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专题 02 五大类数列题型-2026 年高考数学大题秒杀技巧及专
项训练（解析版）
【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】
【题型2 裂项相消巧妙变形问题】
【题型3 分组求和必记常见结论】
n
【题型4 含(−1) 类求和问题】
【题型5 含绝对值求和问题】
数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：
一、累加法
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相加，可得：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
二、累乘法
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：将上述 个式子两边分别相乘，可得：
三、构造法
1.第一种形式：形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定
系数法）得 ，即 构成
以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为
首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为累加法便可求出
2.第二种形式：形如 型的递推式
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首
项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通
项整理可得
法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为第一种形式，求出 ，再用累加法便
可求出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时乘以
得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在转化
为第一种形式便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 再应用类型第一种形式的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在转化为
累加法，求出 之后得 ．
【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】
错位相减；形式必须是
则
正规方法（1）适用条件
若 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，求数列{an·bn}的前n
项和 ．
（2）基本步骤（3）注意事项
①在写出 与 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令
c =(An+B)⋅qn
，可以用错位相减法．
n
T =(A+B)q+(2A+B)q2 +(3A+B)q3 +...+(An+B)qn
①
n
qT =(A+B)q2 +(2A+B)q3 +(3A+B)q4 +...+(An+B)qn+1
②
n
得： ．
An B A B A
T =( + − )qn+1 −( − )q
整理得： n q−1 q−1 (q−1) 2 q−1 (q−1) 2 ．
已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1) (2)【详解】（1）设 的公差为 ，
由题意可知 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（2）由 ，
所以 ①，
②，
① ②得 ，
，
，
，
综上 .
已知数列 ， ， ．
(1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析， (2)【详解】（1） ，且
因此， 是以 为首项， 为公比的等比数列
（2）由（1）： ，因此
令
两式相减得：
所以， .
1．已知数列 的前n项和为 ，且 ，且 .
(1)证明数列 是等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ；
(3)若 ，求正整数k的所有取值.
【答案】(1)证明见解析(2) (3) ， ，【详解】（1）证明：因为 ，两边同时除以 得， ，
化简得 ，所以 ，
又 ，所以数列 为以 为首项， 为公差的等差数列，
所以， .
（2）解：由（1）可知， ，所以 ，
则 ①，
又 ②，
① ②得 ，
所以 .
（3）解：由（1）（2）可知， ， .
所以 ， .
由 可得， ，整理可得 .
令 ，易知 在 上单调递增，
在 上单调递增，所以， 在 上单调递增.
又 ， ，
， ，
所以，当 时，有 ，即 ，在 ， 时不成立.所以k可取 ， ， .
2．在公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，数列 的前n项和 满足
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) , (2)
【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质可得；
（2）根据（1）得到数列 的表达式，采用错位相减法即可得.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，且 ，
因为 ，且 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 (舍)，
所以 ；
数列 的前n项和 满足 ①，
所以当 时， ，
当 时， ②，
所以由① ②得 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
（2）由（1）可得 ，
所以 ③，
④，由③ ④得
，
.
3．设数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ；
(3)对于（2）中的 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由 之间的关系得数列 为等比数列，由此即可得解.
（2）由等比数列求和公式、错位相减法，即可得解.
（3）化简得 ，分 奇偶讨论，结合单调性求解.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
两式相减，得 ，又 ，
所以数列 为等比数列，首项为3，公比为3，
所以数列 的通项公式是 .
（2）因为 ， ，
所以所以 ，
则有 ，
两式相减得：
，
于是得 .
（3）不等式 代入 得：
两边除以 整理得：
，分 奇偶讨论：
当 为奇数时： ，不等式化为 ，
令 ， ，
因为 ，所以 ，
对奇数 单调递增，最小值为 ，故 ；
当 为偶数时： ，不等式化为 ，即 ，
同理， 对偶数 单调递减，最大值为 ，故 ，
综上， 的取值范围为： .
4．已知正项等比数列 满足 ，且 成等差数列．(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据等差中项建立关于公比的方程，解方程即可得公比，
再根据通项公式求解即可；
（2）结合（1）得 ，进而根据分组求和与错位相减法求和求解即可.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ．
因为 成等差数列，所以 ．
因为 ，所以 ，整理得 ，
解得 或 ．
因为 ，所以 ，
故 的通项公式为 ．
（2）由（1）知 ．
记数列 的前 项和为 ，则 ．
因为 ，
所以两式相减得 ，
所以 ．因为数列 的前 项和为 ，
所以 ．
5．已知数列 满足 ，且 （ 且 ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）构造等差数列 ，根据等差数列通项公式计算求解；
（2）先化简，再应用错位相减法计算求解.
【详解】（1）已知 ，整理得 ，
即 ，则数列 为首项 ，公差为1的等差数列，
所以 ，所以 ；
（2） ， ，
所以 ， ①
， ②
由①-②，得
，所以 .
6．已知数列 的前 项和为 ， ，设 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，若数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可.
（2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可；运用裂项相消法进行运算证明即可.
【详解】（1）由 ，得 ，
，得 ，
故 ，所以数列 是等比数列；
（2）由 ，
由（1）可知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，
因为 ，
所以 ，
，
，得 ，
；
故 ，则 .
7．已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)已知数列 的前 项和为 ，且 是等差数列，记数列 的前 项和为 .
①求 ；
②求 .
【答案】(1) (2)① ；②
【分析】（1）根据条件得数列 是常数列，从而得 ，再利用等比数列的通项公式，即
可求解；
（2）①根据条件，求出 ，再由错位相减法，即可求解；②根据①可得 ，再利用裂
项相消法，即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以数列 是常数列，
所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 .
（2）①因为 是等差数列，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ，即 ，
当 时， ，当 时也成立，所以 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
②由①可得 ，
所以 .
8．已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 与 关系化简可得 ，结合等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得 ，利用错位相减法求出 即可证明结论.
【详解】（1）因为在数列 中， ，当 时， ，
两式相减得 ，可得 ，
又因为 时， ，可得 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
故 ；
（2）由（1）知 ，
所以数列 的前n项和为 ，①
，②
① ②得 ，
所以 .
又因为 ，所以 ，所以 .
【题型2：裂项相消巧妙变形问题】
裂项相消求和
sin1∘
=tan(n+1) ∘ −tann∘
a =f (n+1)−f (n) cosn∘cos(n+1) ∘
① n ②
1 1 1 (2n) 2 1 1 1
a = = − a = =1+ ( − )
n n(n+1) n n+1 n (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1
③ ④
1 1 1 1
a = = [ − ]
n n(n−1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2)
⑤
n+2 1 2(n+1)−n 1 1 1 1
a = ⋅ = ⋅ = − ,则S =1−
n n(n+1) 2n n(n+1) 2n n⋅2n−1 (n+1)2n n (n+1)2n
⑥
1 1 1 1
a = = ( − )
n (An+B)(An+C) C−B An+B An+C
⑦
⑧n+1 2n 1 1
a =log =log (n+1)−log n a = = −
n a n a a n (2n −1)⋅(2n+1 −1) 2n −1 2n+1 −1
⑨ ⑩
（1）基本步骤
（2）裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（3）消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
设 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ， 为数列 的前 项和，求 .
【答案】(1) (2)
【详解】（1）等差数列 中， ， ，
，解得 ， ，
.
（2） ， ，.
已知数列 中， ， .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)令 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）已知 ，且 ，由递推关系可知 对任意正整数 成立，
则该递推关系可整理为 ，又首项 ，
因此数列 是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）由（1）可得 ，所以 ，
所以 ，
所以
记数列 的前 项和为 ，已知 ，且 是公差为 的等差数列．(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意知 ，所以 ，即 ，
将 替换为 ，得 ，
两式相减，得 ．
所以 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，
所以 ，
1．设各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本量法可求首项与公比，故可求通项公式；（2）求出 的通项，利用裂项相消法结合不等式的性质可证题设中的不等式.
【详解】（1）设公比为 ，则 ，故 ，
故 .
（2） ，故 ，
所以 .
2．已知等差数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式.
(2)记数列 的前 项和为 ，证明 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，可
求得数列 的通项公式；
（2）求出 ，可求得 ，利用裂项求和法可证得结论成立.
【详解】（1）（1）解：设等差数列 的公差为 ，
由 可得 ，解得 ，
.
（2）（2）解：由（1）可得 ，所以， ，
因此， .
3．已知数列 为等差数列，前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意，列出方程组，求得 ，进而求得 的
通项公式；
（2）由（1）求得 ，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ，且 ，可得 ，解得 ，
所以 ，即数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知： ，可得
所以数列 的前 项和：
.
4．已知正数列 的前 项和为 ， ，其中 .(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用递推式及 的关系求得 ，利用等差数列的定义写出通项公
式；
（2）应用裂项相消法求 .
【详解】（1）因为 ，当 时， ，
所以 ，而 ，则 ，
当 时，有 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，则 是首项、公差均为2的等差数列，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
因此 .
5．已知 为等比数列 的前 项和，若 是 和 的等差中项，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，且数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求 的表达式以及 的取值范围.
【答案】(1) ， .
(2) ，
【分析】（1）根据等比数列的通项公式和前 项求和公式以及等差中项化简计算，即可求解；
（2）由（1）可得 ，结合裂项相消求和法可得 ，判断 为递增数
列，则 ，进而求解.
【详解】（1）设数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列可得 ，
故 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ，
故 ，即数列 的通项公式为 ， .
（2）由（1）可得 ，
故 ，
易知 单调递减，故 单调递增，
即 为递增数列，则 ，
又当 时， 且 ，所以 ，
故 ，所以 .
6．已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设条件变形可得 ，进而可得 是等差数列，运算得解；
（2）由（1）求得 ，利用裂项相消法求和.
【详解】（1） ， ，
是以1为首项，1为公差的等差数列.
，
.
（2） ，
.
7．已知数列 中， ，点 （ ）在函数 的图象上.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，证明：数列 是等差数列；
(3)设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等比数列通项公式求法求解即可；
（2）根据等差数列定义证明即可；
（3）根据裂项相消法计算即可求解.
【详解】（1）因为点 在函数 的图象上，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 是公比 的等比数列，
所以 ；
（2）因为 ， ，
所以 ， ，
， ，
所以 是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得， ，
所以 ，
【题型3：分组求和必记常见结论】n(a +a ) n(n−1)
S = 1 n =na+ d
①等差数列求和公式： n 2 1 2
{ na (q=1)
1
S = a (1−qn ) a −a q
n 1 = 1 n (q≠1)
1−q 1−q
②等比数列求和公式：
n n
1 1
S =∑ k= n(n+1) S =∑ k2 = n(n+1)(2n+1)
n 2 n 6
③ k=1 ④ k=1
n
1
S =∑ k3 =[ n(n+1)] 2
n 2
k=1
⑤
一、题型特征
数列通项不是等差、不是等比，但可以拆成等差数列 + 等比数列 + 常数项分开求和，再相加，就叫分组
求和
通项形式：a = 等差 + 等比，a = 等差 - 等比，a = 指数式 + 多项式，a = 奇偶项规律不一样
n n n n
二、核心解题步骤
1. 拆分通项公式，把an拆成两个数列之和
2. 分别判断拆开后的数列：等差、等比
3. 分别套用等差数列求和公式、等比数列求和公式
4. 两个和相加/相减，得到前n项和Sn
5. 化简整理最终结果
三、常见必考模型
1. a = kn + b + qⁿ等差 + 等比 分组求和
n
2. a = n² + 2ⁿ平方数列 + 等比数列
n
3. a = (-1)ⁿ·n + 2ⁿ正负交替 + 等比
n
4. 奇数项一个规律，偶数项一个规律
奇偶分开各自求和，再合并
四、等差求和公式
S = n(a +a)/2 = na1 + n(n-1)d/2
n 1 n
五、等比求和公式
q≠1时Sn = a(1-qⁿ)/(1-q) = a(qⁿ-1)/(q-1)
1 1
q=1时Sn = n·a
1
六、奇偶项分组求和（高考重难点）
1. n为偶数：奇数n/2项，偶数n/2项，分别求和相加2. n为奇数：奇数(n+1)/2项，偶数(n-1)/2项，分别求和相加易错：一定要分清项数，不能算错个数
七、正负交错数列分组
a = (-1)ⁿ n奇数项负，偶数项正，两两一组：(-1+2)+(-3+4)+……每一组和都等于1，快速分组计算
n
八、高频易错点
1. 等比数列求和必须讨论公比q=1
2. 奇偶项数列，项数极易算错
3. 拆分符号不要出错，减号也要分组
4. 最后结果一定要合并化简，不能保留两个求和式子
5. (-1)ⁿ 一定要分n奇、n偶两种情况写答案
九、大题标准答题模板
由通项公式可得
an = 等差数列通项 + 等比数列通项，分别对等差数列、等比数列求和
Sn = 等差前n项和 + 等比前n项和，代入公式化简，即可得出数列前n项和
已知等差数列 中 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 和为 ，求 的值(结果可以用幂的形式表示）.
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）知，当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；
所以.
已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由 可得 ，结合等比数列定义即可得证；
（2）由等比数列性质可得数列 的通项公式，再借助等比数列求和公式分组求和即可得.
【详解】（1）由 ，可得 ，
又 ，故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）由数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
故 ，即 ，
则 .在数列 中， ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）因为 ，
且 ，
所以数列 是以1为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）得， .
所以 .
所以
.
1．已知数列 满足 ，且 （ ）．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式及数列{an}的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2) ，
【分析】（1）将题目的条件变形，然后结合等比数列的定义证明即可.
（2）利用等比数列的通项公式结合分组求和即可.【详解】（1）由已知 ，变形得 ，
又因为 ，所以 ，故 ，故 ．
又因为 ，所以 ，
因此数列 是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知数列 是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以 ．因此数列 的通项公式为 ．
数列 前n项和：
.
2．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式：
(2)若数列 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意求出 和 的值，利用等差数列的通项公式可求出数
列的通项公式；
（2）根据题意得出 ，故 ，利用分组求和计算即可.
【详解】（1）方法1：设等差数列 的公差为 ， ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，因为 ，所以 的通项公式为 ；
方法2：设等差数列 的公差为 ，
故 ， ，所以 ；
（2）因为数列 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ，
因为 ，所以 ，
则
，
所以数列 的前 项和为 .
3．已知数列 满足 ， ，设 ， 的前 项和分别为 ， ．
(1)试求 ， 的值并探究 与 的关系；
(2)当 时，试求 的通项公式；
(3)试求 的值．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ；
(3)
【分析】（1）根据题目条件得到 ，并得到当 为奇数时， ，求出 与 的关系；
（2）推导出 是等比数列，从而求出 的通项公式；
（3）求出 的通项公式，从而得到 ，结合（1）求出答案【详解】（1） ， ，
故 ， ，
当 为奇数时， ，
故
；
（2）当 时，因为 ，
所以 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
则 ，所以 ；
（3） 时，因为 ，
所以 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 的前 项中偶数项的和为故 ．
4．已知数列 的首项是 ，且 ．
(1)证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)若 ，求满足条件的最小整数n的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，
所以 ，
又 ，
所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
可得 .
（2）由（1）得 为等比数列，设数列的前 项和为 ， ，
所以 ，
构造函数令 ，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数，
为整数，所以当 ， ，不成立，
当 ， ，成立，
所以满足条件的最小整数n的值为 .
5．已知等差数列 前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)若数列 的前 项和为 ，且 ，求 的最小值.
【答案】(1) .
(2)32.
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则由题意得： ，解得 ，
所以 ，
所以 .
（2）令 ，
，
，所以
，
又 ，
因为
所以 的最小值为32.
6．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ， ， ，其中 ．
(1)求公差 及 的值；
(2)设数列 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）代入已知条件，计算即可解决问题；
（2）利用三角函数的周期性，将数列进行分组，然后进行分组求和，先求出一个周期内的和，最后求出
全部和.
【详解】（1）解：（1） ，
， ， ．
， ， ， ．
（2）解：由（1）得， ， ，
．又 的周期 ， 当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，其中 ．
在一个周期内， ， ，
， ，
，
数列 的前20项为5个完整的周期， ．
7．已知等差数列 和正项等比数列 满足 ， ， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ； ，
(2)
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出 ，再列方程组求解；
（2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算.
【详解】（1）设 的公差为 ，数列 的公比为 ，
由 ，得 ，
因为 ， ，所以 ， ，得 ， ，故 ， ；
（2）由（1）可知， ，
则
n
(−1)
【题型4：含 类进行求和问题】
我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为
a =(−1) n ⋅f (n) {a }
n 的摆动数列 n 前n项和的步骤如下：
a +a
第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时， n n+1的表达式；
第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由
S =(a +a )+(a +a )+(a +a )+⋯+(a +a ) S
n 1 2 3 4 5 6 n−1 n 求出 n ；
第三步：当n为奇数且 n＞1 时，由
S
n
=S
n−1
+a
n求出
S
n，特别注意对 n=1 时要单独讨论，即
S
1要单独
求出.
S S
第四步：将 1代入当n为奇数且 n＞1 时 n的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表
示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示
若正项数列 满足 ，则称数列 是 的平方差数列.已知数列 是 的平方差
数列，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；(3)若 求数列 的前 项和 .
【答案】(1) , (2)
(3)
【分析】（1）将 变形后可得 ，据此可求 的通项，再结合累加法
可求 的通项；
（2）利用分组求和法可求 ；
（3）利用错位相减法可求 .
【详解】（1）因为 ，故 ，
故 ，所以 为常数列，
而 ，故 ，故 即 .
故 ，所以 ，
由累加法可得 ，而 ，
故 ，而 ，故 .
（2） ,
当 为偶数时， .
当 为奇数时， .
故 .
（3）当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，而 ，
令 ，
则 ，
故 ，
故
，
故 .
而 ，则 ，
故 ，
故 ，
故 .
记 为数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 为数列 的前 项和，求 .
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 中， 且 ，当 时，所以 ，
所以 ，化简得 ，即得 ，
所以 ，
所以 ，当 时，所以 ，
综上， ；
（2）由（1）可得 ，
即得 ，
，
，
，
所以 .
1．已知 ，数列 满足 ，当 时， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，证明： ；
(3)若数列 满足 ， ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) .
【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式.
（2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明.
（3）按 为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解.
【详解】（1）当 时，由 ，得 ，即 ，
因此 ，数列 是常数列，则 ，即 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，则 ，数列 是等比数列，
则 ， ， ，
，
，因此 ，
所以对任意 ， .
（3）由（1）得 ，所以 ， ，
则 ，
当n为偶数时， ，
设 ， ，
，，
两式相减得
，于是 ，
又 ，
因此 ；
当n为奇数时， ，
，而 满足上式，
所以 .
2．已知点 在函数 的图象上，记数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2026项和．
【答案】(1)
(2)1013
【分析】（1）根据题意代入点 解得 ，则 ，分 和 两种情况，结合 与 之
间的关系运算求解；
（2）根据题意可得 ，令 ，可得当n为奇数时， ，利用并项求和法运算求解.
【详解】（1）因为点 在函数 的图象上，则 ，
解得 ，即 ，则 ，当 时，则 ；
当 时，则 ，可得 ；
且 符合上式，所以 .
（2）因为 ，则 ，
令 ，数列 的前n项和为 ，
当n为奇数时， ，
可得 ，
所以数列 的前2026项和为1013.
3．已知数列 满足 ， ．
(1)求 ， ， 的值，并猜测 的通项公式；（无需证明猜测）
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设 ，数列 的前 项和为 ．若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最小值．
【答案】(1) ， ， ，
(2) .
(3)
【分析】（1）根据已知递推公式，代入 ，求出 ， ， 的值，然后根据等差数列的定义得出
通项公式；
（2）分奇偶讨论，并项求和；（3）先裂项求和求出 ，根据数列的单调性求出 的最值，进而求出 的
最小值.
【详解】（1）已知 ， ，， ， ，
，
因为 ， ，所以 .
则 ，即 ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
.
（2） ，
为偶数时， ，
为奇数时， ，
所以 .
（3） ，
，
随着 的增大， 减小， 增大，所以 ，
若对任意 ，不等式 恒成立，
所以 ，实数 的最小值为 .
4．已知数列 中， ．
(1)证明： 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 ；(3)数列 满足： ，求 的最大项．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)1
【分析】（1）通过对递推式两边同除以 ，构造出等差数列 ，进而求出数列 的通项公式；
（2）根据 的奇偶性，对 进行分组求和，得到统一的表达式；
（3）先求出数列 的通项，再构造辅助数列 ，通过函数单调性分析其最大项.
【详解】（1）等式 两边同除以 ，得 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列．由上知 ，即得 ．
（2）由（1）知， ．
当 为偶数时，
当 为奇数时， ．
综上， ．
（3）当 时， ；当 时，
有 ，可得 ．
所以， ．记 ，则 ．令 ，则 ，
可得 在区间 上单调递增，则 ，即得 ，即 ．
所以当 时， ，即 ，可知数列 从第4项开始每一项均小于1．
因为 ，所以数列 的最大项是第三项，
其值为1，即得数列 的最大项为1．
5．已知等差数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求 的前2n项和 及其最小值．
【答案】(1)
(2) ，最小值为9
【分析】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解；
（2）由分组求和法和并项求和法求出 ，再利用其单调性即可得出最小值.
【详解】（1）设 的公差为d，因为 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，解得 ，
故 的通项公式为 ．
（2）由（1） ，
则易得 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．
6．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，
又知 ， ．
(1)求 ， ；
(2)求 的通项公式；
(3) ，求 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解；
（2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解；
（3）先求出 的通项公式，再根据 的性质，分奇、偶数讨论求解．
【详解】（1） ， ， ，
，解得 ，故 ；同理 ，解得 ，
．
（2） ①，
时，
②，
式①减②得，
，
又 符合上式，
数列 的奇、偶项分别成等差数列，
当 时，首项 ，公差 ，
则 ，
当 时，首项 ，公差 ，
则 ，
综上， ．
（3） ，
i）当 时，
，ii）当 时，则 ，
，
综上， ．
7．已知等差数列 ， 是数列 的前 项和，满足 ， ；数列 的各项都是正数，且满
足 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前2n项和 ；
(3)在 和 中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 ： ，
求 的前2026项和．
【答案】(1) ，
(2)
(3)2646
【分析】（1）由等差数列的基本量运算求得 ，求得通项 ；进而求得 ，再根据等比数列的基本
量运算求得答案；
（2）由（1）易得 ，分奇数项和偶数项，分别利用裂项相消法和公式法求解；
（3）易得 中截至 共有 项，再由 时，有2016项，然后
由 求解.【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ，即 ，解得 ，
故 ；
所以 ， ，
因为 ，所以数列 为等比数列，设公比为 ，
则 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 .
（2）由（1），可得 ，
设 的前 项和中，偶数项的和为 ，奇数项的和为 ，
所以 ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 为奇数时， ，
，
所以 .
（3） ，
截至 共有 项，当 时， ，
.
8．数列 的前n项和 ，数列 满足 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 和数列 各取前100项，按从小到大排成一个新的数列 ，其中重复的数只取一次，
求数列 的前100项和．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系可求数列 的通项公式，当 时，由已知可得 ，两
式相除可求数列 的通项公式；
（2）结合（1），利用分组求和法可求数列 的前100项和．
【详解】（1）令 ，则 ， ，
当 时， ， 也符合上式，∴ ；
当 时，由 ，可得 ，
两式相除可得 ， 也符合上式，∴ ．（2） ， ， ，…， ，
， ， ，…， ，
将数列 和数列 各取前100项，按从小到大排成一个新的数列 ，其中重复的数只取一次，
则 ， ，…，
， ， ，…， ，
∴
．
【题型5：含绝对值求和问题】
一、题型特征
等差数列an带有绝对值
an=|kn+b|，数列项先正后负 / 先负后正
需要找到正负分界项，分段去掉绝对值再求和
二、核心解题思路
1. 先不看绝对值，判断原数列是等差数列
2. 求an=0时n的值，找到正负分界项k
3. n≤k时，an符号一致
n＞k时，an符号相反
4. 分段求和：前k项直接求和，后面各项取相反数求和
5. 分n≤k、n＞k两种情况写Sn
三、标准解题步骤
1. 求数列通项an，判断等差公差d
2. 令an≥0，解出正项最大项序号k
3. 当n≤k时，|an|=an，Sn=原数列前n项和
4. 当n＞k时
Sn=2×前k项和 - 原数列前n项和
四、万能公式结论
设第k项开始变号n≤k ，Sn=Sn原
n＞k ，Sn=2Sk - S原n
五、正负规律
1. 公差d＞0，数列递增：先负后正
2. 公差d＜0，数列递减：先正后负
3. 分界项一定是整数，不是整数就近取整
六、常见易错点
1. 分界项k一定要取正整数，不能直接用小数
2. 分界项本身符号不要搞错
3. n＞k时，后面每一项都要变号，不是只变一项
4. 必须分两种情况写答案，不能合并
5. 等差数列求和公式不要代错首项、项数
七、大题标准答题模板
如果数列 为等差数列， 为其前 项和， 那么有：
①若 则有
②若 则有
如果数列 为等比数列， 为其前 项和， 那么有：
|a |(1−|q| n ) |a |−a |q|
1 1 n
T = =
n 1−|q| 1−|q|
八、交错绝对值特殊题型
an=(-1)ⁿ|an|
奇偶分开分组，奇数一组、偶数一组
分别求和再相加减，注意项数计算给出数列 ，要求数列 的前 项和，必须分清 取什么值时数列 的前 项和为 ， ；
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，
当 时，则 ；
当 时，则 ，
可得 ；
综上所述： .
（2）因为 ，
当 时， ；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
综上所述：当 时， ；当 时， .
当 时，则 ；
当 时，则
；
综上所述： .记 为等差数列 的前n项和，已知 .
(1)求 的通项公式a 与前n项和公式 ；
n
(2)求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ， (2)
【详解】（1）设 的公差为 ，则 ，
解得 ，所以 的通项公式为 ，
；
（2）由（1）得 ，令 ，解得 ，
当 时，数列的前 项均为正数，
则 ；
当 时，数列的前7项为正数，从第8项至第 项为负数，
则 ，
，
综上， .
1．在数列 中， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前100项和 .【答案】(1) ；(2)4222.
【详解】（1）当 时，由 ，得 ，因此数列 是常数列， ，则
，
时， ，也满足 ,
则 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，则 ，
所以 .
2．已知等差数列 ，满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，求 .
【答案】(1)
(2)130
【分析】（1）求出其公差，写出通项即可；
（2）当 时， ，则 ，利用等差数列求和公式求解.
【详解】（1）设 的公差为 ，
（2）由（1）可知 ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，.
3．已知 是等差数列 的前 项和， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前20项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的求和公式建立方程组可得答案；
（2）先求出 的通项公式，根据等差数列求和公式可得答案.
【详解】（1）设数列 的首项为 ，公差为 ，
则
解得 ，
故 的通项公式为 .
（2）由（1）可知， ，
所以 易知 为等差数列.
当 时， ，则 ，
设 的前 项和为 ，则 ，
所以数列 的前20项和为
4．已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ．(1)证明： 为等差数列，并求 及
(2)若 ，求数列 的前20项和 ．
【答案】(1)证明见解析， ，
(2)
【分析】（1）先对已知条件变形得到 ，判断 为等差数列，求出 ，再由
求出通项公式，并验证 是否成立，求出 .
（2）先求出 ，进而得到 的分段表达式，再分别计算不同段的和得到 .
【详解】（1）由题意可得： ，
化简可得： ，
所以数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，满足上式，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
所以，数列 的前 项和为：
.
5．记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出关于 与 的方程组，计算即可求解；
（2）先求 ，讨论 的符号去绝对值，再结合 运算求解.
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 ；
（2）因为 ，
令 ，解得 ，且 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；
综上所述： .
6．在数列 中， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将递推关系式变形，构造常数列 ，从而求得通项公式；
（2）根据绝对值表达式进行分类讨论，借助等差数列求和公式分别计算不同区间的前 项和，最终整合
成分段函数形式.
【详解】（1）由 ，可得 ，
又 ，
，
即数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，
设 的前 项和为 ，其中 ，
故 ，
当 时， ，当 时， ，
∴当 时， ；
当 时，
，综上，数列 的前 项和 .
7．已知数列 满足 ， ，数列 为等差数列， 为 与 的等差中项，且 .
(1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由题意可得 ，可得数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可求数
列 的通项公式；
（2）设数列 公差为 ，利用已知求得数列 的通项公式.法一：当 时， ，当
时， ，进而计算可求得 .法二：记数列 前 项和为 ，利用等差数列的前 项
和公式求得 ，结合 ，可求 .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，即 .
所以，数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.
则 ，所以 .
（2）设数列 公差为 ，
由（1）知 ， ，因为 为 与 的等差中项，所以 ，
又因为 ，则 .
所以 .
解法一：
当 时， ，
当 时， ，
.
综上，数列 的前 项和 .
解法二：
记数列 前 项和为 ，则
.
又因为 ，
当 时， .
当 时，
.
综上，数列 的前 项和
8．设数列 是等差数列， 是等比数列.已知 ， ， .(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项的和 .
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，建立关于公差、公比的方程组求解.
（2）由（1）求出 ，再按 分段，利用等差数列前n项和公式求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ， ，
由 ，得 ，解得 ，
所以 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，则
当 时， ；
当 时，
，
所以 .
