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黑龙江省龙东地区 2025 年初中学业水平考试
数学试题
考生注意：
1．考试时间120分钟；
本考场试卷序号（由监考填写）
2．全卷共三道大题，总分120分；
3．请将答案填写在答题卡的指定位置．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对
称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎
“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：套）分别为：
， ， ， ， ， ，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 136，136 B. 138，136 C. 136，129 D. 136，138
4. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所
需小正方体的个数最少是（ ）
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.
A 7 B. 8 C. 6 D. 5
5. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能
源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长
率为x，则可列方程为（ ）
.
A B.
C. D.
6. 已知关于 的分式方程 解为负数，则 的值为（ ）
A. B. C. 且 D. 且
7. 为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，
篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A. 6 B. 7 C. 4 D. 5
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线 上，且点A在点B的右侧，点A的横
坐标为 ， ，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在 中， ，点 、 分别在边 和 上，且 ， ，连接
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，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，则 的长度为（ ）
A. B. C. 2 D.
10. 如图，在正方形 中，点 在 边上（不与点 B、C重合），点 E在 的延长线上，且
，连接 、 、 ，过点 作 于点 ，分别交 、 、 于点 、 、
．则下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，
则 ；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（ ）
.
A ①②③⑤ B. ①②④⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次
刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为_______
12. 在函数 中，自变量x的取值范围是_______．
13. 如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边
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形 为菱形．
14. 如图，随机闭合开关 中的两个，能让两盏灯泡 同时发光的概率为_______．
15. 关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
16. 如图， 、 是圆O的切线，A、B为切点， 是直径， ， _______
17. 若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为_______．
18. 如图，已知 中， ， ， ，点M是 内部一点，连接 、
、 ，若 ，则 的最小值为_______．
19. 如图，在矩形 中， ， ，点E是边 的中点，点F是对角线 上一动
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点，作点C关于直线 的对称点P，若 ，则 的长为_______．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交y轴于点 ．四边形 ，
， ， ， 都是正方形，顶点 ， ， ， ， 都在 轴上，顶点 ，
， ， ， 都在直线 上，连接 ， ， ， ， 分别交 ， ，
， ， 于点 ， ， ， ， ．设 ， ， ， ，
的
… 面积分别为 ， ， ， ， ，则 _______．
三、解答题（满分60分）
21. 先化简，再求值： ，其中 ．
22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三
个顶点坐标分别为 ．
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（1）将 向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到 ，画出两次平移后的
，并写出点 的坐标；
（2）画出 绕原点O逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点 旋转到点 的过程中，所经过的路径长（结果保留π）．
23. 如图，抛物线 交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为
．
（1）求b与c的值．
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使 的面积与 的面积相等．若存在，请直接写出
点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
24. 2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间
（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完
整的统计图．
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请根据相关信息，解答下列问题：
（1） _______．扇形统计图中 _______．并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为 所对应扇形圆心角的度数；
（3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是
的学生有多少人？
25. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；
一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿
车比货车晚 到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离 y（单位：
）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
的
（1）图中a 值是_______，b的值是_______；
（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位： ）与行驶时间x（单位：h）
之间的函数解析式；
（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40 ．
26. 已知：如图， 中， ，设 ，点D是直线 上一动点，连接 ，将线段
绕点A顺时针旋转α至 ，连接 、 ，过点E作 ，交直线 于点F．探究如下：
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（1）若 时，
如图①，点D在 延长线上时，易证： ；
如图②，点D在 延长线上时，试探究线段 、 、 之间存在怎样的数量关系，请写出结论，
并说明理由．
（2）若 ，点D在 延长线上时，如图③，猜想线段 、 、 之间又有怎样的数量关系？
请直接写出结论，不需要证明．
27. 2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和
“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现
优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”
共需380元．
（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方
案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
28. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在 轴上， ， 的长是一元二次
方程 的根，过点 作 交 于点 ，交对角线 于点 ．动点 从点 以每
秒 个单位长度的速度沿 向终点 运动，动点 从点 以每秒 个单位长度的速度沿 向终点 运
动， 、 两点同时出发，设运动时间为 秒．
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（1）求点 坐标；
（2）连接 、 ，求 的面积S关于运动时间t的函数解析式；
（3）当 时，在对角线 上是否存在一点 ，使得 是含 角的等腰三角形．若存在，请直
接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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