第07讲一元二次方程的应用（知识点+10题型）（暑假预习讲义）（原卷版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_暑假预习讲义+测试卷

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第07 讲一元二次方程的应用（知识点+10 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 传播问题
题型2 增长率问题
题型3 与图形有关的问题
题型4 数字问题
题型5 营销问题（中考最高频）
题型6 动态几何问题
题型7 工程问题
题型8 行程问题
题型9 图表信息题
题型10 握手、循环赛问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
列一元二次方程解应
用题的步骤增长率（下
降率）问题利润（销售）
问题几何图形面积问
1. 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答，能
规范书写解题过程。2. 能分析增长率（下降率）、商品销售利润、几何图形
面积、数字等常见实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出一元二次方
程。3. 能根据实际问题的背景和意义，检验一元二次方程的解是否合理，舍
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题数字问题动点问题
解的合理性检验
去不符合题意的解。4. 能解决简单的动点问题，体会用代数方法解决几何问
题的数形结合思想，感受一元二次方程在解决实际问题中的工具作用。
学习重点：列一元二次方程解应用题的一般步骤，增长率问题、利润问题、面积问题这三类核心实际
问题的解法。
学习难点：准确分析复杂实际问题中的数量关系，找出隐含的等量关系；根据实际意义正确检验方程
的解；动点问题中动态等量关系的建立。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤
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步骤：遵循“审→设→列→解→验→答”六步曲
1.
审：审题，找出已知量、未知量及核心等量关系
2.
设：设未知数（直接设或间接设），必须注明单位
3.
列：根据等量关系列出一元二次方程
4.
解：用合适的方法解所列的一元二次方程
5.
验：双重检验①检验根是否为方程的解；②检验根是否符合实际意义
6.
答：写出完整的答案，注明单位
即时即练
1．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板
的钉子的长度后一次为前一次的݇
倍ሺͲ ൏݇
൏݇
ሻ．已知一个钉子受击͵ 次后恰好全部进入木板，且第一次
受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的
Ͷ
͹．设铁钉的长度为݇
，那么符合这一事实的方程是（
）
A．
Ͷ
͹ ሺ݇൅݇
ሻʹ ൌ݇
B．
Ͷ
͹݇
൅
Ͷ
͹݇
ʹ ൌ݇
C．
Ͷ
͹ ൅
Ͷ
͹݇
൅
Ͷ
͹݇
ʹ ൌ݇
D．
Ͷ
͹ ൅
Ͷ
͹ ሺ݇൅݇
ሻʹ ൌ݇
【易错提醒】
最容易遗漏“验”的第二步，导致出现负数边长、负数人数、超过100%的下降率等不符合实际的答案
设未知数时不注明单位，或答句中遗漏单位
间接设未知数时，最后忘记将求出的未知数转化为题目要求的最终量
等量关系找错，尤其是隐含的等量关系，导致整个方程列错
知识点02
增长率/下降率问题（教材核心题型）
基本等量关系：
1.增长率：起始量×(1+平均增长率)
增长次数=终止量
下降率：起始量×(1-平均下降率)
下降次数=终止量
2.数学语言：
设起始量为a，平均增长率/下降率为x，经过2 次变化后终止量为b，则
a(1±x)
2=b（增长用“+”，下降用“-”）
即时即练
2．某社区便民生活服务中心9 月份的服务收入为4 万元，随着居民消费需求提升，服务项目不断拓展，11
月份的服务收入达到5.76 万元．
(1)求该服务中心10 月、11 月服务收入的月平均增长率；
(2)若收入还保持相同的月平均增长率，则该服务中心12 月份的服务收入是多少万元？
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【易错提醒】
混淆“增长率”和“增长后的量”，如把“增长了20%”当成“增长到20%”
忘记平方，错误写成a(1+x)=b（仅适用于一次增长）
下降率问题中，出现1-x<0 的情况，不符合实际意义，必须舍去
连续两次增长率不同时，不能用此公式，需分步计算
知识点03
面积问题（教材高频题型）
基本等量关系：利用常见几何图形的面积公式列方程
教材经典模型：
矩形围栏问题：利用周长和面积的关系列方程
道路问题：通过平移法将不规则图形转化为规则矩形，避免重复计算交叉面积
边框问题：大矩形面积-小矩形面积=边框面积
即时即练
3．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ܣܤܥ1），该实验
田两面靠墙（ܣ1 位置的墙最大可用27 米，ܣܤ位置的墙最大可用15 米），另外两边用栅栏围成，中间也
用栅栏隔开，分成两个场地及一个1 米宽的通道，两个场地分别留出一个1 米宽的门（门不用栅栏，ܪܩ处
使用栅栏），建成后栅栏总长为45 米，设实验田ܥ1 的长为x 米．
(1)ܣ1 的长为米（用含x 的式子表示）；
(2)若实验田（矩形ܣܤܥ1）的面积为180 平方米，求x 的值；
(3)通过计算说明该实验田的面积能否为240 平方米．
【易错提醒】
道路问题中，未使用平移法导致重复减去交叉部分的面积
忽略图形的实际限制，如道路宽度不能超过矩形的长和宽
边框问题中，内外矩形的边长差是边框宽度的2 倍，容易误算为1 倍
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三角形、梯形面积计算时忘记乘以݇ʹ
知识点04 销售利润问题
核心公式：
单件利润=售价-进价（成本）
总利润=单件利润×销售量
总销售额=售价×销售量
教材经典模型：售价每降低/提高1 元，销售量对应增加/减少固定数量
即时即练
4．吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4 月份
到6 月份的销量，该品牌头盔4 月份销售500 个，6 月份销售720 个，且从4 月份到6 月份销售量的月增长
率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为40 元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50 元时，月销售量为500 个，在
此基础上售价每涨价1 元，则月销售量将减少10 个．为使月销售利润达到8000 元，而且尽可能让顾客得
到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
【易错提醒】
混淆“进价” “售价” “标价” “折扣”的概念，如把标价直接当成售价
销售量与售价的变化关系搞反，如售价降低时，销售量应该增加
计算总利润时错误用“总销售额-单件进价”，正确应为“(售价-进价)×销售量”
结果需根据实际情况取整，如商品数量必须为正整数
题型1 传播问题
【例1】
冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最
初有ʹ 人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有͵ʹ 人患流感，若设每轮传染中平
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均一人传染了ݔ人，则根据题意，可列方程为（
）
A．ʹሺ݇൅ݔሻʹ ൌ͵ʹ
B．ʹ＋ʹݔ＋Ͷݔʹ＝͵ʹ
C．ʹ ൅ʹݔ൅ݔሺ݇൅ݔሻൌ͵ʹ
D．ݔ൅ݔሺʹ ൅ʹݔሻൌ͵ʹ
【技巧归纳】
通用公式：a(1+x)
n=b（a=初始传染源数，x=每轮每人传播人数，n=传播轮数，b=最终患病总数）
两轮传播最常见：a(1+x)
2=b
特例：若初始1 人，两轮后患病1+x+x(1+x)=(1+x)
2人
【变式1-1】
1．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1 人获知一条政令，
经过两轮传播后，共有Ͷͻ 人知晓．若每轮平均1 人传播给x 人，则可列方程为（
）
A．ݔ൅݇
൅ݔൌͶͻ
B．ʹ݇
൅ݔൌͶͻ
C．݇൅ݔ൅ݔ݇
൅ݔൌͶͻ
D．݇൅ݔ൅ݔʹ ൌͶͻ
【变式1-2】
2．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169 人患上流感．按这样的传染速度，若4
人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？
题型2 增长率问题
【例2】根据中国民航局预测，2025 年我国低空经济规模将达1.5 万亿元，预计2035 年我国低空经济规模
有望突破3.5 万亿元．如果设2025~2035 年每年低空经济规模年平均增长率为ݔ，那么根据题意可列方程为
（
）．
A．݇㔠ㄳ݇
൅ݔ݇Ͳ ൌ͵㔠ㄳ
B．݇㔠ㄳ݇
൅݇
Ͳݔൌ͵㔠ㄳ
C．݇㔠ㄳ݇
㔵ݔ݇
Ͳ ൌ͵㔠ㄳ
D．݇㔠ㄳ݇
൅ݔ݇
Ͳ ൌ͵㔠ㄳ
【技巧归纳】
增长公式：a(1+x)n=b；下降公式：a(1-x)n=b
a=基础量，x=平均增长率/下降率，n=增长/下降次数，b=最终量
两年增长/下降是中考高频考点，n=2
【变式2-1】
1．某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年͵ 月份产值为ͻ 万元，
ㄳ月份产值为݇
͸ 万元，设该企业͵ 月份至ㄳ月份产值平均每月的增长率为ܽ
，根据题意可列方程是（
）
A．ͻ݇
൅ܽ
൅ͻ݇
൅ܽ
ʹ ൌ݇
͸
B．ͻ݇
൅ʹܽ
ൌ݇
͸
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C．ͻ݇
൅ܽ
ʹ ൌ݇
͸
D．ͻ ൅ͻ݇
൅ܽ
൅ͻ݇
൅ܽ
ʹ ൌ݇
͸
【变式2-2】
2．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商看准商机，购进了A、
B 两种品牌头盔进行销售．
(1)该经销商统计了A 品牌头盔4 月份到6 月份的销量，A 品牌头盔4 月份销售64 个，6 月份销售100 个，
且从4 月份到6 月份销售量的月增长率相同，求A 品牌头盔销售量的月增长率；
(2)考虑到头盔需求不断增加，该经销商准备再购进一批A、B 品牌头盔共100 个．已知A 品牌头盔的进价
为每个50 元，售价为每个70 元；B 品牌头盔的进价为每个100 元，售价为每个130 元．假设所购进的头
盔全部售完，为使利润不低于2600 元，该经销商购进A 品牌头盔不超过多少个？
题型3 与图形有关的问题
【例3】为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的
“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园
景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为͹ʹ 平方米，从水池边到圆周，每边均相距͵ 米．设水池的
边长为ݔ米，则下列方程能正确表示数量关系的是（
）
A．π ݔ൅͵ ʹ 㔵ݔʹ ൌ͹ʹ
B．π
ݔ
ʹ ൅͵
ʹ
㔵ݔʹ ൌ͹ʹ
C．π ݔ൅͵ ʹ 㔵ݔʹ ൌ͵͸
D．π
ݔ
ʹ ൅͵
ʹ
㔵ݔʹ ൌ͵͸
【技巧归纳】
道路问题：平移法（将道路移到边缘，空白部分拼成规则矩形）
边框问题：设边框宽度为x，用含x 的式子表示内部图形的长和宽
直角三角形问题：利用勾股定理列方程
【变式3-1】
1．如图1，有一张长为͵Ͳcm、宽为݇
͸cm 的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，
折成图2 所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）．
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(1)若剪去的正方形的边长为ʹcm，则纸盒底面长方形的长为___________cm；
(2)若纸盒的底面积为ʹͶͲcmʹ，请计算剪去的正方形的边长；
(3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，
再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为
Ͷ݇ʹcmʹ，请计算剪去的正方形的边长．
【变式3-2】
2．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8 米的篱笆在两面互相垂直且足够长的
围墙边围出一块面积为15 平方米的矩形菜地，如图所示．
(1)求矩形菜地的长和宽．
(2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买ܣ、ܤ两种化肥共20 千克．已知ܣ种化肥每千克8 元，每千克可
给1 平方米的菜地施肥；ܤ种化肥每千克6 元，每千克可给0.6 平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施ܣ
种化肥，另一部分施B 种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？
题型4 数字问题
【例4】【探究活动】如图，计算末位为5 的两位数的平方时，只需将十位上数字݊
与݊
൅݇
相乘，再乘以
100，然后加上25 即可．
【应用体验】已知݇
Ͳ݊൅ㄳʹ ൌㄳ͸ʹㄳ݊
t Ͳ ，则݊
ൌ________．
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【技巧归纳】
两位数表示：݇Ͳܽ൅ܾ（ܽ=十位数字，ܾ=个位数字）
三位数表示：݇ͲͲܽ൅݇
Ͳܾ൅ܿ
连续整数：设中间数为ݔ，则为ݔ㔵݇,ݔ,ݔ൅݇
连续偶数/奇数：设中间数为ݔ，则为ݔ㔵ʹ,ݔ,ݔ൅ʹ
【变式4-1】
1．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的
文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8 作为进位基数的
数字系统，有0～7 共8 个基本数字．八进制数3745 换算成十进制数是͵ ൈͺ͵ ൅͹ ൈͺʹ ൅Ͷ ൈͺ݇൅ㄳൈͺͲ ൌ
ʹͲʹ݇，表示ICME−14 的举办年份．
(1)八进制数123 换算成十进制数是___________；
(2)小华设计了一个݊
进制数143，换算成十进制数是120，求݊
的值．
【变式4-2】
2．如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4 个数（如2，3，9，
10）．
(1)如图，若圈出的4 个数ܽ
、ܾ、ܿ、݀中，最小的数ܽ
ൌݔ，则ܾ
ൌݔ൅݇
，ܿൌ________，݀ൌ________．（用
含ݔ的代数式表示）
(2)在小组活动中，小轩通过计算，发现ܽ݀
㔵ܾܿ
的差恒为常数，请你证明．
(3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数．
题型5 营销问题
【例5】某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12 元，平均每天可售出80 枚．市场调研发
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现：若每枚徽章降价1 元，则平均每天可多售出10 枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段
时间后发现，平均日盈利为910 元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x 元，依题意可列方
程（）
A．݇
ʹ 㔵ݔ
ͺͲ ൅݇
Ͳݔൌͻ݇Ͳ
B．݇
ʹ ൅ݔ
ͺͲ ൅݇
Ͳݔൌͻ݇Ͳ
C．݇
ʹ 㔵ݔ
ͺͲ 㔵݇
Ͳݔൌͻ݇Ͳ
D．݇
ʹ ൅ݔ
ͺͲ 㔵݇
Ͳݔൌͻ݇Ͳ
【技巧归纳】
设未知数技巧：设涨价/降价的金额为x 元
单件利润=售价-进价=（原售价±x）-进价
销售量=原销量±（每涨/降1 元的销量变化量）×x
列方程：总利润=单件利润×销售量
【变式5-1】
1．为庆祝长征胜利90 周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件
20 元，日销售量ݕ（件）与每件售价ݔ（元）的函数关系如图所示．
(1)求ݕ与ݔ的函数表达式；
(2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525 元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的
售价为多少元？
【变式5-2】
2．为备战2026 靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的
团购优惠方案如下：若购买数量不超过30 个，则每个足球的售价为180 元；若购买数量超过30 个，则每
增加1 个，每个足球的售价降低2 元，但每个足球的售价不得低于120 元．若该足球队共花费6750 元购买
该品牌足球，求该足球队购买足球的数量．
题型6 动态几何问题
【例6】如图，在ᇞܣܤܥ中，סܣܥܤൌͻͲι,ܣܥൌͶͲcm，ܤܥൌ͵Ͳcm．点ܲ
在边ܣܥ上，以Ͷcm/s 的速度由
点ܣ向点ܥ运动，同时，点ܳ
在边ܥܤ上，以ʹcm/s 的速度由点ܥ向点ܤ运动，当一个点到达终点时，两
个点同时停止运动．设运动时间为ݐ s．
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(1)当ݐൌㄳ时，求ᇞܲܳ
ܥ的面积．
(2)当ᇞܲܳ
ܥ的面积为͸Ͷcmʹ时，求ݐ的值．
(3)ᇞܲܳ
ܥ的面积能否达到݇
ʹͲcmʹ？若能，求出ݐ的值；若不能，说明理由．
【技巧归纳】
第一步：用含ݐ的代数式表示所有运动线段的长度
第二步：根据勾股定理、面积公式或相似三角形性质列方程
第三步：解出ݐ后，必须检验是否在运动时间范围内
【变式6-1】
1．在Rt ᇞܣܤܥ中，סܥൌͻͲι，ܣܥൌ݇
ͺcm，ܤܥൌ݇
͸cm，点P，Q 都从点C 出发，点P 以݇
cm/s 的速度
沿ܥܣ向A运动，点Q从点C出发，以ʹcm/s 的速度沿ܥܤ向B运动，两点同时出发，设运动时间为ݐs
Ͳ ൏ݐ൏
ͺ ．
(1)当ݐൌ݇
s 时，求ܲܳ
长．
(2)当ᇞܲ
ܥܳ
的面积为͸cmʹ时，求t 的值．
(3)当ܲܳ
ൌ͵ ㄳcm 时，求t 的值．
【变式6-2】
2．如图，在直角梯形ܣܤܥ1 中，ܣܤצ ܥ1，סܤܥ1 ൌͻͲι，ܣܤൌܣ1 ൌ݇
Ͳcm，ܤܥൌͺcm．点P 从点A 出发，
以每秒͵cm 的速度沿折线ܣܤܥ方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段1ܥ方向向点C 运
动．已知动点P、Q 同时出发，当点P 运动到点C 时，P、Q 运动停止，设运动时间为t．
(1)求ܥ1 的长；
(2)当四边形ܲ
ܤܳ1 为平行四边形时，求四边形ܲ
ܤܳ1 的周长；
(3)在点P、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得ᇞܤܲܳ
的面积为݇
ㄳcmʹ？若存在，请求出所有满
足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．
题型7 工程问题
【例7】列方程解下列问题：
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某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉
礼盒数量的1.5 倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20 人时，当天加
工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400 个．
(1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？
(2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：݉
名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种
腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加݉
个，每名工人每天加工
甲种腊肉礼盒比以前增加ʹ݉
个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000 个，求݉
的值．
【技巧归纳】
甲单独完成需x 天，则甲的效率为݇ݔ
合作效率=各队效率之和
等量关系：各部分工作量之和=总工作量1
【变式7-1】
1．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔͵ʹͲͲ 盒月饼的订单，现决定由
甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工݇
Ͳ 天，乙组加工8 天就能完成这笔订单，且甲组3 天
加工的月饼数量比乙组2 天加工的月饼数量多͵ͲͲ 盒．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；
(2)甲、乙两组同时开工2 天后，这笔订单临时又增加了ㄳͲͲ 盒月饼，甲组从第3 天起提高了工作效率，而
乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工݇
ͲͲ 盒月饼，则甲、
乙两组就各自都提前1 天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、
乙两组都提前多少天完成了这笔订单？
【变式7-2】
2．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有ܣ，ܤ两条不同的粽子生产线，
ܣ生产线每小时加工粽子ͶͲͲ 个，ܤ生产线每小时加工粽子ㄳͲͲ 个．
(1)若生产线ܣ，ܤ一共加工݇݇
小时，且生产粽子总数量不少于ㄳͲͲͲ 个，则B 生产线至少加工多少小时？
(2)原计划ܣ，ܤ生产线每天均工作ͺ 小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，ܣ生产线每小时比原
计划多生产݇
ͲͲܽ
个（ܽ
t Ͳ），ܤ生产线每小时比原计划多生产݇
ͲͲ 个．若ܣ生产线每天比原计划少工作
ʹܽ
小时，ܤ生产线每天比原计划少工作ܽ
小时，这样一天恰好生产粽子͸ͲͲͲ 个，求ܽ
的值．
题型8 行程问题
【例8】2026 年4 月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，
最终用时50 分26 秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为ʹͶkm/h，经过两次速
度调整后，速度提升至Ͷͺ㔠Ͷkm/h．设这两次调整中，速度的平均增长率为ݔ．根据题意列出方程，正确的
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是（
）．
A．ʹͶ݇
൅ݔʹ ൌͶͺ㔠Ͷ
B．Ͷͺ㔠Ͷ݇
൅ݔʹ ൌʹͶ
C．ʹͶ݇
൅ݔ൅ʹͶ݇
൅ݔʹ ൌͶͺ㔠Ͷ
D．ʹͶ݇
൅ݔʹ ൌͶͺ㔠Ͷ
【技巧归纳】
相遇问题：路程和=总路程
追及问题：路程差=初始距离
航行问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速
一元二次方程常用于往返、变速或多次相遇问题
【变式8-1】
1．如图，一钢球从长Ͷm 的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加ʹm/s．（提
示：本题中，距离ܵ
ൌ平均速度ݒൈ时间t，ݒൌ
ݒͲ൅ݒݐ
ʹ ，其中ݒͲ是开始时的速度，ݒݐ是t 秒的速度）则钢球从
斜面顶端滚到底端的时间是（
）
A．݇s
B．ʹs
C．ʹs
D．Ͷs
【变式8-2】
2．一个小球以ㄳm/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，Ͷs 后小球停止滚动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动ㄳm 用了多少秒（结果保留根号）？
（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度ݒ（初速度与末速度的算术平均数）与路程ݏ，时间
ݐ的关系为ݏൌݒതݐ．）
题型9 图表信息题
【例9】某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a 度，那么这居民这个月只需缴30
元电费；如果超过a 度，那么这个月除了仍要缴30 元的用电费以外，超过的部分还要每度按ܽ݇ͲͲ元缴费．
(1)若该厂某户居民2 月份用电݇
ㄳͲ 度，超过了规定的a 度，则超过的部分应缴电费多少元（用a 表示）；
(2)如表是这户居民3 月、4 月用电情况和缴费情况：
月份
用电量（度）
缴电费总数（元）
3
120
62
4
65
30
请根据如表数据，求出电厂规定的a 的值．
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【技巧归纳】
先看表头、横纵坐标含义，明确两个变量是什么
提取关键数据点（如起点、终点、转折点）
若为线性关系，先求出一次函数解析式，再结合利润等公式列方程
【变式9-1】
1．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024 年10 月份的日历．我们任意选择其
中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例
如：ͻ ൈ݇݇
㔵͵ ൈ݇
͹ ൌͶͺ，݇͵ ൈ݇
ㄳ㔵͹ ൈʹ݇
ൌͶͺ．不难发现，结果都是48．
(1)请证明发现的规律；
(2)若用一个如图所示菱形框，再框出5 个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5 个数中的最大
数．
【变式9-2】
2．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种
方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考．
表（1）
算法
一
女性理想体重
身高ൈ身高ൈʹʹ
男性理想体重
身高ൈ身高ൈʹʹ
算法
二݇
ͲͲ ൈ身高㔵͹Ͳ ൈͲ㔠͸݇
ͲͲ ൈ身高㔵ͺͲ ൈͲ㔠͹
算法
三݇
ͲͲ ൈ身高㔵݇
ㄳͺ ൈͲ㔠ㄳ
൅ㄳʹ݇
ͲͲ ൈ身高㔵݇
͹Ͳ ൈͲ㔠͸
൅͸ʹ
表（2）
实际体重
类
别
大于理想体重的݇
ʹͲ%
肥
胖
介于理想体重的
过
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Ͳ%̱݇
ʹͲ%
重
介于理想体重的
ͻͲ%̱݇݇
Ͳ%
正
常
介于理想体重的
ͺͲ%̱ ͻͲ%
过
轻
小于理想体重的ͺͲ%
消
瘦
(1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由．
(2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别．
①一名身高为݄
米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70 公斤，直接写出݄
的取值范围________．
②小王的父亲身高1.75 米，体重为73 公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪
一种类别？
题型10 握手、循环赛问题
【例10】
2025 年9 月13 日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，中
心城区赛区在这一赛段一共会举办55 场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其他
所有队伍各进行1 场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（
）支
A．9
B．10
C．11
D．12
【技巧归纳】
1.单循环（每两人/队只进行一次）：݊
ሺ݊㔵݇ሻ
ʹ
（适用：握手、单循环赛、互赠照片等）
2.双循环（每两人/队进行两次）：n(n-1)
（适用：主客场赛、互发消息等）
3.n 为总人数/总队数
【变式10-1】
1．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运
动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场
比赛），共比赛28 场，则参加比赛的球队数量是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式10-2】
2．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B 两
个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A 组、B 组队伍数一
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样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B 组比A 组队伍数多1 个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组
内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2 名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2
分，负一场得0 分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下：
(1)已知该校八年级共有10 个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分；
(2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112 分．求本次比赛参赛队伍个
数；
(3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162 分吗？若能，请求出此时参
赛的队伍数；若不能，请说明理由．
一、单选题
1．某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两
次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的ݔ倍，最终能量密度达到ͺܽ，则可列方程为（
）
A．ܽ݇
൅ݔʹ ൌͺܽ
B．ܽݔʹ ൌͺܽ
C．ʹܽݔൌͺܽ
D．ܽ൅ݔʹ ൌͺܽ
2．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x 支球队进入决赛阶段，共比赛72 场，
根据题意可列关于x 的方程为（
）
A．݇ʹ ݔݔ㔵݇
ൌ͹ʹ
B．ݔݔ㔵݇
ൌ͹ʹ
C．ݔݔ൅݇
ൌ͹ʹ
D．݇ʹ ݔݔ൅݇
ൌ͹ʹ
3．某商品原价为100 元，经过两次降价后售价为81 元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率
为（
）
A．ͻ%
B．݇Ͳ%
C．݇݇
%
D．݇ʹ%
4．某科技公司在2024 年投入研发资金为300 万元，2026 年投入研发资金363 万元，若这两年投入研发资
金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（
）
A．͵ͲͲ݇
൅ݔʹ ൌ͵͸͵
B．͵ͲͲ݇
൅ݔʹ ൌ͵͸͵
C．͵ͲͲ ൅͵ͲͲ݇
൅ݔʹ ൌ͵͸͵
D．͵ͲͲ݇
൅ʹݔൌ͵͸͵
5．某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安
排9 天，每天安排4 场比赛，设比赛组织者应邀请ݔ个队参赛，则可列方程为（
）
A．ݔݔ൅݇
ൌ͵͸
B．ݔݔ㔵݇
ൌ͵͸
C．ݔݔ൅݇
ൌ݇
ͺ
D．݇ʹ ݔݔ㔵݇
ൌ͵͸
6．已知某服装店将进价为120 元/件的新款时装以200 元/件出售时，每天能卖出20 件．经调研发现，每件
时装每降价1 元，每天可多卖出2 件．若每件时装降价x 元，每天将盈利1400 元，则可列方程（
）
A．ʹͲͲ 㔵ݔ
ʹͲ ൅ݔൌ݇
ͶͲͲ
B．ʹͲͲ 㔵݇
ʹͲ 㔵ݔ
ʹͲ ൅ʹݔൌ݇
ͶͲͲ
C．ʹͲͲ 㔵ݔ
ʹͲ ൅ʹݔൌ݇
ͶͲͲ
D．ʹͲͲ 㔵݇
ʹͲ 㔵ݔ
ʹͲ ൅ݔൌ݇
ͶͲͲ
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7．小明把一张长ͺcm、宽͸cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长
方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为ʹͶcmʹ，设剪去的正方形边长为ݔcm，那么x
满足的方程是（
）
A．Ͷͺ 㔵͵ݔʹ ൌʹͶ
B．ሺͺ 㔵ݔሻሺ͸ 㔵ݔሻൌʹͶ
C．Ͷͺ 㔵ʹሺͺݔ൅͸ݔሻൌʹͶ
D．ሺͺ 㔵ʹݔሻሺ͸ 㔵ʹݔሻൌʹͶ
8．为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10 米的防腐木
围栏围出一块面积为21 平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为ݔ米，下列
方程符合题意的是（
）
A．ݔ݇
Ͳ 㔵ݔൌʹ݇
B．ݔ݇
Ͳ ൅ݔൌʹ݇
C．ʹݔ݇
Ͳ 㔵ݔൌʹ݇
D．ݔ݇
Ͳ 㔵
ʹݔൌʹ݇
9．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔
不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864 平方步，宽比长小12 步，问：
这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x 步，则下列所列方程中，正确的是（
）
A．ݔʹ 㔵݇
ʹݔ㔵ͺ͸Ͷ ൌͲ
B．ݔʹ 㔵݇
ʹݔ൅ͺ͸Ͷ ൌͲ
C．ݔʹ ൅݇
ʹݔ㔵ͺ͸Ͷ ൌͲ
D．ݔʹ ൅݇
ʹݔ൅ͺ͸Ͷ ൌͲ
10．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干
分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x 支支干，则根据题意可
以列方程为（
）
A．݇
൅ݔʹ ൌʹ݇
B．݇൅ݔ൅ݔʹ ൌʹ݇
C．݇൅ݔ൅݇
൅ݔʹ ൌʹ݇
D．݇൅݇
൅ݔ൅݇
൅ݔʹ ൌʹ݇
11．如图，在宽为ʹͲm，长为͵ʹm 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，
要使草坪的面积为ㄳͶͲmʹ．设道路的宽为ݔm，则下列方程正确的是（
）
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A．ʹͲ ͵ʹ 㔵ݔൌㄳͶͲ
B．͵ʹ 㔵ݔ
ʹͲ 㔵ݔൌㄳͶͲ
C．͵ʹ ʹͲ 㔵ݔൌㄳͶͲ
D．͵ʹ 㔵ʹݔ
ʹͲ 㔵ʹݔൌㄳͶͲ
12．把一张矩形纸片按照如图ᬅ所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图ᬆ或
ᬇ所示的正方形．若矩形纸片的长为݉
，宽为݊
，四边形ܧ边ܩܪ的面积等于四边形ܣܤܥ1 面积的ʹ 倍，则݉݊
ൌ
（
）
A．
ʹ൅͵
ʹ
B．݇
൅͵
ʹ
C．
ʹ㔵͵
ʹ
D．݇
㔵͵
ʹ
13．如图，在平行四边形ܣܤܥ1 中，סܤൌ͸Ͳι，ܣܤൌ͸cm，ܤܥൌ݇
ʹcm．点P 从点A 出发，以݇
cm/s 的
速度沿ܣ՜ 1 运动，同时点Q 从点C 出发，以͵cm/s 的速度沿ܥ՜ ܤ运动．设点P 的运动时间为t，在此
运动过程中，当ܲܳ
ൌܥ1 时，t 的值为（
）
A．1.5
B．3
C．1.5 或3
D．3 或4
二、填空题
1．如图，把蜻蜓的全身看作一条线段ܣܤ，腹部看作线段ܤܥ，且满足
ܤܥ
ܣܤൌ
ܣܥ
ܤܥ．若蜻蜓的全身长ܣܤ为ͺcm，
则蜻蜓的腹部长ܤܥ为________cm．（结果保留根号）
2．如图，在矩形ܣܤܥ1 中，ܣܤൌͺ，ܤܥൌ͸，点E 是BC 边上的点，ܥܧൌʹ，点P 是ܣܤ边上的动点，若
ᇞܲ
1ܧ是等腰三角形时，则ܣܲ
ൌ________．
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3．2025 年某公司一月份的销售额是100 万元，要使三月份的销售额达到144 万元，平均每月销售额增长的
百分率为_________．
4．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5 元．当售价为15 元/杯时，平均每天能售出300 杯．市场调
查发现，售价每降价1 元，平均每天就能多售出50 杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售
利润仍保持在3000 元，则每杯奶茶应降价____________元．
5．一件原价为100 元的衣服经过两次降价后的价格为81 元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为
______．
6．一个矩形内放入两个边长分别为͵cm 和Ͷcm 的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正
方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为ͺcmʹ；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆
盖的部分的面积为݇݇
cmʹ，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部
分的面积为________．
7．如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为݇
͸m，סܣൌ͵Ͳι，则中柱ܤܥ（ܥ为底边ܣ1 的中点）
的长为______m．
8．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5 元/个，在销售中发现，当这种
手办的价格定为7 元/个时，每天可卖出160 个，在此基础上，单价每提高1 元，每天就少卖20 个，若该网
店一天销售这种手办所获得的利润是420 元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个．
9．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共
进行了݇
͵ʹ 场比赛，参加比赛的足球队有_____支．
10．如图，在Rt ᇞܣ香ܤ中，סܣ香ܤൌͻͲι，香ܣൌ͸Ͳcm，香ܤൌͺͲcm，香ܥ٣ ܣܤ，垂足为ܥ．甲虫由点ܣ以
͵cm/s 的速度沿ܣܤ向点ܤ爬行，同时乙虫由点ܥ以ʹcm/s 的速度沿ܥ香向点香爬行，当乙虫到达目的地
点香时，甲乙两虫停止爬行．
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（1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点ܥ组成的三角形是等腰三角形．
（2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点ܥ组成的三角形的面积等于݇
Ͳㄳcmʹ．
11．如图，将边长为12 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ᇞܣܤܥ沿着AD 方向平移，得到ᇞܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ ，
当两个三角形重叠部分的图形面积为36 时，它移动的距离ܣܣ̵ 等于_________．
12．容器内盛满60 升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14 升的溶液，再用水加满．这
时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升．
三、解答题
1．红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3 元/kg，当购买红薯的质量超过ʹㄳͲkg 时，每多购买
ʹㄳkg，红薯的单价降低0.2 元/kg，但要求红薯的单价不低于2 元/kg．已知某零售商购买红薯的质量超过了
͵ͲͲkg，且支付农户的费用为770 元，求该零售商购买红薯的质量．
2．阜新盛产玛瑙，有着“世界玛瑙之都”的美誉．玛瑙制品也成为阜新文旅的消费爆款．某门店主营玛瑙饰
品，现购进一批成本固定的玛瑙饰品，分为线上和线下两种销售方式，以单件݇
ʹ̱ ʹͲ 元（含݇
ʹ 元，ʹͲ 元）
的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量ݕ（件）关于销售单价ݔ（元）满足一次函数关系：
ݕൌ㔵݇
ͲͲݔ൅ʹͶͲͲ，当售价为݇
͵ 元时，线下月利润为͵͵ͲͲ 元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上
月销量为ㄳͲͲ 件，线上每件饰品商家需多付ʹ 元快递费．
(1)求出每件饰品的成本；
(2)三月份线上、线下的月利润共可达到͸ͲͲͲ 元，求三月份每件饰品的售价．
3．列方程（组）解应用题
端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒
进价ㄳͲ 元，售价͸ㄳ元，每天可售出͵ͲͲ 盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒
售价每降价݇
元，每天销量将增加݇
Ͳ 盒，若要实现每天销售利润͵ㄳͲͲ 元，则每盒应降价多少元销售？
4．王大爷想以墙为一边，另三边用长为͵͵m 的竹篱笆围成一个面积为݇
͵Ͳmʹ的长方形花坛，已知墙长为݇
ㄳm，求：花坛的长和宽各是多少时，才能使竹篱笆正好合适？
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5．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，
B 两种冰箱贴，已知每个A 款冰箱贴的售价是每个B 款冰箱贴售价的
͸
ㄳ倍，顾客用150 元购买A 款冰箱贴的
数量比用150 元购买B 款冰箱贴的数量少1 个．
(1)求每个B 款冰箱贴的售价为多少元？
(2)经过统计，该超市每月卖出A 款冰箱贴100 个，每个A 款冰箱贴的利润为16 元．为了尽快减少库存，
该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A 款冰箱贴的售价每降低2 元，则平均每月可以多售出
20 个，如果该超市想要每月卖出A 款冰箱贴的利润达到1200 元，每个A 款冰箱贴应降价多少元？
6．【动手实践】如图1，小明将一张长为݇
ʹcm，宽为͸cm 的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将
4 块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形（含拼接线）．
【观察发现】
(1)如图2，拼成的新图形是图_______（填“甲”或“乙”）．
【探索应用】
(2)若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为ʹ͹cmʹ，求此时1ܪ的长．
7．某旅游景区2025 年第一季度游客人数达100 万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降݇
Ͳ%，随
着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6 万人次．
(1)求第三、四季度游客人数的平均增长率；
(2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数．
8．某商场销售一批服装，已知进价为150 元/件，若以162 元/件销售时，平均每天可销售100 件．为了减
少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1 元，每天可多售出20 件．
(1)若以158 元/件销售，平均每天可销售多少件？
(2)如果每天盈利1400 元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？
(3)如果每天想盈利2000 元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由．
9．某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐
观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为ㄳ㘠ʹ，其中乘坐游船的人数为Ͳ㔠ͺ 万人，
乘坐观光车人数为݇
万人，游船票与观光车票销售总额为͸Ͳ 万元．
(1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？
(2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础
上降低Ͳ㔠ʹܽ%ܽ
t Ͳ ，观光车票价比四月份降低݇Ͷܽ
元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车
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登岛的人数比四月增加了ܽ
%，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了Ͳ㔠ʹㄳㄳܽ万元，求ܽ
的值．
10．每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个
三角粽比一个牛角粽贵͵ 元，小杭曾在此食品店花ʹͲͲ 元购买牛角粽的个数比花ʹͶͲ 元购买三角粽的个数
多݇
Ͳ 个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打ݔ折出售．已知按原价出售，每天售出
ͶͲ 个三角粽，每降价݇
元，每天多售出ʹͲ 个．
(1)求牛角粽的单价；
(2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含ݔ的代数式表示）；
(3)若现该食品店一天实际销售额为ͶͺͲ 元，求ݔ．
11．
综合与实践数学与交通
情
境
材
料
司机在驾驶汽车行驶过程中，经常会遇到因前方有异常情况而需要紧急刹车的情况．从司机
发现前方道路有异常情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间可称作反应时间，在反应时间
内汽车行驶的距离叫反应距离݀݇
；从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离݀
ʹ；从司机发现前方道路有异常情况开始到汽车停止行驶，这段距离称作停车距离d，停车
距离ൌ反应距离൅制动距离．
实
验
数
据
①已知反应距离与行驶速度之间近似满足函数关系，反应距离݀݇݉
与行驶速度ݒkm/h 关
系如下：
ݒkm/h
40
50
60
70
80
反应距离݀݇݉
8
10݇
ʹ݇
Ͷ㔠ʹ
16
②制动距离与行驶速度之间近似满足二次函数关系，制动距离݀
ʹ݉
与行驶速度ݒkm/h 的
关系为∶݀
΍ ൌ
͵
ㄳͲͲ ݒ;
交
通
规
则
《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》
第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故妨碍交通又难以移动的，应当按照规
定开启危险报警闪光灯，并在车后50 米至100 米处设置警告标志，夜间还应当同时开启示
廓灯和后位灯；
第八十条：机动车在高速公路上行驶，车速超过每小时100 千米时，应当与同车道前车保持
100 米以上的距离，车速低于每小时100 千米时，与同车道前车距离可以适当缩短，但最小
距离不得少于50 米．
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《中华人民共和国道路交通安全法》
第六十八条：机动车在高速公路上发生故障时，警告标志应当设置在故障车来车方向150 米
以外，车上人员应当迅速转移到右侧路肩上或者应急车道内，并且迅速报警．
(1)请写出反应距离݀݇݉
与行驶速度ݒkm/h 的函数关系式及停车距离݀݉
与行驶速度ݒkm/h 的函数关
系式．
(2)某司机在高速公路以݇
ʹͲkm/h 行驶，前方车辆突发故障，发现故障时至少需与故障车辆保持多远的距离，
才能安全停车？并结合法规分析150 米的安全距离是否足够．
(3)某司机发现正前方80 米处有警告标志，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免追尾事故的发生？结
合计算结果，给司机朋友提出1 条安全驾驶建议．
12．综合实践：
“耕读园”劳动实践基地设计方案
项目主题：“耕读园”花圃设计
项目情境：为了迎接校园丰收节，同学们参与一块长为50 米，宽为40 米的矩形花圃设计项目．以下为项
目学习小组对花圃设计的研究过程．
活动任务一
请设计两条相同宽度的小路连接矩形花圃两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种
典型方案．
驱动问题一
(1)项目小组设计出来的四种方案中小路面积的大小关系？
①直观猜想：我认为；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想）
②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1 米，则甲、乙方案中小路的面积分别为和．
③一般验证：若小路宽为ݔ米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为和．
活动任务二
为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1824 平方米．
驱动问题二
(2)请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三
为了布置劳动标志等元素，将在花圃靠墙（墙足够长）的位置，用篱笆围成三边，形成面积为100 平方米
的矩形花坛，如图所示（墙为一边，篱笆围另外三边）．设矩形垂直于墙的边长为ݔ米，平行于墙的边长
为ݕ米．
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驱动问题三
(3)若篱笆总长为30 米，为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩
形宽ܣܤൌݔ，长ܤܥൌݕ㔠
①若30 米长的篱笆，请用两种不同的函数表示ݕ关于ݔ的函数关系．
②数学之星小明提出一个问题：若ܽ
米长的篱笆恰好用完，且存在两种不同方案（即墙作为长边或作为宽
边两种围法）都可以围出面积为100 平方米的矩形，并且两种方案中垂直于墙的边长（宽）之和小于15 米．甲
同学说“篱笆的长可以是28 米”，乙同学说“篱笆的长可以是32 米”．你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．
13．综合与实践：图形规律探究
【项目主题】某校数学实践小组在观察一种LED 灯的信号灯红绿灯交替闪烁时，发现该信号灯的灯珠按一
定规律进行排列．为了探究灯珠的摆放规律，该小组观察不同大小的信号灯的灯珠个数进行探究．
【项目准备】
1．观察现象
不同大小的信号灯的灯珠排放方式如下图所示，其中实心圆表示发出红光，空心圆表示发出绿光．
2．规律猜想
小组初步猜想：用不同方式来观察第n 个图的灯珠的总个数S，并尝试用算式表达．
【项目分析】
1．统一符号：设第݊
个图的灯珠总数为ܵ݊
．
2．任务分解：
任务一：通过每行来数的方式写出݊
ൌ͵ 和݊
ൌͶ 的算式，并归纳ܵ݊
的表达式．
任务二：换一种分割方式（如按“斜线”来数），重新表达出ܵ݊
．
任务三：建立第݊
个图灯珠总数的通用公式．
【项目实施】
问题一：按“行”来统计数量
1．请补全下表：
图形݊
ൌ݇݊
ൌʹ݊
ൌ͵݊
ൌͶ
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算式ܵ݇
ൌʹ ൈʹ ൅݇
ൌʹʹ ൅݇
ʹܵ
ʹ
ൌ͵ ൈ͵ ൅ʹ
ൈʹ ൌ͵ʹ ൅ʹʹܵ
͵ ൌ①_______ܵ
Ͷ ൌ②_______
2．根据规律，写出第݊
个图的算式：ܵ݊
ൌ③_______．（写出最终结果）
问题二：按“斜线”来统计数量
请补全下表：
图形݊
ൌ݇݊
ൌʹ݊
ൌ͵݊
ൌͶ
算式ܵ݇
ൌ݇
൅͵ ൅݇ܵ
ʹ ൌ݇
൅͵ ൅
ㄳ൅͵ ൅݇ܵ
͵ ൌ④_______ܵ
Ͷ ൌ⑤_______
问题三：建立通用公式
根据你在问题一和问题二中得出的规律，写出第n 个图形中的规律：⑥_______．
根据以上信息，完成下面内容：
(1)将上面的空白内容补充完整：
①_______；②________；③________；
④_______；⑤_______；⑥________．
(2)若某个信号灯的灯珠的ܵ݊
ൌ͹͸݇
，求n 的值．