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专项06 概率与统计
参考答案
题型01 统计图表与概率的综合
析典例
· 建模型
1．【思路分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出
；
（2）利用频率分布直方图求出成绩为
，
，
的学生人数，再根据分层抽样的概
念求解即可；
（3）先利用频率分布直方图求出
和
的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即
可.
【规范答题】(1)由频率分布直方图可得
，
解得
.
（2）由频率分布直方图知，样本考核成绩在
，
，
的三组学生有
（人），
其中样本考核成绩在
的市民人数为
，
用分层抽样的方法应从考核成绩在
的市民中抽取
（人）．
（3）由频率分布直方图知，成绩在
的学生人数为
，
成绩在
的市民人数为
，
1
所以总平均数
，
总方差
.
2．【思路分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可求得a 值，分析可得选报物理
方向的最低分
在
内，根据x 值右侧面积和为
，即可求得答案.
（2）求出成绩在区间
和
的人数，分析可得X 的可能取值，求出各个取值对应的概率，
列出分布列，求出期望即可.
【规范答题】（1）由题意
，解得
，
成绩在
的频率为0.1，在
的频率为0.25，在
的频率为0.3，
因为
，
所以选报物理方向的最低分
在
内，则
，
解得
，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72 分．
（2）由题可知，成绩在区间
的频数为
，
成绩在区间
的频数为
，
利用分层抽样，从中抽取7 份，成绩在
的频数为
，
成绩在
的频数为
，
再从这7 份答卷中随机抽取3 份，
的所有可能取值为
，
，
故
的分布列为：
0
1
2
2
所以
的数学期望为：
．
破类题
· 提能力
1．【答案】(1)74.5
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得
，解得
所以平均数等于
（2）由题意，
内有8 人，
内有2 人，
所以被选中进行优秀答卷展示的这2 人的测试成绩至少1 个在
内的概率为
.
（3）设第二组、第四组的平均数与方差分别为
，
由题意，第二组、第四组分别有10 人和8 人，
所以成绩在第二组、第四组的平均数
成绩在第二组、第四组的方差
故估计成绩在第二组、第四组的方差是
.
3
2．【答案】(1)
，
(2)
的分布列为：
0
1
2
3
4
.
【详解】（1）由
.
所以
.
（2）以频率估计概率，正确识别图象不少于50 个的概率为
.
表示这4 次试验中正确识别图象不少于50 个的次数，则
.
所以
，
,
，
，
.
所以
的分布列为：
0
1
2
3
4
所以
.
题型02 随机变量的分布列及数学期望
4
析典例
· 建模型
1．【思路分析】（1）利用组合数求出样本空间中样本点的总数和随机事件中含有的样本点的个数，根据
古典概型的概率公式可求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率.
（2）先确定
的可能的取值，再根据超几何分布可求
的分布列，最后根据期望公式可求
.
【规范答题】（1）设
为“抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元”，
则
.
（2）由题设有
可取
，
又
，
，
，
故
的分布列为：
故
.
2．【思路分析】（1）根据古典概型概率公式直接计算可得结果；
（2）利用二项分布直接计算即可得出分布列和期望；
（3）分别计算出参加一次游戏Ⅰ和游戏Ⅱ对应的奖金期望值，可知应选择游戏Ⅱ.
【规范答题】（1）由题意知，游戏Ⅰ第
局获胜的概率
.
（2）易知
,
游戏Ⅰ第局获胜的概率为
，第
局获胜的概率为
，则第局和第
局均未获胜的概率为
5
，
因此可知
,
随机变量
的分布列为
0
1
2
3
随机变量
的期望
或
.
（3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下：
记
分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额，
游戏Ⅰ第局获胜的概率为
，第
局获胜的概率为
，第局获胜的概率为
，
,
游戏Ⅱ第局获胜的概率为
，第
局获胜的概率为
，第局获胜的概率为
，
,
从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ.
破类题
· 提能力
1．【答案】(1)分布列见解析，
6
(2)10 道
【详解】（1）X 可能的取值为0，1，2，3.
有
；
；
；
.
可得X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
.
（2）设小王同学至少抢答n 道题，这n 道题中答对的题数为Y，有
.
有
，可得
，故小王同学至少要抢答10 道题.
2．【答案】(1)
(2)
(3)100 元，
元，方案②更好
【详解】（1）设事件
为“描金成功”，事件
为“罩漆成功”，事件
为“抛光成功”，
则
，且
相互独立.
所以该工艺师制作的一件漆器为精品的概率为
.
（2）由题可知该工艺师制作一件漆器为精品的概率
，为废品的概率
，
7
为普品的概率
.
由题可知
，
故
.
因为
，所以
，
解得
.
（3）当采用方案①时，设一件漆器的利润为
元，则
的所有可能取值为
，
的分布列
为
-25
80
300
所以
（元）.
当采用方案②时，设一件漆器的利润为
元，则
的所有可能取值为
，
的分布列为
-25
75
320
所以
（元）.
因为
，所以对该工艺师来说，方案②更好.
题型03 正态分布
析典例
· 建模型
1．【思路分析】（1）首先根据优品的范围，再结合正态分布的数据，以及参考公式，分别求解改造前后
8
的优品率，即可求解.
（2）根据二项分布概率公式，分别求增加元件前后系统正常工作的概率，再比较即可.
【规范答题】（1）由题意知，技术改造前
，
，
优品率为
.
技术改造后
，
，
优品率为
.
，
所以该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为
.
（2）设
为原有3 个元件正常工作的个数，
，
则系统正常工作的概率
，
所以该系统的可靠性为
.
设
为增加一个元件后，元件正常工作的个数，
，
则系统正常工作的概率
，
因为
，
所以该系统增加一个元件，可靠性降低.
破类题
· 提能力
1．【答案】(1)
(2)（i）
（ii）
【详解】（1）
，
9
．
（2）由（1）可知，
，
，结合参考数据得
，
（i）
，
，
，区间长度为
，
根据正态分布的对称性，概率近似等于
，
已知
，
，
；
（ii）利用正态分布对称性：
，
，
其续航里程不低于
的概率约为
．
2．【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【详解】（1）设这50 件零件尺寸误差的平均数为
，
由题意得
，则
，
而
，规定
为特等品，则
为特等品，
故特等品的概率为
，
10
故
两条生产线生产的LG 型的
件车载电池中特等品的件数约为
件.
（2）由题意得
，
则
，
，
，
，
，
则X 的分布列如下，
0
1
2
3
4
且
.
题型04 条件概率与全概率公式
析典例
· 建模型
1．【思路分析】(1) 考查条件概率，利用条件概率公式
，分别计算事件“至少1 人不满
意”和“2 人都不满意”的概率，代入求解；
(2) 由抽样频率得非常满意的概率，
服从二项分布
，列出分布列并套用二项分布期望公
式计算
。
【规范答题】（1）设事件
：选取的2 名观众中至少有1 名不满意，事件
：选取的2 名观众都不满
意，
，
11
，
所以
.
（2）由题意，随机抽取1 人，非常满意的概率
，
抽取3 人，
表示非常满意人数，则
，
的可能取值为：
，
，
，
，
，
所以
的分布列为
.
2．【思路分析】（1）由题设随机变量
服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布
列或超几何分布的期望求法求期望；
（2）应用全概率公式求概率即可；
【规范答题】（1）由题意知随机变量
服从超几何分布，其中
，
，
，
12
且
的所有可能取值为2，3，4，
，
，
，
故
的分布列为：
2
3
4
法一：所以
的数学期望
.
法二：根据超几何分布的期望公式知
.
（2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件
，
记“下达的动作指令表述模糊”为事件
，
记“机器人成功完成指令”为事件
.
由已知得
，
，
，
，
.
因为
，
所以
.
研考点
· 通技法
1.求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B｜A)＝P( AB)
P( A ) .
(2)样本点法：P(B｜A)＝n( AB)
n( A ) .
(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.
2.乘法公式的作用
乘法公式P(AB)＝P(B｜A)P(A)的作用就是方便我们在不好直接求得P(AB)的情况下，先迂回地求出方便
计算的P(B｜A)和P(A)，再求得P(AB).
注意：求一些复杂的条件概率时，往往可以先把事件分解成若干个互斥的较简单事件之和，利用公式
P(B∪C｜A)＝P(B｜A)＋P(C｜A)使求解更为简捷.如果直接分解比较麻烦，可以考虑对立事件，利用
P(AB)＋P(AB)＝P(A)及P(B｜A)＋P(B｜A)＝1 求解.
3．全概率公式的适用范围及步骤
13
(1)适用范围：所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，
这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.
(2)运用全概率公式的一般步骤
第一步：求出样本空间Ω 的一个划分A1，A2，…，An；
第二步：求P(Ai)(i＝1，2，…，n)；
第三步：求P(B｜Ai)(i＝1，2，…，n)；
第四步：求目标事件的概率P(B).
注意：(1)对Ω 中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn.(2)全概率公式体现了转化与化归的数学思
想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可.
破类题
· 提能力
1．【答案】(1)
(2)
0
1
2
【详解】（1）设事件
：抽取的是本地会员，
，
则事件
：抽取的是外地会员，
，
事件
：会员对商品质量满意，
，
，
所以
.
（2）由（1）可知，单次抽取会员满意的概率
，不满意的概率为
，
的所有可能取值为0，1，2.
则
，
，
14
，
，
0
1
2
所以
.
2．【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)
【详解】（1）设事件A 为抽取到的是一个有消费意向的家庭，
事件B 为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭，
，
，
所以
，
所以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，
该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为
.
（2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为
，
的可能取值为0，500，1000，1500，2000，
，
，
，
15
，
，
所以
的分布列为
0
500
1000
1500
2000
（3）带动家庭可以拿到100 元奖励的概率为
，
带动家庭可以拿到200 元奖励的概率为
，
带动家庭可以拿到300 元奖励的概率为
，
该带动家庭可以拿到的奖励为
（元）.
题型05 独立性检验
析典例
· 建模型
1．【思路分析】（1）先根据表格数据计算
的值，然后计算
的值，最后得出结论即可.
（2）先求出未成年人、成年人喜欢和不喜欢的概率，然后确定
的可能取值，并求出对应的概率，
进而得到
的分布列和期望.
【规范答题】（1）由表格数据可知，
.
所以
，
当
时，
.
16
由于
，所以没有足够的证据拒绝原假设，即不能认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是
否成年有关.
（2）由题意可知，未成年人喜欢电影的概率是
，不喜欢的概率是
；
成年人喜欢电影的概率是
，不喜欢的概率是
.
由题意，
的可能取值为
，则
；
；
.
所以
的分布列为
0
1
2
数学期望为
.
破类题
· 提能力
1．【答案】(1)
，体质情况与爱好运动有关.
(2)
的分布列为：
0
1
2
.
【详解】（1）由表中数据可得
，表格完善如下：
体
质情况组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
不爱好运动
合计
17
设
：体质情况与爱好运动无关，
则
，
根据依据小概率值
的独立性检验，否定
，故体质情况与爱好运动有关.
（2）易知
名体质情况“合格”对象中有
人爱好运动，
人不爱好运动，
故
的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
即所求分布列为
0
1
2
所以
的期望
.
2．【答案】(1)
喜欢军
事
不喜欢军事
合计
男生
30
20
50
女生
15
35
50
合计
45
55
100
认为该校学生喜欢军事与性别无关．
(2)
0
1
2
3
数学期望
．
【详解】（1）由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为
，
且有15 名女生喜欢军事，所以有30 名男生喜欢军事，
18
因为男生中有
的人喜欢军事，所以男生共有50 名，故不喜欢军事的男生有20 名，
完善后的列联表如下：
喜欢军
事
不喜欢军事
合计
男生
30
20
50
女生
15
35
50
合计
45
55
100
零假设为
：该校学生喜欢军事与性别无关．
，
根据小概率值
的
独立性检验，没有充分证据推断
不成立，
因此可以认为
成立，即该校学生喜欢军事与性别无关．
（2）学生答对任意一题的概率为
，
的可能取值为0，1，2，3，且
，
，
，
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
数学期望
．
题型06 回归分析
19
析典例
· 建模型
1．【思路分析】（1）利用相关系数的计算公式即可得解；
（2）利用已知数据和公式得到关于
的线性回归方程;
（3）根据已知条件求出随机变量X 的取值，利用古典概型的概率公式计算随机变量取值相应的概率，
再利用离散型随机变量的期望公式即可求解.
【规范答题】（1）由表中的数据和参考数据得
，
，
，
，
，
，
，
∴
．
因为y 与x 的相关系数近似为0.997，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟
合y 与x 的关系．
（2）由
及（1）得
，
，
所以y 关于x 的回归方程为
．
（3）X 的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，
，
，
，
，
，
，
20
，
,
X 的分布列
X
所以
.
2．【思路分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模
型拟合程度更好；
（2）根据已知得该省对甲乙两人补贴总金额的期望值为
､
，结合二次函数的性质求范
围.
【规范答题】（1）设模型①和②的相关系数分别为
，
由题意可得：
，
，
所以
，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好.
（2）由题意，甲乙买车的总数量
可能值为
，
，
，
，
该省对甲乙两人买车数量期望值为
､
21
，
所以两人补贴总金额期望值为
，
，
由
在
上单调递增，则
，
所以
.
破类题
· 提能力
1．【答案】(1)
；
(2)
，2.9 万辆．
【详解】（1）由题意
，
，
则
，
，
则
．
故
与
的相关系数为
．
（2）由（1）
，
则
，
故
关于
的线性回归方程为
，
令
，则
，
故可预测该地区2026 年新能源汽车购买数量为
万辆.
2．【答案】(1)
，具有很强的正相关性
(2)
22
0
1
2
【详解】（1）样本
的相关系数为：
由于相关系数
，故销售金额
（单位：万元）和月份编号
具有很强的正相关性；
（2）由题意得：
的可能取值为0，1，2，
18 个月中有10 个月的销售金额高于平均数，
所以
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
题型07 概率统计与数列或导数的综合问题
析典例
· 建模型
1．【思路分析】（1）（i）根据二项分布求出分布列即可；
（ii）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4 场的概率，然后利用条件概率求解；
（2）先确定甲队成长值得分
的可能取值，并计算概率，根据期望计算公式计算.得出期望关于
的
23
关系式后，通过导数判断
在
上的单调性确定其范围.
【规范答题】（1）（i）由题意可知，
，则
的可能取值为
，
则
；
；
；
，
∴
分布列为
0
1
2
3
（ii）设事件
表示“比赛恰好进行4 场”，事件
表示“甲队获胜”.
甲队获胜包含三种情况：
比赛3 场甲队获胜，其概率为
.
比赛4 场甲队获胜，即前3 场甲队胜2 场，第4 场甲队胜，概率为
.
比赛5 场甲队获胜，即前4 场甲队胜2 场，第5 场甲队胜，概率为
.
∴甲队获胜的概率为
.
甲队获胜且比赛恰好进行4 场的概率为
.
∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4 场的概率为
.
（2）甲队本次比赛的成长值得分
的可能取值为3，2，1，0.
24
；
；
；
.
∴
.
令
，
则
，
∵
，∴
，
再令
，
，判别式
，
的两根为
，
，
由
可得
，则
在
上单调递减，则
，
所以
时，
，
，
因此函数
在
上单调递增，
又
，当
趋近于1 时，
，则
，
故
的取值范围是
.
25
2．【思路分析】（1）利用二项分布
的概率公式计算即可；
（2）由题意可知，
，利用等比数列的求和公式计算
，
进而可得出结果；
（3）
，将
转化为按单点概率
分组的线性形式并化简，最后减去
得到目标结论.
【规范答题】（1）设事件
为：“向区域
中发射3 个粒子，恰有2 个落在
中”.
则事件
的概率为
（2）由题意可知，
.
则
，
，
若
，则
，所以
，解得：
，
所以
的最小值为7.
（3）由题意可知
，可得
，
因为
，且
.
26
所以
.，
所以
.
破类题
· 提能力
1．【答案】(1)（i）
；（ii）
，证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）（i）由比赛局数和甲赢的局数服从二项分布
即可结合互斥事件概率加法公式计
算求解；
（ii）记事件
“甲获胜”，事件
“乙获胜”，由甲乙获胜各赢的局数以及每局赢的概率结合没
有平局结果的特性即可求解证明；
（2）先根据甲赢的局数服从二项分布
和二项式定理原理求出
的表达式，接着计算差值
和
，再由不等式性质分析即可比较大小得证.
【详解】（1）（i）当
时，比赛局数为
局，
则甲获胜的条件是至少赢两局，且甲赢的局数服从二项分布
，
所以
；
（ii）
，证明：
记事件
“甲获胜”，则甲赢的局数
，事件
“乙获胜”，则乙赢的局数
，
27
因为
，所以
，
又因为打的局数
为奇数，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局.
所以
，所以
，
所以
；
（2）由题甲赢的局数服从二项分布
，
则“
局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率
，
因为
，
，
所以
，
所以
，
同理
，
因为
，所以
，
，
所以
，
所以
，即
.
2．【答案】(1)
；
(2)（i）
；（ii）所以
的最大值约为0.3679，此时
．
28
【详解】（1）设抽到的第
张奖券的金额为
．
设
甲获得最大金额奖励
．
注意到
．
则
．
（2）（i）仍设
：甲获得最大金额奖励
，
若
，则
，故只需考虑
的情况．
设
：抽到的第
张奖券金额为
．
由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额
的机会均等，则
．
只有当
是前
张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则
．
则
．
若
，当
时，
．
（ii）由估值参考得
，则
．
令
，则
．
当
时，
．
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减，
因此，当
时，
取得最大值
．
此时
，不是整数，
又
，
所以
的最大值约为0.3679，此时
．
29
（建议用时：60 分钟）
刷模拟
1．【答案】(1)认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异
(2)
，
【分析】（1）通过列联表数据计算
统计量，与显著性水平 α=0.05 对应的临界值比较得到判断；
（2）利用调查数据，统计对应女性用户的占比，得到
的频率估计值.
【详解】（1）由题可得：
，
依据
＝0.05 的独立性检验，认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异．
（2）由题得，
，
．
2．【答案】(1)
(2)
小时
(3)分布列见解析；期望为2
【详解】（1）由题
，解得
.
（2）由频率分布直方图的数据可得阅读时间的平均数为
小时.
（3）由频率分布直方图可得阅读时长在
与
的居民分别有
人，
人，
30
所以抽取的6 人中阅读时长在
的人数为
人，在
的人数为
人，
所以随机变量
的可能取值有
，
，
所以随机变量
的分布列为
X
1
2
3
P
故随机变量
的数学期望
.
3．【答案】(1)
0
1
2
3
(2)3 人或4 人
【详解】（1）由题知
的所有可能取值为0，1，2，3，
则
，
，
故
的分布列为
0
1
2
3
（2）在一轮抽奖中所得积分大于或等于2 的概率为
，
5 位游客在5 轮抽奖中，记成功的人数为
，则
，
故
，
31
法一：
.
且
，故5 位游客在5 轮抽奖中，该旅行团获得景区门票人数的众数是3 人或4
人．
法二：假设当
时，对应概率取值最大，
则
且
，
解得
，
且
，
故5 位游客在5 轮抽奖中，该旅行团获得景区门票人数的众数是3 人或4 人．
4．【答案】(1)
，76 分
(2)分布列见解析
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图易知，
，
解得
，
32
由图知
的频率为0.04，
的频率为
，
的频率为0.54，
∴获奖学生最低分数线落在
内，不妨设为x，
则
，解得
，
∴估计获奖学生的最低分数线为76 分.
（2）由图可知
，
与
的频率之比是
，
根据分层随机抽样的方法可知，在
内抽取3 人，在
内抽取4 人，在
内抽取1 人.
则X 的可能取值为0，1，2，
易知
，
，
，
∴X 的分布列为
X
0
1
2
P
（3）易知平均值为
，
即可得
，
∴
.
5．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）估计
型系统每次测试中成功避让的概率为
.
（2）
的所有可能取值为0，1，2，3，
33
由题意知
型系统每次测试中成功避让的概率为
，所以
，
所以
，
.
故
的分布列为
0
1
2
3
.
（3）设
为“
型系统成功避让”，
为“
型系统的摄像头正确识别障碍物”，
则
，
，
，
而
，
所以
，解得
，
同理有
，解得
，
所以
.
6．【答案】(1)
适宜
(2)
，347 十人次
【详解】（1）由散点图，得
适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型.
（2）由
，两边同时取常用对数，得
，
设
，则
，由
，
，
34
得
，
，
因此
，即
，则
，
当
时，得
，
所以y 关于x 的回归方程为
，活动推出第8 天使用扫码支付的人次为347 十人次.
7．【答案】(1)
X
0
1
2
3
P
，
(2)①
；
；②
【详解】（1）由题意可知：
，
则
，
，
，
，
则X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以X 的均值
，且方差
.
35
（2）①因为每位游客选择东门入园的概率是
，则选择其他门入园的概率是
，
若人气值为1 点，则仅有1 人入园且选择其他门入园，所以
；
若人气值为2 点，则仅有1 人且选择东门入园，或仅有2 人入园且均选择其他门入园，
所以
；
②若人气值为
点，可知在人气值为
点的前提下仅有1 人且选择东门入园，或在人气值为
点
的前提下仅有1 人且选择其他门入园，
则
，可得
，
且
，可知数列
是以首项为
，公比为
的等比数列，
则
，
当
时，则
，
且
符合上式，所以
.
8．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当
时，泊松分布
近似于正态分布
，
36
即
，
，要计算
，
根据正态分布的性质，因
，
故
.
（2）设
为配送延迟包裹数，则
，
，
因为
，
，
，
所以
，
那么，某天至少3 起配送延迟的概率约为
.
（3）由
，可得
，
根据泊松分布的概率公式：
，
，可得
.
设
，
由
，可知
在
上为减函数.
因为
，所以
，
所以
，即
，故
的取值范围为
.
37
刷真题
1．【答案】(1)9；
(2)
；
(3)不相互独立，理由见解析.
【详解】（1）
年龄段占总体比例为：
，则抽取人数为：
；
（2）由题可得
人的平均年龄为：
；
（3）由题可得
，
，
，
注意到
，则事件A 与事件B 不相互独立.
2．【答案】(1)
，
(2)
(3)证明过程见解析
【详解】（1）
为打完3 个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，
故所求为
，
为打完4 个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，
故所求为
；
（2）由（1）得
，
，同理
，
若
，
，
则
，
由于
，所以
，解得
；
38
（3）设打完
个球，甲的得分为
，乙的得分为
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
要证明
，
即证明①
，②
，
先证明①
，
，
同理可得
，
所以①
，
故成立；
证明②
：
39
，
同理可得
，
所以②
，
故成立；
综上，不等式
成立.
3．【答案】(1)
(2)有关
【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的
人中有
人患病，所以
的估计值为
；
（2）零假设为
：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，
，
根据小概率值
的
独立性检验，我们推断
不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，
该推断犯错误的概率不超过
.
4．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）首先，我们设数列
的公差为
，则
.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，
故我们可以对该数列进行适当的变形
，
得到新数列
，然后对
进行相应的讨论即可.
40
换言之，我们可以不妨设
，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1 小问相当于从
中取出两个数和
，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是
，或
，或
.
所以所有可能的
就是
.
（2）由于从数列
中取出
和
后，剩余的
个数可以分为以下两个部分，共
组，使
得每组成等差数列：
①
，共组；
②
，共
组.
（如果
，则忽略②）
故数列
是
可分数列.
（3）定义集合
，
.
下面证明，对
，如果下面两个命题同时成立，
则数列
一定是
可分数列：
命题1：
或
；
命题2：
.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果
，且
.
此时设
，
，
.
41
则由
可知
，即
，故
.
此时，由于从数列
中取出
和
后，
剩余的
个数可以分为以下三个部分，共
组，使得每组成等差数列：
①
，共
组；
②
，共
组；
③
，共
组.
（如果某一部分的组数为
，则忽略之）
故此时数列
是
可分数列.
第二种情况：如果
，且
.
此时设
，
，
.
则由
可知
，即
，故
.
由于
，故
，从而
，这就意味着
.
此时，由于从数列
中取出
和
后，剩余的
个数可以分为以下四个部
分，共
组，使得每组成等差数列：
①
，共
组；
②
，
，共
组；
③全体
，其中
，共
组；
42
④
，共
组.
（如果某一部分的组数为
，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含
个行，
个列的
数表以后，
个列分别是下面这些数：
，
，
，
.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍
中除开五个
集合
，
，
，
，
中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的
和
以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列
是
可分数列.
至此，我们证明了：对
，如果前述命题1 和命题2 同时成立，则数列
一
定是
可分数列.
然后我们来考虑这样的
的个数.
首先，由于
，
和
各有
个元素，故满足命题1 的
总共有
个；
而如果
，假设
，则可设
，
，代入得
.
43
但这导致
，矛盾，所以
.
设
，
，
，则
，即
.
所以可能的
恰好就是
，对应的
分别是
，
总共
个.
所以这
个满足命题1 的
中，不满足命题2 的恰好有
个.
这就得到同时满足命题1 和命题2 的
的个数为
.
当我们从
中一次任取两个数和
时，总的选取方式的个数等于
.
而根据之前的结论，使得数列
是
可分数列的
至少有
个.
所以数列
是
可分数列的概率
一定满足
.
这就证明了结论.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或
探究结论.
5．【答案】(1)
(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分，则甲第一阶段至少投中1 次，乙第二阶段也至少
投中1 次，
比赛成绩不少于5 分的概率
.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率为
44
，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率为
，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩
的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩
的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为
，则
，
，
则
，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较
出大小关系，最后得到结论.
45
6．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件
，“第次投篮的人是乙”为事件
，
所以，
.
（2）设
，依题可知，
，则
，
即
，
构造等比数列
，
设
，解得
，则
，
又
，所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
即
．
（3）因为
，
，
所以当
时，
，
故
．
46
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根
据数列的基本知识求解．
7．【答案】(1)
，
；
(2)
，最小值为
．
【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为
，所以
，
所以
，解得：
，
．
（2）当
时，
；
当
时，
,
故
，
所以
在区间
的最小值为
．
47
