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8.1 平面向量的线性运算及基本定理
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考点一 平面向量概念的辨析
【例1】（2024 陕西渭南·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量
，必有
D．若
满足
且
与
同向，则
【一隅三反】
1（2024 重庆北碚·期中）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．
就是
所在的直线平行于
所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．
2．（2024 广东江门·阶段练习）设
是非零向量，则
是
成立的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2024 安徽黄山 ）以下说法正确的是（ ）
A．零向量与任意非零向量平行
B．若
，
，则
C．若
(
为实数)，
则必为零
D．
和
都是单位向量，则
4．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
与
共线且模长相等，则
C．若
且
与
方向相同，则
D．
恒成立
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考点二 平面向量的基本定理
【例2-1】（2024·广东汕头·三模）已知四边形
是平行四边形，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形
中，
是
的中点，
是
上的
一点，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-3】．（2024·江西·二模）在
中，已知
，
为线段
的中点，若
，则
．
【一隅三反】
1．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形
中，
，且
，点
是
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 广东）已知
分别为
的边
上的中线，设
，
,则
＝（ ）
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A．
＋
B．
＋
C．
D．
＋
3．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形
中，
为
中点，
与
交于点
，若将
，
作为平面向量的一个基，则向量
可表示为 （用
表示）.
考点三 平面向量共线定理
【例3-1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量
，
是平面上两个不共线的单位向量，且
，
，
，则（ ）
A．
、
、
三点共线
B．
、
、
三点共线
C．
、
、
三点共线
D．
、
、
三点共线
【例3-2】（2024·广东·二模）已知向量
与
能作为平面向量的一组基底，若
与
共线（
），则k 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）在
中，
，过点
的直线分别交直线
、
于点
、
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，且
，其中
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1 ．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量
、
，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的
是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
2 ．（23-24 海南省直辖县级单位·阶段练习）
是平面内不共线两向量，已知
，若
三点共线，则k 的值是（ ）
A．2
B．－3
C．－2
D．3
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知
，
，
是直线上不同的三点，点
在外，若
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
考点四 平面向量的坐标运算
【例4】（23-24 湖北武汉·期中）（多选）已知向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（23-24 江苏宿迁·期中）（多选）已知空间向量，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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2．（23-24 湖南岳阳·期末）（多选）下列运算结果正确的是（ ）.
A．已知
，若
，则
B．已知点
，则向量
在
方向上的投影数量为
C．已知向量
，若
，则
D．
向量不共线，点
在线段
上，且
，则
3．（23-24 湖北武汉 ）（多选）已知向量
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
与
的夹角为
D．
在
上的投影向量为
5．（23-24 浙江丽水·期末）（多选）已知向量
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．向量
在向量上的投影向量为
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一．单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形
中，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）在△ABC 中，点D 为线段BC 的中点，点E 满足
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 四川资阳·期中）已知
为不共线向量，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知
是边长为1 的正三角形，
是
上一点且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
5．（2024·四川遂宁·模拟预测）在
中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）在
中，
为线段
的中点，过
的直线分别与线段
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交于
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量
，
不共线，
，
，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
8．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在
中，
为线段
的中点，
为线段
上一点，
，
过点
的直线分别交直线
，
于
，
两点．设
，
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．6
二．多选题
9．（23-24 浙江宁波 ）已知平面向量
，
，则（ ）
A．当
时，
B．若
，则
C．若
，则
D．若
与
的夹角为钝角，则
10．（2024 山东泰安·期末）如图，在四边形ABCD 中，
为BC 边上一
点，且
为AE 的中点，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
11．（2023·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段
，则向量
B．若向量
，则线段
C．若向量
与
共线，则线段
D．若向量
与
反向共线，则
三．填空题
12．（2023·天津红桥·一模）如图所示，在
中，点
为
边上一点，且
，过点
的直线
与直线
相交于
点，与直线
相交于
点（
，
交两点不重合）.若
，则
，若
，
，则
的最小值为 .
13．（23-24 高三上·天津南开·阶段练习）如图，在
中，
，
，CD 与BE 交于点P，
，
，
，则
的值为 ；过点P 的直线l 交AB，AC 于点M，N，设
，
（
，
），则
的最小值为 .
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14．（2023·河南开封·模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做
扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2 的扇形
，其中
，
，
，点
在
上，则
的最小值是 ．
四．解答题
15．（23-24 高三上·江苏徐州·阶段练习）在
中，E 为AC 的中点，D 为边BC 上靠近点B 的三等分点．
(1)分别用向量
，
表示向量
，
；
(2)若点N 满足
，证明：B，N，E 三点共线．
16．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB，CD 分别
交于点M，N．
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(1)若Q 是BC 的中点，求
的取值范围；
(2)若P 是平面上一点，且满足
，求
的最小值．
17．（204·陕西·模拟预测）等边
外接圆圆心为
，半径为
上有点
．
(1)若
为弧
中点，求
；
(2)求
最大值．
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18．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B 是单位圆（圆心为O）上两动点，C 是劣弧
（含端点）上的
动点．记
（
，
均为实数）．
(1)若O 到弦AB 的距离是
，求
的取值范围；
(2)若
，向量
和向量
的夹角为
，求
的最小值．
19．（2024 湖北）已知O 是线段
外一点，若
，
．
（1）设点
、
是线段
的三等分点，
、
及
的重心依次为
、
、
，试用向量
、
表示
；
（2）如果在线段
上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
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