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黑龙江省龙东地区 2025 年初中学业水平考试
数学试题
考生注意：
1．考试时间120分钟；
本考场试卷序号（由监考填写）
2．全卷共三道大题，总分120分；
3．请将答案填写在答题卡的指定位置．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘
法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可．
【详解】A． ，故选项A计算错误，不合题意；
B． 与 是不同类项，无法合并为 ，故选项B计算错误，不合题意；
C． ，选项运算正确，符合题意；
D． ，故选项D计算错误，不合题意；
故选C．
2. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对
称图形的是（ ）
A B.
.
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C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此
题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转 ，能够与自身重合的图形；轴对称
图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可．
【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3. 2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎
“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：套）分别为：
， ， ， ， ， ，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 136，136 B. 138，136 C. 136，129 D. 136，138
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到
大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如
果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可．
【详解】解：数据中136出现2次，其他数各出现1次，故众数为136．
将数据从小到大排序：129，136，136，140，154，180．
数据个数为6（偶数），中位数为第3、4个数的平均值，即 ．
综上，众数136，中位数138，
故选D．
4. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所
需小正方体的个数最少是（ ）
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A. 7 B. 8 C. 6 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现
了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得
到答案．
根据三视图的知识，俯视图是由5个小正方形组成，而主视图是由两层小正方形组成，故这个几何体的底
层最少有5个小正方体，第2层最少有2个小正方体．
【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有 个小正方体，
第二层最少有2个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体最少有 个．
如图：（其中一种情形）
故选：A．
5. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能
源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长
率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为 8000辆，三月份增至
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12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的 倍，故三
月份销量为 ，据此列方程即可．
【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为 ，三月份销量为二月份的 倍，即
．
根据题意，三月份销量为 辆，可得方程为： ．
故选B．
6. 已知关于 的分式方程 解为负数，则 的值为（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于 的表达式，再结合解为负
数及分母不为零的条件确定 的范围．
【详解】解： ，
得 ，
得 ，
解得： ，
根据题意，解 ，
即 ，
解得： ，
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分母 ，
即 ，
即 ，
解得： ，
，
故选：A．
7. 为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，
篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A. 6 B. 7 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出
方程的解，注意篮球和足球个数都是非负整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程
，找出满足x、y为非负整数的解的组数．
【详解】解：设购买足球x个，篮球y个，
根据题意得： ，即 ，
则 ，
∵ 都是非负整数，
解得： 或 或 或 或 或 ，
∴共有6种购买方案，
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线 上，且点A在点B的右侧，点A的横
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坐标为 ， ，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元
二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键；
过A作 轴于M，过B作 轴于D，直线 与 交于点N， 由等腰三角形的判定与性
质得出 ，证出 由 证明 ，得出 ，
，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】解：过A作 轴于M，过B作 轴于D，直线 与 交于点N，如图所示：
则 ，
∴四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
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， ，
，
，
把 代入反比例函数的解析式得 ，
，
双曲线 图象在第二象限，
，
， ，
， ， ，
，
， ，
，
，
双曲线 经过B，则 ,
，
解得： （舍）， ，
故选D．
9. 如图，在 中， ，点 、 分别在边 和 上，且 ， ，连接
，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，则 的长度为（ ）
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A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型
构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点 作 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，可证 ，可得
， ，再根据平行线的性质得 ，即得 ，最
后根据三角形中位线的性质解答即可求解，
【详解】解：如图，过点 作 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
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∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ 是 中位线，
∴ ，
故选：A．
10. 如图，在正方形 中，点 在 边上（不与点 B、C重合），点 E在 的延长线上，且
，连接 、 、 ，过点 作 于点 ，分别交 、 、 于点 、 、
．则下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，
则 ；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③⑤ B. ①②④⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
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【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解
题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似．
容 易 证 明 ， 从 而 可 得 ， 进 而 可 得
， 从 而 可 得 ② 正 确 ， 过 点 作 ， 交 于 点 ， 构 造
，结合四边形 是平行四边形可得 ，可得①正确，再利用
角关系证明 ， ，可得 ，从而
得出结论③正确，过点 作 ，设 ，由 可得 ，解三角形求出
， ，从而求出 ，故结论④正确，再判定 不一定是
等腰三角形，得出等腰三角形有 、 、 、 ，共四个，故结论⑤错误．
【详解】解：如图1，过点 作 ，交 于点 ，
∵在正方形 中，
∴ ， ， ， ，
∴ 、 是等腰三角形，
又∵ ， ，
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∴ ，
∴ ， ， ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，故结论②正确；
∴ ，即 是等腰三角形，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
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∴ ，故结论①正确，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故结论③正确，
过点 作 ，如图2；
设 ，由 可得 ， ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，故结论④正确，
∵ ， ，
∴ 不一定等于 ， ，
∴ 不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有 、 、 、 ，共四个，故结论⑤错误，
综上所述：正确结论有①②③④．
故选C．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次
刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为_______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：157亿 ，
故答案为： ．
12. 在函数 中，自变量x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可
取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，
被开方数非负．
根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得 ，
解得： ，
为
故答案 ： ．
13. 如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边
形 为菱形．
【答案】 (或 ，答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可．
【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加： ；
根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加： ；
故答案为： (或 ，答案不唯一）．
14. 如图，随机闭合开关 中的两个，能让两盏灯泡 同时发光的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
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【详解】解：由题意，列表如下：
， ，
， ，
， ，
共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡 同时发光的结果有2种，
∴ ．
15. 关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参
的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于
a的不等式组是解题的关键．
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴ ，
故答案为： ．
16. 如图， 、 是圆O的切线，A、B为切点， 是直径， ， _______
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【答案】 ##70度
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据 是切线，得到 ，
从而 ，根据切线长定理得到 ，从而 ，进
而由三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵ 是切线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 、 是圆O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
17. 若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求圆锥 的侧面积，根据勾股定理求出母线长，再根据侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴圆锥的母线长为 ，
∴圆锥侧面展开图的面积为 ；
故答案为： ．
18. 如图，已知 中， ， ， ，点M是 内部一点，连接 、
、 ，若 ，则 的最小值为_______．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出 .
在 上取点 ，使 ，构造出 ，得 ，再根据两点之间线段最短得出
即当 在 上时， 取最小值.
【详解】解：在 上取点 ，使 ，
又∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即当 在 上时， 取最小值，为 .
故答案为 .
19. 如图，在矩形 中， ， ，点E是边 的中点，点F是对角线 上一动
点，作点C关于直线 的对称点P，若 ，则 的长为_______．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，根
据题意画出示意图，连接 ，交直线 于点G，延长 交 于点H，当点P在 上方时，由勾
股定理求出 ，进而得到 ，由点C关于直线 的对称点P，得到
， ，求出 ，进而得到 ，再
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求出 ，证明 是等腰三角形，在 中，解直角三
角形求出 ，进而求解；当点P在 下方时，先求出 ， ，结合对称的性质
易证 是等边三角形，易求 ，解直角三角形求出 ，由
即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，交直线 于点G，延长 交 于点H，
当点P在 上方时，
∵在矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E是边 的中点，
∴ ，
∵点C关于直线 的对称点P，
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∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ；
如图，当点P在 下方时，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
由对称的性质得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交y轴于点 ．四边形 ，
， ， ， 都是正方形，顶点 ， ， ， ， 都在 轴上，顶点 ，
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， ， ， 都在直线 上，连接 ， ， ， ， 分别交 ， ，
， ， 于点 ， ， ， ， ．设 ， ， ， ，
…的面积分别为 ， ， ， ， ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的解析式可得点 的坐标是 ，设点 的坐标是 ，根据正方形
的四条边都相等可得 ，从而求出正方形 的边长为 ，根据正方形的对边相互平行，
可知 ，根据相似三角形的性质求出 ，从而可得 ，利用三角形的面积
公式可以求出 ，同理可以求出 ，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相
似，可证 ，且相似比为 ，根据规律可得 ．
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【详解】解：当 时， ，
点 的坐标是 ，
点 在直线 上，
设点 的坐标是 ，
则点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
解得： ，
的坐标是 ，
正方形 的边长为 ，
，
，
，
，
，
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，
解得： ，
，
；
设点 的坐标为 ，
则点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
解得： ，
，
的坐标是 ，
，
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，
，
，
，
，
解得： ，
，
，
的坐标是 ， 的坐标是 ，
，
的坐标是 ，点 的坐标是 ，
，
， ，
，
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又 四边形 和 均为正方形，
轴， 轴，
，
，
，且相似比为 ，
，
当 时， ，
同理可证 ，且相似比 为，
则 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律
与探索，解决本题的关键是分别计算出 和 的面积，根据这两个三角形的形状与面积之
间的关系找出规律，根据规律得出结果．
三、解答题（满分60分）
21. 先化简，再求值： ，其中 ．
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【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握运算法则是
解题的关键．
先计算分式的乘法，再计算加法，然后代入特殊角的三角函数值求出 ，再代入求值即可．
【详解】解：
∵
∴原式 ．
22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三
个顶点坐标分别为 ．
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（1）将 向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到 ，画出两次平移后的
，并写出点 的坐标；
（2）画出 绕原点O逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点 旋转到点 的过程中，所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用
是解题的关键．
（1）分别描出平移后的点 ，再顺次连接即可得到 ，根据点的平移方式即可求解 ；
（2）将点 分别绕原点O逆时针旋转 得到点 ，再顺次连接即可 ，即可写出
点 的坐标；
（3）先由勾股定理求出 ，再由弧长公式求解即可．
【小问1详解】
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解：如图， 即为所求：
∵ ，
∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 ，即 ；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求， ；
【小问3详解】
解： ，
∴点 旋转到点 的过程中，所经过的路径长为
23. 如图，抛物线 交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为
．
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（1）求b与c的值．
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使 的面积与 的面积相等．若存在，请直接写出
点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）存在， 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰
三角形的性质等知识点．
（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解 ；
（2）先确定 为等腰直角三角形，过点 作 轴的垂线，在 轴上方的垂线上截取 ，
连接 与 交于点 ，则 ，通过三线合一得到 ，由三角形面积公式可得
过点 作 平行线与抛物线交点即为点 ，然后求出直线 解析式，再与抛物线解析式联立求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 的顶点坐标为 ，
∴ ，
∴ ， ；
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
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对于抛物线 ，
当 ， ，
解得： ，
当 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
过点 作 轴的垂线，在 轴上方的垂线上截取 ，连接 与 交于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 平行线与抛物线交点即为点 ，
∵ ， ，
∴ ，
设直线 ，
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则 ，
∴ ，
∴直线 ，
∵ ∥ ，
∴设直线 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴直线 ，
与抛物线解析联立得： ，
整理得：
解得： 或 ，
∴点P的横坐标为 或 ．
24. 2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间
（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完
整的统计图．
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请根据相关信息，解答下列问题：
（1） _______．扇形统计图中 _______．并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为 所对应扇形圆心角的度数；
（3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是
的学生有多少人？
【答案】（1）200，30，图见解析
（2）参加公益活动时间为 所对应扇形圆心角的度数为
（3）估计育华中学八年级参加公益活动的时间是 的学生有240人
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）用 的人数除以所占的比例，求出 的中，再用 的人数除以总数，求出 的值，求出 的人数，
补全条形图即可；
（2）用360度乘以 的人数所占的比例，进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【小问1详解】
解： ，
，
∴ ；
的人数为： ，补全条形图如图：
【小问2详解】
；
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答：参加公益活动时间为 所对应扇形圆心角的度数为 ；
【小问3详解】
（人）；
答：估计育华中学八年级参加公益活动的时间是 的学生有240人．
25. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；
一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿
车比货车晚 到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离 y（单位：
）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是_______，b的值是_______；
（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位： ）与行驶时间x（单位：h）
之间的函数解析式；
（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40 ．
【答案】（1）300，2
（2）
（3） 或 或
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题
的关键：
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（1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为 ，进而求出 的值，求出轿车的速度，求出轿车从
开往 地所需的时间，进而求出 的值；
（2）根据轿车比货车晚 到达终点，求出 点坐标，进而求出 点坐标，待定系数法求出函数解析式
即可；
（3）分轿车到达 地之前，轿车到达 地，货车离 地 ，以及货车到达 地时，三种情况进行讨论
求解即可．
【小问1详解】
解：由图象可知，B、C两地的距离为 ，A、B两地的距离为 ，
∴ ，
∵轿车的速度为： ，
∴轿车从 开往 地所需的时间为： ，
∴ ；
故答案为：300，2；
【小问2详解】
∵轿车比货车晚 到达终点，
∴货车到达 地所用时间为： ，
∴ ，
∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地，
∴ ，
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设 ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
【小问3详解】
由（2）可知，货车的速度为： ，
∴当轿车到达 地之前， ，解得： ；
当轿车到达 地，货车离 地 时， ，则： 符合题意；
当货车到达 地时，此时轿车离点 的距离为： ，恰好满足题意，此时 ；
综上：轿车出发 或 或 时与货车相距40 ．
26. 已知：如图， 中， ，设 ，点D是直线 上一动点，连接 ，将线段
绕点A顺时针旋转α至 ，连接 、 ，过点E作 ，交直线 于点F．探究如下：
（1）若 时，
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如图①，点D在 延长线上时，易证： ；
如图②，点D在 延长线上时，试探究线段 、 、 之间存在怎样的数量关系，请写出结论，
并说明理由．
（2）若 ，点D在 延长线上时，如图③，猜想线段 、 、 之间又有怎样的数量关系？
请直接写出结论，不需要证明．
【答案】（1）①证明见解析；② ，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用
相关知识是解题的关键．
（1）①由 ， ，得到 是等边三角形，从而∴
，进而推出 ，因此可证明 ，得
到 ， ，求得 ，因此 ，由
即可得到结论 ；②由 ， ，
得到 是等边三角形，从而 ，进而推出 ，因此可证明
，得到 ， ，求得
，因此 ，由 即可得到结论
；
（2）同（1）思路即可求解．
【小问1详解】
①证明：∵ ， ，
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∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
②解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
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∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
即 ，
∴在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
27. 2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和
“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现
优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”
共需380元．
（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方
案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【答案】（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元
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（2）方案一：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；方案二：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
方案三：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
（3）方案一需要的资金最少，最少资金是2160元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正
确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共
需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买“蜀宝” 个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可；
（3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可．
【小问1详解】
解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元，由题意，得：
，解得： ；
答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元；
【小问2详解】
解：设购买“蜀宝” 个，则：购买“锦仔” 个；
∴ ，
解得： ，
∴ ，
；
∴共有3种方案：
方案一：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
方案二：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
方案三：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
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【小问3详解】
解：由题意，得： ，
∴ 随着 的增大而增大，
∴当 时，即方案一需要的资金最少，最少资金是 （元）；
答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元．
28. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在 轴上， ， 的长是一元二次
方程 的根，过点 作 交 于点 ，交对角线 于点 ．动点 从点 以每
秒 个单位长度的速度沿 向终点 运动，动点 从点 以每秒 个单位长度的速度沿 向终点 运
动， 、 两点同时出发，设运动时间为 秒．
（1）求点 坐标；
（2）连接 、 ，求 的面积S关于运动时间t的函数解析式；
（3）当 时，在对角线 上是否存在一点 ，使得 是含 角的等腰三角形．若存在，请直
接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点 的坐标为 ；
（2） 的面积S关于运动时间t的函数解析式为 ；
（3）当 时，在对角线 上存在一点 ，使得 是含 角的等腰三角形， ，
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， ．
【解析】
【分析】（1）解方程得出 的长度，由菱形的性质与锐角函数综合，可得 和 的长度，即可得点
的坐标；
（2）分类讨论，分别由运动时间表示出线段长度，代入三角形的面积公式，化简整理即可；
（3）根据运动时间，确定点 和点 的坐标，分类讨论，根据等腰三角形的性质即可得点 的坐标．
【小问1详解】
解：由 解得， ， ，
∵ 的长是一元二次方程 的根，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ 平分 ，
∴ ，
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∴ ，
∴
答：点 的坐标为 ．
【小问2详解】
解：根据题意可知， ， ，
如图，作 于点 ，则 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
作 轴于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 的面积 ，
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当 时， ，
∴ 的面积 ，
综上所述， ，
答： 的面积 关于运动时间t的函数解析式为 ．
【小问3详解】
解：如图，当 时， ，点 和点 重合， ， ，
，
假设在对角线 上存在一点 ，使得 是含 角的等腰三角形，
当 为顶角时，点 与点 重合， ，
当 为顶角时，点 与点 重合， ，
当 为顶角时， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
答：当 时，在对角线 上存在一点 ，使得 是含 角的等腰三角形， ，
， ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，锐角三角函数，解直角三角形，等腰三角形，解题的关
键是正确作出辅助线，熟练掌握分类讨论的思想方法．
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