项，
幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意，
B、 ，故此选项不符合题意，
C、 ，故此选项不符合题意，
D、 ，故此选项符合题意，
故选：D．
4. 如图1，三根木条a，b，c相交成 ， ，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动
至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，根据两直线平行同位角相等，求出旋转后 的度数，
然后用旋转前 的度数减去旋转后 的度数即可得到木条 旋转的度数．根据平行线的性质求出旋转
后 的度数是解题的关键．
【详解】解：如图2所示，
，
旋转后的 ，
要使木条 与 平行，木条 绕点 顺时针旋转的度数可以是 ．
故选：A．
2教辅资源，关注公众号★全科AA+
5. 关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实
数根；当 时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到 ，然后解关于 的不等式即可．
【详解】解：对于方程 ，
其根的判别式为： ，
∵方程有两个实数根，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故选：B．
6. 如图，一个多边形纸片的内角和为 ，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（
）
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为 ，根据内角和可解得 ，按图示的剪法剪
去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多1，即可解答，熟知多边形内角和公式是解题的关键．
3教辅资源，关注公众号★全科AA+
【详解】解：设原多边形的边数为 ，
则可得 ，
解得 ，
按图示的剪法剪去一个内角后，
新多边形的边数比原多边形的边数多1，为 ，
故选：A．
7. 如图，四边形ABCD内接于 ， ，连接BD，若 ，则 的度数为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质．
根据圆的内接四边形对角互补可得 的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即
可．
【详解】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
4教辅资源，关注公众号★全科AA+
∴ ，
∴ ，
故选： ．
8. 习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要
途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、
诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用
户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（ ）
A. 2022年，人均纸质书籍阅读量为5本
B. 2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C. 2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
.
D 2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，根据条形统计图逐项判断即可．从图形中读取有效信息是解题关键．
【详解】解：由统计图可知，2022年人均纸质书籍阅读量为5本，故A正确，不符合题意；
2023年人均电子书籍阅读量为11本，故B正确，不符合题意；
2024年人均电子书籍阅读量为12.3本，人均纸质书籍阅读量为5.3本，
，
年人均电子书籍阅读量不是人均纸质书籍阅读量的3倍，故C错误，符合题意；
2016年至2024年人均电子书籍阅读量是逐年上升的，故D正确，不符合题意．
故选：C．
9. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 ，喷头M向外喷水，水流在各个方向
上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）
5教辅资源，关注公众号★全科AA+
之间的关系式是 ，则水流喷出的最大高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数 的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键；
将抛物线化为顶点式即可解决问题.
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ；
故选：B.
10. 如图1，在等腰直角三角形 中， ，点D为边 的中点；动点P从点A出发，沿边
方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x， 的面积为y，y与x的函
数图象如图2所示，当点P运动到 的中点时， 的长为（ ）
.
A 2 B. 2.5 C. D. 4
【答案】A
6教辅资源，关注公众号★全科AA+
【解析】
【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形的性质，得到当点 P运动到
点C时， 的面积最大是解题的关键；
根据运动轨迹可得 的面积先增大再减小，可得当点P运动到点C时， 的面积最大为4，即
可求得 ，再利用三角形中位线定理即可解答．
【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边 方向匀速运动过程中， 的面积先增大
再减小，当点P运动到点C时， 的面积最大，根据函数图象可得此时 的面积为4，如图，
∵等腰直角三角形 ， ，点D为边 的中点，
∴ ，
∴ ，
当点P运动到 的中点时，
∵点D为边 的中点，
∴ ；
故选：A.
7教辅资源，关注公众号★全科AA+
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可．熟练掌握因式分解的方法，是解
题的关键．
【详解】解： ；
故答案为： ．
12. 方程 的解是 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
解得： ；
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解；
故答案为： ．
13. 已知点 ， 在反比例函数 的图象上，如果 ，那么 _______
（请写出一个符合条件的k值）．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点 ， 在反比例函数 的图
8教辅资源，关注公众号★全科AA+
象上，且 ，得到在同一象限内 随着 的增大而减小，进而得到图象过一，三象限，得到 ，
即可．
【详解】解：∵点 ， 在反比例函数 的图象上，
又∵ ， ，
∴在同一象限内 随着 的增大而减小，
∴双曲线过一，三象限，
∴ ，
∴ （答案不唯一）；
故答案为：1（答案不唯一）．
14. 如图，把平行四边形纸片 沿对角线 折叠，点B落在点 处， 与 相交于点E，此
时 恰为等边三角形，若 ，则 ______cm．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等
知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；
根据等边三角形的性质可得 ，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得
，结合三角形的外角性质可得 ，进而得到 ，再利用
30度角的直角三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
9教辅资源，关注公众号★全科AA+
∵ 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：12．
15. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入
国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状
相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线 ．已知大、小风筝的对应边之比为 ，如果
小风筝两条对角线的长分别为 和 ，那么大风筝两条对角线长的和为______ ．
【答案】195
【解析】
【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为 ，即可解决问题．熟练
掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解： 小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为 ，
大风筝和小风筝相似，相似比为 ，
大风筝两条对角线长 小风筝两条对角线长 ，
大风筝两条对角线的长分别为 和 ，
大风筝两条对角线长的和为 ，
10教辅资源，关注公众号★全科AA+
故答案为：195．
16. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与
繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长
为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的
正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形．
【答案】31
【解析】
【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有 个正方
形，第3个图形有 个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可．
【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，
第2个图形有 个正方形，
第3个图形有 个正方形，
∴第5个图形中共有 个正方形，
故答案为：31．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可．
11教辅资源，关注公众号★全科AA+
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解不等式组，分别求出每一个不等式组的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的
解集．
【详解】解： ，
由①，得： ；
由②，得： ；
∴不等式组的解集为： ．
19. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法运算即可．熟练
掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式
．
12教辅资源，关注公众号★全科AA+
20. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉
代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑
技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，
用 表示，点O是 所在圆的圆心， 是月洞门的横跨， 是月洞门的拱高现在我们也可以用
尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为 ，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段 的垂直平分线 ，垂足为 ；
②在射线 上截取 ；
③连接 ，作线段 的垂直平分线交 于点O；
④以点O为圆心， 的长为半径作 ．
则 就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键．
根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可．
【详解】解：由题意，作图如下，即为所求：
13教辅资源，关注公众号★全科AA+
21. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘
指针固定转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色若指针落在区域分界线上，则重新转动
转盘．
（1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为______；
（2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列
表 的方法求指针所落区域颜色不同的概率．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查几何概率，利用列表法求概率，正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键；
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为 ；
故答案为： ；
14教辅资源，关注公众号★全科AA+
【小问2详解】
列表如下：
第二
次 红 白 蓝
第一次
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，
．
22. 如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明
嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、
悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低，
为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动如图2是他们
测量长城第一墩高度 的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都
在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得 ， ，其中
（测角仪的高度）， ，求长城第一墩的高度 （结果精确到 ）（参考数据：
， ， ， ， ，
）
【答案】长城第一墩的高度 为
【解析】
15教辅资源，关注公众号★全科AA+
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．设 ，分别
解 ，求出 的长，再根据线段的和差关系列出方程求出 的值，再利用
，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ， ，
设 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
答：长城第一墩的高度 为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
23. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：
环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
16教辅资源，关注公众号★全科AA+
队
平均数 中位数 众数 方差
员
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值： ______， ______；
（2）______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以，你认为他说的对吗？请说
明理由（写出一条合理的理由即可）
【答案】（1）
（2）乙 （3）不对，理由见解析（答案不唯一，合理即可）
【解析】
【分析】本题考查求中位数，众数，利用方差判断稳定形，利用方差作决策，熟练掌握相关数据的计算方
法和表示意义，是解题的关键：
（1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求
出 的值即可；
（2）根据方差判断稳定性即可；
（3）根据方差作决策即可．
【小问1详解】
解：乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为： 和 ，
∴ ；
甲中数据出现次数最多的是 ，故 ；
故答案为： ；
【
小问2详解】
由表格可知：甲的方差大于乙的方差，
∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定；
故答案为：乙；
【小问3详解】
17教辅资源，关注公众号★全科AA+
小瑜说的不对，理由如下：
两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛．
24. 如图，一次函数 的图象交x轴于点A，交反比例函数 的图象于点
，将一次函数 的图象向下平移 个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
（1）求反比例函数 的表达式；
（2）当 的面积为3时，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移
问题等知识点，熟记相关结论即可正确求解；
（1）由题意得：点 在一次函数 的图象上，可求出 ，即可求解；
（2）对于一次函数 ，令 求出 ；一次函数 的图象向下平移 个单
位长度后的解析式为： ；求出 ，即可求解；
【小问1详解】
解：由题意得：点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
18教辅资源，关注公众号★全科AA+
∴ ；
∵ 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：对于一次函数 ，令 ，则 ；
∴ ；
一次函数 的图象向下平移 个单位长度后的解析式为： ；
对于一次函数 ，令 ，则 ；
∴ ；
∴
∵ ， ，
∴ ；
解得： ．
25. 如图，四边形 的顶点A，B，C在 上， ，直径 与弦 相交于点F，
点D是 延长线上的一点， ．
19教辅资源，关注公众号★全科AA+
（1）求证： 是 的切线；
（2）若四边形 是平行四边形， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角
定理，是解题的关键．
（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，推出 ，根据等边对等角，推出
， 根 据 直 径 得 到 ， 进 而 得 到 ， 继 而 得 到
，即 ，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到 ，根据 ，得到 ，
求出 的长，证明 是菱形，得到 为等边三角形，进而得到 ，解
，求出 的长即可．
【小问1详解】
证明：如图1，连接 ，
， ，
．
20教辅资源，关注公众号★全科AA+
，
．
是 的直径，
，即 ．
，
，即 ．
为 的半径，
是 的切线．
【小问2详解】
解：如图2，
四边形 是平行四边形，
．
又 ，
，
．
，
是菱形，
21教辅资源，关注公众号★全科AA+
．
为等边三角形，
∴ ．
在 中， ．
26. 四边形 是正方形，点E是边 上一动点（点D除外）， 是直角三角形， ，
点G在 的延长线上．
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边 上时，写出 和 的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形 内部时， 的延长线与B的延长线交于点
P，如果 ，写出 和 的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，写出 和 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ，理由见解析
（2） ，理由见解析
（3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，证明 ，即可得出结论；
（2）根据正方形的性质，证明 ，即可得出结论；
（3）作 ，得到 ，平行线分线段成比例得到 ，进而得到 为 的中
22教辅资源，关注公众号★全科AA+
位线，得到 ，根据 ，得到 ，进而得到 ，勾股定理得到
，再根据 ，即可得出结论．
【小问1详解】
解： ，理由如下：
∵正方形 ，
∴ ，
∵ 是直角三角形， ，
∴ ，
当点E与点A重合时，则： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
∵正方形 ，
∴ ，
∵点G在 的延长线上， 的延长线与 的延长线交于点P，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
23教辅资源，关注公众号★全科AA+
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
，理由如下：
由（2）可知： ，
∴ ， ，
作 于点 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
24教辅资源，关注公众号★全科AA+
∴ ，
在 中，由勾股定理，得： ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，
勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键．
27. 如图1，抛物线 分别与x轴，y轴交于A， 两点，M为 的中
点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 ，过点M作 的垂线，交 于点C，交抛物线于点D，连接 ，求 的面积；
（3）点E为线段 上一动点（点A除外），将线段 绕点O顺时针旋转 得到 ．
①当 时，请在图2中画出线段 后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点， ，连接 ，当点E运动时，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）① ，在抛物线上②
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
25教辅资源，关注公众号★全科AA+
（2）求出点 的坐标，进而得到点 的坐标，求出直线 的解析式，进而求出点 的坐标，求出点
的坐标，根据 的面积 进行求解即可；
（3）①根据要求作图即可，连接 ，作 于点 ，证明 ，得到
， ，进而得到 为等腰直角三角形，求出 点坐标，将
点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点 是否在抛物线上即可；
②连接 并延长，交 轴于点 ，连接 ，作 于点 ，斜边上的中线得到
，根据 ，得到当 三点共线时， 最小，同①可知，
，得到点 在射线 上运动，进而得到当 时，即 与点 重合时，
最小，此时 最小为 ，易得 为等腰直角三角形，求出 的长，进而求出
的长，易得 为等腰直角三角形，求出 的长，根据 最小为 ，计算即可．
【小问1详解】
解：把 ，代入 ，得：
，
解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
当 时，则： ，
26教辅资源，关注公众号★全科AA+
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为： ，把 ，代入，得： ，
∴ ，
∵点M作 的垂线，交 于点C，交抛物线于点D，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的面积 ；
【小问3详解】
①由题意，作图如下：
连接 ，作 于点 ，
由（2）可知： ，
∴ ，
∵旋转，
27教辅资源，关注公众号★全科AA+
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
对于 ，当 时， ，
∴点 在抛物线上；
②连接 并延长，交 轴于点 ，连接 ，作 于点 ，如图，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
28教辅资源，关注公众号★全科AA+
∴当 三点共线时， 最小，
同①可得， ，
∴点 在射线 上运动，
∴当 时，即 与点 重合时， 最小，此时 最小为 ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定
和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行
解题，确定动点的位置，是解题的关键．
29
