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数学试题卷
说明：
1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟．
2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应
位置．错选、多选或未选均不得分．
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. 0 B. C. 3.14 D.
2. 在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ）
晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精
熔点（单位：
）
A. 固态氢 B. 固态氧 C. 固态氮 D. 固态酒精
3. 下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调
查，下列抽样方式较合适的是（ ）
A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校
C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校
5. 如图， 是面积为1的等边三角形，分别取 的中点得到 ；再分别取 ，
， 的中点得到 ；…依此类推，则 的面积为（ ）
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A. B. C. D.
6. 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的
跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 化简： ________
8. 因式分解： ________
9. 如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为________度．
10. 不等式 的解集为________
11. 小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元
电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽
车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________
12. 如图，在矩形 纸片中，沿着点 折叠纸片并展开， 的对应边为 ，折痕与边 交于点
．当 与 ， 中任意一边的夹角为 时， 的度数可以是_________
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三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算： ；
（2）如图，已知点C在 上， ， ．求证： ．
14. 化简：
15. 如图，在 的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．
（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出 的中点；
（2）在图2中作出 的重心．
16. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写
有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒
打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着
写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．
17. 如图，点A，B，C在 上， ，以 ， 为边作 ．
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（1）当 经过圆心O时（如图1），求 的度数；
（2）当 与 相切时（如图2），若 的半径为6，求 的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接 ，当 时，求点
C的坐标及直线l平移的距离．
19. 图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图 2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定
的
玻璃隔板，BC处是门框，测得 ， ，MN处是一扇
推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门
与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得
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（1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
① 的最小值为________度，最大值为________度；
② 面积的变化情况是（ ）
A．越来越大 B．越来越小 C．先增大后减小
（2）当 时，求 的面积．
20. 系文物考古研究院用 复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头
酒，需要的原材料与出酒率（ ）如下表：
类别 原材料 出酒率
粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏
粮食酒 30%
水
芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20%
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 36公斤，
且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
（2）受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比
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约为 ，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
的
21. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同 配比会带来不同的口味．为了解不同
配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡 30毫升和牛奶150
毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从
300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高
对应甜度越高或整体口感越好）．
数据处理
根据收集到 的数据，绘制了下列统计图表．
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数据应用
（1）在表1中， ________， ________．
请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎．
的
（2）结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C 人数．
（3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响．
（4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为 ，现按照这个占比计算三种方案的综
合得分，得分大于 分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案．
22. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量 时，其对应的函数值 ，那么我们称该函数为
“不动点函数”，点 为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数 中，当 时， ，
则我们称函数 为“不动点函数”，点 为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该
定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数 进行探究后，得出下列结论：
① 是“不动点函数”，且只有一个不动点；
② 是“不动点函数”，且不动点是 ；
③ 是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数 是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件；
探究2：
（3）对二次函数 进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线
的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
探究3：
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（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出 件，获得利润y元．
请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函
数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
六、解答题（本大题共12分）
23. 综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展
开探究．
特例研究
在
正方形 中， 相交于点O．
（1）如图 1， 可以看成是 绕点A逆时针旋转并放大 k倍得到，此时旋转角的度数为
________，k的值为________；
（2）如图2，将 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到 （点O，B的对应点分别为
点E，F），使得点E落在 上，点F落在 上，求 的值
类比探究
（3）如图3，在菱形 中， ，O是 的垂直平分线与 的交点，将 绕点A
逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到 （点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在
上，点F落在 上．猜想 的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中 ，其余条件不变，探究 之间的数量关系（用含β的式子表示）．
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