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重难07 动量（冲量的求解、动量定理、动量守恒、碰撞问 题、流体类和微粒类模型） 高考指导方向标 近三年考查趋势分析 近三年高考中，本专题常考查1 题，分值约6–10 分。命题突出动量观念在瞬时过 程与连续作用问题中的应用，常结合碰撞、反冲、流体冲击、缓冲保护等实际情 境（如手机掉落、鸡蛋高空抛物、推拉门运动、无人机受力等），考查冲量计 算、动量定理、动量守恒条件及碰撞类型分析。 核心方法聚焦 冲量的计算方法（恒力公式法、F-t 图像面积法、动量定理法）；动量守恒条件的 灵活判断（系统、方向、阶段性）；弹性与非弹性碰撞的规律与计算；流体模型 与微粒类问题中“微元法”与动量定理的结合应用。 备考指导建议 强化动量定理在变力、瞬时作用过程中的应用；熟练掌握碰撞类型判断与速度计 算；注重流体模型中“柱体微元”的建立与动量变化分析；加强动量与能量、运 动学结合的综合题训练，提升多过程、多对象问题的分析能力。 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分： 聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” 1. 冲量的计算方法 （1）求恒力的冲量（公式法）：该力的冲量的数值等于力与力的作用时间的乘积，冲量的方向与恒 力的方向一致。I＝FΔt，无需考虑物体的运动状态。 （2）求变力的冲量： ①若该力的方向不变、大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，该力的冲量可以用该力在作用 时间内的平均值计算，即用力的平均值 F 代替F，公式： I= F0+Ft 2 t ②利用F-t 图像的面积求解。F-t 图线与t 轴所围图形的面积表示力的冲量。 注意：动量定理法：物体所受合力的冲量等于物体动量的变化量，即I＝p′－p。适用于一切情况。 （3）求合力的冲量 ①可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和。 ②如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式I 合=F 合Δt 求解。 2. 动量守恒定律的四种表达式和对动量守恒条件的理解 m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2 选定正方向，将式中各矢量转化为代数量，用正、负符号表示各自的方 向，式中的速度均为瞬时速度，均以地球为参考系。 p＝p′ 系统相互作用前的总动量p 和相互作用后的总动量p′大小相等、方向相 同。系统总动量的求法遵循平行四边形法则。 Δp＝p′－p＝0 系统总动量的增量为零。 Δp1＝－Δp2 相互作用的系统内中的一部分动量的增加量等于另一部分动量的减少量。 动量守恒条件的理解 理想条件 系统不受外力作用时，系统动量守恒。系统不受外力的条件可放宽至系统所受外力之 和为零。 近似条件 系统所受合外力不为零时，但系统的内力远大于外力，系统的动量可看成近似守恒。 比如碰撞、爆炸等现象。 实际条件 系统所受合外力为0。 单方向的守恒条件 系统在某一方向上符合以上两条中的某一条，则系统在该方向上动量守恒。 某阶段守恒条件 全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。 3. 弹性碰撞和非弹性碰撞 1. 弹性碰撞 （1） “动碰动”弹性碰撞 发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m1和m2，碰前速度为 v1，v2，碰后速度分别为v1 ˊ，v2 ˊ，则有： (1) (2) 联立（1）、（2）解得： v1 ’= 2 m1v1+m2v2 m1+m2 −v1 ，v2 ’= 2 m1v1+m2v2 m1+m2 −v2 . 特殊情况： 若m1=m2 ，v1 ˊ= v2 ，v2 ˊ= v1 . （2） “动碰静”弹性碰撞的结论 两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静 止小球发生正面弹性碰撞为例，则有 m1v1＝m1v1′＋m2v2′ （1） m1v＝m1v1′2＋m2v2′2 （2） 解得：v1′＝，v2′＝ 结论：(1)当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1(质量相等，速度交换) (2)当m1＞m2时，v1′＞0，v2′＞0，且v2′＞v1′(大碰小，一起跑) (3)当m1＜m2时，v1′＜0，v2′＞0(小碰大，要反弹) (4)当m1≫m2时，v1′＝v0，v2′＝2v1(极大碰极小，大不变，小加倍) (5)当m1≪m2时，v1′＝－v1，v2′＝0(极小碰极大，小等速率反弹，大不变) 2. 非弹性碰撞和完全非弹性碰撞 （1）非弹性碰撞：介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。 根据动量守恒定律可得：m1v1+m 2v2=m1v1 ˊ+m2v2 ˊ (1) 损失动能ΔEk，根据机械能守恒定律可得： m1v1 2+ m2v2 2= m1v1 ˊ2+ m2v2 ˊ 2 + ΔEk. (2) （2）完全非弹性碰撞 碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得： m1v1+m2v2=(m1+m2)v 共 （1） 完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能： ΔEk= ½m1v1 2+ ½ m2v2 2- ½(m1+m2)v 共2 （2） 联立（1）、（2）解得： v 共 = m1v1+m2v2 m1+m2 ；ΔEk= 1 2 m1m2 m1+m2 (v1−v2)2 4. 动量定理的应用——流体类和微粒类模型 所谓的“流体”类问题是指研究对象是连续不断的无数个微粒，如风、水流等，解决此类问题的关键 是找到相互作用的研究对象，进而对其列出相应的动量定理方程即可。 1. 流体模型 对于流体运动，可沿流速v 的方向选取一段柱形流体，设在极短的时间Δt 内通过某一横截面积为S 的 柱形流体的长度为Δl，如图所示。设流体的密度为ρ，则在Δt 的时间内流过该截面的流体的质量为 Δm=ρSΔl=ρSvΔt，根据动量定理，流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即 FΔt=ΔmΔv。 然后根据发生相互作用前后流体的速度情况进行分析， 如：若作用后流体微元静止，有Δv=-v，代入上式有F=-ρSv2； 若作用后流体微元以速率v 反弹，有Δv=-2v，代入上式有F=-2ρSv2。 2. 微粒类问题分析步骤 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数 n。 分析步骤： a. 建立“柱体”模型，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S； b. 微元研究，作用时间Δt 内一段柱形“流体”的长度为Δl=v0Δt，对应的体积为ΔV=Sv0Δt，则微元内 的粒子数N=nv0SΔt(n 代表单位体积内的粒子数)； c. 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N 得出所选取的柱形“流体”微元的动量定理表达式， 进而求解粒子流与物体相互作用时的作用力的大小。 （建议用时：10 分钟） 1．（2025·天津·高考真题）一种名为“飞椅”的游乐设施如图所示，该设施中钢绳一端系着座椅，另一端 系在悬臂边缘。绕竖直轴转动的悬臂带动座椅在水平面内做匀速圆周运动，座椅可视为质点，则某座椅运 动一周的过程中（ ） A．动量保持不变B．所受合外力做功为零 C．所受重力的冲量为零 D． 始终处于受力平衡状态 2．（2025·河南·高考真题）两小车P、Q 的质量分别为 和 ，将它们分别与小车N 沿直线做碰撞实验， 碰撞前后的速度v 随时间t 的变化分别如图1 和图2 所示。小车N 的质量为 ，碰撞时间极短，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2025·河北衡水·二模）现在人们对手机的依赖越来越强，某同学躺着用手机刷短视频时打瞌睡，手机 不小心掉落在脸上。若手机的质量为 ，从离人脸约 的高度无初速度掉落（假设手机掉落过程其 界面保持水平），碰到人脸后手机未反弹，人脸受到手机的冲击时间为 ，选择竖直向下为正方向，取 重力加速度大小 ，碰撞过程中，下列说法正确的是（ ） A．手机所受作用力的冲量约为 B．手机对人脸的平均冲击力的冲量方向为竖直向上 C．手机对人脸的平均冲击力大小为 D．若该同学给手机装上一个比较软的保护壳，其他条件不变的情况下，可以减小手机对人脸的平均冲 击力 4．（2025·湖南郴州·一模）一个连同装备质量为M 的航天员，脱离宇宙飞船后，在离飞船L 的位置与飞船 处于相对静止状态（L 远小于飞船的轨道半径r）。为了返回飞船，他将质量为m 的氧气以相对飞船大小 为v 的速度快速向后喷出，则宇航员获得相对飞船的速度大小为（ ） A． B． C．v D． 5．（2025·广东·模拟预测）如图所示，质量为m 的物体从固定在地面上的粗糙斜面顶端由静止开始匀加速 下滑，斜面倾角为 ，长度为s，物体下滑至底部速度大小为v，下列说法中正确的有（ ） A．物体运动至斜面底部时，重力的瞬时功率为 B．该过程中重力的冲量大小为 C．物体下滑过程中，系统机械能守恒 D．物体下滑过程中，克服摩擦力做功为 6．（2025·辽宁·二模）质量相等的A、B 两物体运动的速度同时向右，如图所示。整个运动过程中，A、B 两物体的位移大小分别为 、 ，合外力的功均分别为 、 ，合外力的冲量大小分别为 、 ，加 速度大小分别为 、 ，下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西渭南·模拟预测）如图甲所示，一可看作质点的物块 位于底面光滑的木板 的最左端， 和 以相同的速度 在水平地面上向左运动。 时刻， 与静止的长木板 发生弹性碰撞，且 碰撞时间极短， 厚度相同， 平滑地滑到 的右端，此后 的 图像如图乙所示， 时刻， 与左侧的墙壁发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞前后 的速度大小不变，方向相反；运动过程中， 始终 未离开 。已知 与 的质量 ，重力加速度大小 。求： (1) 与 间的动摩擦因数 以及 与地面间的动摩擦因数 。 (2) 和 第一次碰撞后 的速度大小。 （建议用时：30 分钟） 8．（2025·浙江·高考真题）高空抛物伤人事件时有发生，成年人头部受到 的冲击力，就会有生命危 险。设有一质量为 的鸡蛋从高楼坠落，以鸡蛋上、下沿接触地面的时间差作为其撞击地面的时间，上、 下沿距离为 ，要产生 的冲击力，估算鸡蛋坠落的楼层为（ ） A．5 层 B．8 层 C．17 层 D．27 层 9．（2025·湖北·高考真题）一个宽为L 的双轨推拉门由两扇宽为 的门板组成。门处于关闭状态，其俯视 图如图（a）所示。某同学用与门板平行的水平恒定拉力作用在一门板上，一段时间后撤去拉力，该门板 完全运动到另一边，且恰好不与门框发生碰撞，其俯视图如图（b）所示。门板在运动过程中受到的阻力 与其重力大小之比为 ，重力加速度大小为g。若要门板的整个运动过程用时尽量短，则所用时间趋近于 （ ） A． B． C． D． 10．（2025·广东·模拟预测）在光滑水平地面上，一质量为2kg 的物体在水平向右的拉力F 作用下，由静 止开始运动，拉力F 随时间变化的关系图线如图所示，下列说法正确的是（ ） A．0~2s 内，拉力F 的冲量为 B．2~4s 内，拉力F 的冲量为 C．0~4s 内，物体的动量方向会改变 D． 时，物体的速度大小为1.5m/s 11．（2025·山东·模拟预测）如图甲，某轻弹簧两端系着质量均为 的小球 、 。小球 用细线悬挂于 天花板上，系统处于静止状态。现将细线烧断，以此为计时起点， 、 两小球运动的 图线如图乙所 示，表示0 到 时间内 的 图线与横轴所围面积大小，重力加速度为 。下列说法正确的是 （ ） A．从0 到 时刻，弹簧对 球的冲量为 B． 时刻， 球的速度大小为 C． 时刻，弹簧弹性势能最大 D． 时刻， 、 两小球的速度差最小 12．（2025·山东·模拟预测）如图所示，轻杆上端用光滑转轴固定在 点，下端连接小球，将球拉起，杆 刚好水平，由静止释放小球。当小球运动至最低点时，不计空气阻力，下列物理量的大小与杆长无关的是 （ ） A．小球的动能 B．小球的动量 C．小球重力的功率 D．小球对杆的拉力 13．（2025·广东深圳·模拟预测）如图甲所示，光滑水平面上有大小相同的小球A 和B 靠在一起，小球A 与轻绳组成单摆，小球B 与轻弹簧组成的弹簧振子，刚开始小球A 和B 均处于静止状态。现将小球A 向左 拉开一个较小角度（小于5°）并 时由静止释放，经最低点时与小球B 发生碰撞，碰撞时间可忽略不计， 此后小球B 运动的 图像如图乙所示。以最低点为零势能面，小球A 与B 第一次碰撞后A 球速度恰好为 零，已知小球B 的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的有（ ） A．弹簧振子的周期等于 B．单摆的摆长等于 C．A 球释放的高度为 D．A 球运动的最大速率为 14．（2025·湖南常德·模拟预测）如图所示，一个光滑导轨长臂水平固定、短臂竖直，系有细线的圆环A 套在长臂上，细线另一端与小球B 相连。已知A 的质量mA=m，B 的质量mB=2m，细线长度为L。初始时圆 环A 距短臂 ，细线水平且伸直，将圆环与小球同时由静止释放。已知圆环A 与短臂碰撞后瞬间与 短臂粘连，B 球垂直于绳方向的速度不变，沿绳方向的速度减为0，不计空气阻力，重力加速度为g， ，则（ ） A．小球B 的水平位移为0.4L 时圆环A 与短臂接触 B．圆环A 与短臂接触时，细绳与竖直方向的夹角为53° C．圆环A 与短臂碰撞后瞬间，小球B 的速度大小为 D．小球运动到最低点时，细线的拉力大小为6mg 15．（2025·河南·模拟预测）秋千由踏板和绳构成，小孩随秋千的摆动过程可简化为单摆的摆动。等效 “摆球”的质量为 ，摆长为 ，绳与竖直方向的最大夹角为 。不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度 大小为 。 (1)求“摆球”通过最低点时速度的大小； (2)求“摆球”通过最低点时对细绳的拉力大小 ； (3)若“摆球”摆动周期为 ，摆球从左侧最高点第一次摆到最低点的过程中，求细线对摆球拉力的冲量大 小 。 （建议用时：20 分钟） 16．（2025·广东·高考真题）如图所示，无人机在空中作业时，受到一个方向不变、大小随时间变化的拉 力。无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动。已知拉 力与水平面成30°角，其大小F 随时间t 的变化关系为F = F0－kt（F ≠ 0，F0、k 均为大于0 的常量），无 人机的质量为m，重力加速度为g。关于该无人机在0 到T 时间段内（T 是满足F > 0 的任一时刻），下列 说法正确的有（ ） A．受到空气作用力的方向会变化 B．受到拉力的冲量大小为 C．受到重力和拉力的合力的冲量大小为 D．T 时刻受到空气作用力的大小为 17．（2025·山东·模拟预测）如图所示，水平地面上固定一倾角为 且足够长的光滑斜面，斜面底部固定 安装一轻弹簧，弹簧上端拴接一小滑块 ，小滑块 处于静止状态。另有一质量为 的小滑块 ，从斜面 上 处由静止开始下滑，滑块 与滑块 碰撞后粘连在一起向下运动。已知弹簧的形变量始终在弹性限度 内，弹簧形变量为 时，弹性势能 。如果以位置 为坐标原点，沿斜面向下为 的正方向建立坐 标系，则滑块 的动能与位移 的关系图像如图乙所示。不计空气阻力。下列判断正确的是（ ） A．滑块 位移为 时，弹簧的弹性势能最大 B．滑块 的质量为 C．弹簧的劲度系数为 D．由滑块 、滑块 和弹簧组成的系统，从位置 到弹性势能最大的过程中，系统的机械能守恒 18．（2025·重庆南岸·模拟预测）如图所示，木块A、B 并排静止在光滑水平面上，A 上固定一竖直轻杆， 轻杆上端O 点系一长为L 的细线，细线另一端系一小球C，A、B、C 质量均为m。现将C 拉起至细线水平 且自然伸直后由静止释放，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A．C 能向左摆到与释放点等高的位置 B．C 球由静止释放到第一次经过最低点的过程中，木块A 的位移大小为 C．C 第一次运动到最低点时，绳中张力大小为mg D．从C 球经过最低点到恰好第一次到达轻杆左侧最高处的过程中，木块A 一直做减速运动 19．（2025·浙江·一模）如图所示，水平面上一小车以 的速度向右做匀速运动，小车的上表面光滑且 水平，A、B 为固定在小车两侧的挡板，滑块与挡板A、B 分别用两相同的轻质弹簧连接，小车匀速时，滑 块相对小车静止，滑块视为质点，两弹簧恰好处于原长。已知滑块的质量 ，弹簧劲度系数 （弹簧始终在弹性限度内）。某时刻，小车与右侧一障碍物发生碰撞，小车立即停下并锁定。 则滑块做简谐运动的（当弹簧形变量为 时，其弹性势能为 ）（ ） A．振幅为 cm B．周期小于 s C．最大加速度为100m/s2 D．半个周期内，两弹簧对滑块冲量的矢量和为零 20．（2025·贵州遵义·一模）如图，有一足够长的光滑绝缘轻杆竖直放置并固定，杆的左侧O 点固定一个 正点电荷Q。杆上穿有一质量为m 的带电小球，现将小球从杆上A 点静止释放，其最远能运动到D 点。已 知带电小球在A 点所受电场力大小为 ，重力加速度大小为g，OAC 构成边长为d 的正三角形， B 为AC 中点，不计空气阻力。 (1)在图中画出点电荷Q 产生的电场中过A 点的完整等势线及过B 点的电场线； (2)小球在A、B 两个位置的加速度大小之比； (3)从A 点释放开始计时，记录小球运动到C 点的时刻为t（t 为已知量），写出小球从A 到C 的过程电场力 沿杆方向冲量 的表达式。
