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第10 讲代数式的概念与代数式的值
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 代数式的概念
题型2 代数式书写格式
题型3 列代数式
题型4 代数式表示的实际意义
题型5 已知字母的值，求代数式的值
题型6 已知式子的值，求代数式的值
题型7 程序流程图与代数式求值
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
代数式、列代数式、代
数式的值、数量关系、
书写规范、一般性。
1. 理解代数式的概念，知道用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子
叫代数式。
2. 掌握代数式的书写规范（如乘号省略、除法写成分数形式等），能正确列
出代数式表示数量关系。
3. 理解代数式的值的意义，能将字母取值代入代数式并按运算顺序求出结果。
4. 体会从特殊到一般（列代数式）和从一般到特殊（求代数式的值）的数学
思想，感受字母表示数的一般性。
学习重点：理解代数式的概念，掌握列代数式表示数量关系的方法，以及代数式值的求法。
学习难点：准确分析实际问题中的数量关系并正确列出代数式（特别是含括号、分数等形式），理解
同一代数式可表示不同实际意义，以及代数式求值时对负数、分数等代入需加括号的处理。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 代数式
1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般
都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
【易错提醒】
代数式易错警示：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。注意：单独一个数或字母
也是代数式；含“=”“<”“>”的式子不是代数式（如方程、不等式）。运算顺序与括号不能漏。
即时即练有下列各式：①2
1
x ，②
3
4
3
v
r
，③a ，④
1
m
m ，⑤
1
0
y
，⑥
2
2
a
b
，⑦15，⑧2
0
x
，
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⑨s
vt
.其中，代数式的个数为（
）
A．9
B．7
C．6
D．5
知识点02 代数式的书写格式
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如
a
3
1
2
应写作
a
3
7
；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作
4
a
4
；注意：分数线具有“÷”
号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，
如a2-b2 平方米。
【易错提醒】
代数式书写格式易错警示：数字与字母相乘，数字在前（如3a）；带分数要化假分数；除法写成分数；单
位要加括号（如(a+b)元）。乘号可省略或写“·”，但数字与数字间不可省略。
即时即练有下列各式：①
4
a ；②1
12 x ；③
2
m
米；④
3
3
5
x 其中，符合代数式书写要求的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
知识点03 代数式的值
1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、
有意识的整体处理．
2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代
入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．
【易错提醒】
代数式求值易错警示：代入数值时需用括号（如x=-2 代入x2 得(-2)2）。负数代入时特别注意平方及乘方
符号。先化简再代入更简便，但需保证化简正确，且代数式有意义（如分母不为0）。
即时即练1．当
2
a
，
1
b ，
3
c 时，求下列各代数式的值：
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(1)
2
4
b
ac
；
(2)
2
a
b
c
．
2．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛．
(1)把
2
x
y
看成一个整体，将
2
2
2
2
5
x
y
x
y
x
y
合并的结果是__________
(2)已知
2
1
a
a
，则
2
2
2
2020
a
a
__________；
(3)已知
2
2
3
,
2
5
2
a
ab
ab
b
，求代数式
2
2
9
3
3
2
a
ab
b
的值．
题型1 代数式的概念
【例1】在，
2
5
x
，1 3
0
x
，ab ，
2
a
，0，1
a 中，代数式有（
）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
【例2】下列各式中，不是代数式的是（
）
A．
1
x
B．5
C．
2
2
1
a
D．
2
3
x
y
【技巧归纳】
代数式由数、字母和运算符号组成，不含等号或不等号。判断时注意：单独一个数或字母也是代数式。含
关系符号（=、<、>）的不是。列代数式时，关键词“和差积商”对应运算顺序，括号表示优先。
【变式1-1】在式子
3
n 、a、1、80%t 、S
ab
中，代数式的个数有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式1-2】下列各式：3
1
x，
4
a
，
100
5
s
t
，5
3
xy ，4mn ，2
6
b
，2
，7
8
1
x
y
中，代数
式有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．5 个
题型2 代数式书写格式
【例3】有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（
）
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（1）
2
1
13 x y ；（2）
3
ab
c
；（3）2m
n ；（4）
2
2
5
a
b
；（5）
·4
mb
；（6）1ab
；（7）aab
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【例4】学完代数式内容后，下列各式书写规范的是（
）
A．3
2024
a
个
B．
2024
a
C．2024a
D．
1
2024
2 a
【技巧归纳】
数字与字母相乘时数字在前（如3a），字母间乘号可省略或记“·”，除号用分数形式。带分数须化为假分
数。相同字母相乘写幂，如a²。单位括号加在式子后，如(a+b)米。注意运算顺序。
【变式2-1】下列各式最符合代数式书写规范的是（
）
A．
4x y
B．
3
2xy
C．2
1
x 千克
D．
3
x
【变式2-2】下列单项式书写规范的有（
）个
①
1
2 2 ab ；②
3
2
2x y ；③
2
3
2 x
；④
2
1
.
a b
A．1
B．2
C．3
D．4
题型3 列代数式
【例5】用代数式表示“a 的平方的3 倍与b 的平方的差”为
．
【例6】某产品前年的产量是n 件，去年的产量比前年的产量的3 倍少10 件，用代数式表示去年的产量为
件．
【技巧归纳】
先找关键词：和、差、倍、分、倒数、平方等，确定运算顺序。用字母表示未知数，按语言描述的顺序列
式。注意“的”字结构：如“a 与b 的平方和”为a²+b²，“a 与b 的和的平方”为(a+b)²。区分。
【变式3-1】一支钢笔a 元，一支圆珠笔b 元，购买2 支钢笔和3支圆珠笔需要
元．
【变式3-2】伊伊今年a 岁，妈妈的年龄比伊伊年龄的3 倍多4 岁，用含有字母的式子表示妈妈的年龄是
岁．
题型4 代数式表示的实际意义
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【例7】联系实际背景，说明代数式
2
6a 的意义
．
【例8】对代数式“ 4a ”可以赋予实际意义：如果一支铅笔的价格是a 元，那么4a 表示4 支铅笔的总价．请
你再对“4a ”赋予一个实际意义：
．
【技巧归纳】
将代数式中字母替换为实际量，解释运算含义。如5x 表示单价5 元买x 个的总价；2(a+b)表示长方形周长。
注意单位要一致。可从运算关系（加减乘除）入手，赋予现实情境（行程、面积、总价等）。
【变式4-1】对代数式“3a ”可以赋予实际意义：如果一天读书a 页，那么3a 表示3天读书的总页数．请你对
代数式“9
0.5
a
b
”赋予一个实际意义：
．
【变式4-2】商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为x 元的商品提价50%后标价，再以
0.9
30
x
元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30 元后再打9 折；②标价打9 折后再减去30 元；
③标价减去50 元后再打6 折；④标价打6 折后再减去30 元．能正确表达该商店促销方法的是
．
（填
序号）
题型5 已知字母的值，求代数式的值
【例9】当
2
m ，
5
n
时，代数式
3 m
n
的值是（
）
A．6
B．6
C．9
D．9
【例10】当
2,
5
m
n
时，求
2
2m
n
的值．
【技巧归纳】
直接将字母值代入代数式，按运算顺序计算。注意负数代入时加括号，如x=-2 时x²=(-2)²=4。分数值代入
时先化简。若代数式含多个变量，对应代入。计算结果化为最简形式（分数、小数）。检查单位。
【变式5-1】已知
2
2
x
与2
3
y
互为相反数，求
2025
y
x
x
y
的值．
【变式5-2】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据（单
位：米），解答下列问题：
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(1)用x、y 的代数式表示地面总面积；
(2)已知铺1 平方米地砖的平均费用为240 元，当
6
2
x
y
，
时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少
元？
题型6 已知式子的值，求代数式的值
【例11】若
1
m
n
，则
2
2
2
m
n
m
n
的值是(
)
A．3
B．2
C．1
D．1
【例12】已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数（c 、d 不为0），
3
m
，根据已知条件请回答：
(1) ab _____，c
d
_____，m _____，c
d _____；
(2)求3
4
m
c
d
c
ab
m
d
的值．
【技巧归纳】
利用整体代入法：将已知式子看作整体，变形所求代数式使其出现该整体。如已知a+b=3，求
2a+2b-1=2(a+b)-1=5。注意恒等变形技巧：乘除、提公因式、添项拆项配凑。避免先求单个字母。
【变式6-1】【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，运用“整体思想”的方法在
求代数值中非常重要，有这样一道题：
代数式：
2
3
x
x
的值为9，则代数式
2
2
2
3
x
x
的值为．
小明在做作业时采用的方法如下：
由题意得
2
3
9
x
x
，则有
2
6
x
x
．
所以
2
2
2
3
x
x
2
2
3
x
x
2 6
3
9
．
所以代数式
2
2
2
3
x
x
的值为9．
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【方法运用】
(1)若
2
2
0
x
x
，则
2
3
x
x
______．
(2)若代数式
2
1
x
x
的值为15，求代数式
2
2
2
3
x
x
的值．
【变式6-2】历史上，数学家欧拉最先把关于x 的代数式用记号
( )
f x 来表示，把x 等于某数a 时的代数式的
值用
( )
f a 来表示．如：当
1
x 时，代数式
2
2
6
x
x
的值记作
( 1)
f
，
则
2
( 1)
( 1)
2 ( 1)
6
1 ( 2)
6
7
f
．
已知代数式
5
3
( )
2
f x
ax
bx
x
c
，且
(0)
1
f
，回答下列问题：
(1)c __________；
(2)若
(1)
2
f
，求a
b
的值；
(3)若
(2)
9
f
，求
( 2)
f
的值
题型7 程序流程图与代数式求值
【例13】如图是某算法的程序框图，若开始输入的
2
x
，则最后输出的结果为
．
【例14】按下面的程序计算：
若输入
10
m
，输出结果是
．
【技巧归纳】
按流程图顺序代入计算，从输入开始执行每个运算框，遇到分支判断选择路径。注意循环结构需重复计算，
可列表追踪各变量值。最终输出即为所求代数式的值。理解流程中每一步的运算含义。
【变式7-1】在如图所示的运算程序中，若开始输入x 的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次
输出的结果为4，…，则第2025 次输出的结果为
．
【变式7-2】按下面的程序计算：
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如果输入x 的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x 的值为
．
一、单选题
1．代数式3x
的意义可以是（
）
A．3
与x 的和
B．3
与x 的差
C．3
与x 的积
D．3
与x 的商
2．下列各式中：①1
3 2 a ；②ሺꖠെܾሻൊܿ；③
3
n 人；④2 5
；⑤
2
2.5a b ．其中符合代数式书写要求的个数
有(
)
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
3．若
2
3
1
a
b
，则
2
3
9
2
a
b
的值是（
）
A．5
B．1
C．5
D．1
4．某校开展知识竞赛活动．答对1 题加a 分，答错1 题扣1 分．小明答对3 道题，答错2 道题，则小明的
得分可以表示为（
）
A．3a
B．2
C．3
2
a
D．3
2
a
5．数学家欧拉最先把关于x 的多项式用符号
f x 表示，并把当x
m
时的多项式
f x 的值用
f m 表示．对
于多项式
3
1
f x
ax
bx
，若
1
8
f
，则
1
f
的值等于（
）
A．6
B．6
C．7
D．9
二、填空题
6．若
2
3
2
0
a
b
，则
2025
a
b
的值是________．
7．某精品手办打八折销售，已知原价为300 元/件，则小明购买m 件该商品需要__________元．
8．若a，b 互为相反数，则
2025
2024
a
b
______，
10
a
b
_______．
9．如图是一个运算程序，若开始输入x 的值为25，则第2025 次输出的结果为__________．
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10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密
还原为明文，已知某种加密规则为明文a ，b 对应的密文为
2
a
b
，2a
b
．例如：明文1，2 对应的密文是
3
，4，当明文是2，5 时，密文应是______，______．
三、解答题
11．请用代数式表示：
(1)a 减去b 的差与c 的积．
(2)x，y 两数和的平方减去它们差的平方．
(3)a 的3 倍与b 的和．
12．如图，长方形的长为a ，宽为b ．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出
四分之一圆．
(1)用含a ，b 的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当
10cm
a
，
4cm
b
时，求图中阴影部分的面积．（π取3）
13．已知若a、b 互为相反数，m 的绝对值为4．
(1)直接写出a
b
，m 的值；
(2)求
a
b
a
b
m
的值．
14．如图，整数m ，t ，n 在数轴上分别对应点M ，T ，N ，数轴上每个格代表一个单位长度．
(1)若m 与n 互为相反数，则t _______________；
(2)若
2
t ，求2m
n
的值；
(3)当原点在点T 的左侧时，试说明：整数m ，t ，n 的和除以3 所得的余数一定是2．
15．在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“
”表示数据输入、输出框；用“
”表示数据处
理和运算框；用“
”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）．
(1)①如图①，当输入
2
x 时，输出y ；②如图②，第一个运算框“
”内应填；第二个运算框
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“
”内应填．
(2)①如图③，当输入
1
x 时，输出y ；②如图④，当输出
37
y
时，输入的值x ．
(3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15t （含15t ）时，以2 元/t 的价
格收费；当每月用水量超过15t 时，超过部分以3元/t 的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数
为每月用水量x ，输出数为水费y ．
16．有这样一道题“如果代数式5
3
a
b
的值为4
，那么代数式
2
4 2
a
b
a
b
的值是多少？”爱动脑筋的
小伟的解题过程如下：
原式
2
2
8
4
10
6
2 5
3
2
4
8
a
b
a
b
a
b
a
b
小伟把5
3
a
b
作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方
法，完成下面问题：
(1)已知
2
3
a
a
，求代数式
2
2
2
2023
a
a
的值；
(2)已知
2
3
a
b
，求代数式
3
7
11
2
a
b
a
b
的值；
(3)已知
2
2
5
a
ab
，
2
2
3
ab
b
，求代数式
2
2
3
4
4
a
ab
b
的值．
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
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或
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