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第11 讲逆命题与逆定理
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 互逆命题与互逆定理
1. 命题的结构与改写：能准确分析命题的条件和结论，将命题写成“如果…… 那么……” 的形式。
2. 互逆命题的概念与判断：理解互逆命题的定义，能写出一个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真
假。
3. 互逆定理的概念与判断：掌握互逆定理的定义，知道一个定理的逆命题经过证明是正确的，才能称为逆
定理；能判断两个定理是否为互逆定理。
知识点2 线段垂直平分线性质定理及其逆定理
1. 性质定理的应用：理解线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
能运用该定理进行相关的计算和证明，如求线段长度、证明线段相等。
2. 逆定理的应用：掌握线段垂直平分线的逆定理，即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；能
利用逆定理证明点在线段的垂直平分线上，进而解决相关几何问题。
3. 尺规作图：能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。
知识点3 角平分线性质定理及其逆定理
1. 性质定理的应用：牢记角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等；能运用该定理进
行几何计算和证明，如证明三角形全等、求线段长度等。
2. 逆定理的应用：理解角平分线的逆定理，即角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；能通过证
明点到角两边距离相等来确定点在角的平分线上，解决与角平分线相关的问题。
3. 三角形角平分线的性质：了解三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等。
.
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课本典例1（习题12.4 第3 题）
如图，在?ABC 中，?A = 30?，?C = 90?，BD 是?ABC 的平分线，交AC 于点D。求证：点D 在AB 的垂直平
分线上。
课本典例2（习题12.4 第4 题）
如图，CA?DA，CB?DB，垂足分别是点A 和点B，?CAB = ?CBA，求证：点C 在?ADB 的平分线上。
课本典例3（习题12.4 第8 题）
如图，在Rt?ABC 中，?C = 90?，斜边AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，ED = EC。求证：∠A = 2∠B，
并求出∠A 和∠B 的度数。
题型一写出命题的逆命题
1．（24-25 八年级上·河北秦皇岛·期末）等腰三角形两底角相等的逆命题是
．
2．（24-25 八年级上·上海普陀·阶段练习）命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离
相等”的逆命题是
．
3．（24-25 八年级上·山西临汾·期末）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是
．
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4．（24-25 八年级下·广东广州·阶段练习）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是
．
5．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）请写出定理“等边对等角”的逆定理：
．
题型二判定是否为互逆命题
6．（23-24 八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（
）
A．同旁内角不互补，两直线平行
B．同旁内角不互补，两直线不平行
C．两直线平行，同旁内角互补
D．两直线不平行，同旁内角不互补
7．（23-24 八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真
假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)互为相反数的两个数的和为零．
8．（22-23 八年级下·吉林松原·阶段练习）下列说法错误的是（
）
A．任何命题都有逆命题
B．任何定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是真命题
D．定理的逆定理一定是真命题
9．（22-23 八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（
）
A．互为逆命题
B．互逆定理
C．公理
D．假命题
10．（22-23 八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的
，而
第一个命题的结论是第二个命题的
，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原
命题，那么另一个命题叫做它的
．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定
理的
．
题型三利用线段垂直平分线的性质求解
11．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）如图，在
ABC
V
中，直线l 垂直平分边BC ，分别交AC ，BC 于点E ，
D ，连接BE ．若
13
AC
，
7
AE
，则BE 的长为
．
12．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，在
ABC
V
中，DE 是AC 的垂直平分线，
5
AE ，
ABD
△
的
周长为12，则
ABC
V
的周长为（
）
4 / 16
A．17
B．22
C．29
D．30
13．（23-24 八年级上·广西河池·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，
5
AB
，
12
AC
，EF 垂直
平分BC ，点P 为直线EF 上一动点，则ABP 周长的最小值是
．
14．（24-25 八年级上·河北保定·期中）如图，在ABC 中，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F，交BC 于点E，
AD
BC
，垂足为D，且BD
DE
，连接AE ．
(1)求证：AB
EC
；
(2)若
16
DC
AF
，求ABC 的周长．
15．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）如图，
ABC
V
中，BD 平分
ABC
，BC 的中垂线交BC 于点E，交
BD 于点F，连接CF 、若
60
A
，
48
ACF
，则
ABC
的度数为
．
题型四线段垂直平分线的判定
16．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）到三角形三个顶点距离都相等的点是（
）
A．三角形的三条角平分线的交点
B．三角形的三边垂直平分线的交点
C．三角形的三条高线的交点
D．三角形的三条中线的交点
17．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是一
个筝形，其中AD
CD
，AB
CB
．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC
BD
；②AO
CO
；
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③
ABD
CBD
≌
△
△
．其中正确的结论有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
18．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形ABCD 中，AB
AD
，AN 垂直平分BC ，交BC 于
点N ，点M 是CD 中点．
(1)证明：AM 是线段CD 的垂直平分线；
(2)若
70
MAN
，求
BAD
的度数．
19．（24-25 八年级上·贵州遵义·期中）如图，在
ABC
V
中，AB 的垂直平分线1l 交AB 于点M，交BC 于点
D，AC 的垂直平分线2l 交AC 于点N，交BC 于点E，1l 与2l 相交于点O，
ADE
V
的周长为10．
(1)求BC 的长；
(2)试判断点O 是否在边BC 的垂直平分线上，并说明理由．
20．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）已知，如图，AE
EB
，AF
CF
，点E、F 分别为垂足，BE
CF
，
A
ABC
CB
∠
．
(1)证明：AE
AF
；
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(2)延长EB
FC
、
相交于点D，联结AD ．证明：AD 垂直平分线BC ．
题型五作已知直线的垂直平分线
21．（24-25 八年级上·江苏徐州·期末）如图，在
ABC
V
中，
60
ABC
．
(1)作
ABC
的角平分线BE ，边BC 的垂直平分线MN ，BE 与MN 相交于点P．（尺规作图，不写作法，保
留作图痕迹）；
(2)求
PCB
∠
的度数（写出推理过程）．
22．（24-25 八年级上·广东广州·期末）如图，AM 平分
BAC
，BC 边的垂直平分线l 分别交AC ，BC ，
AM 于点E，F，G ．
(1)尺规作图：作BC 的垂直平分线l，并标出点E，F，
(
G 保留作图痕迹，不写作法) ；
(2)连接BE ，若
AGE
C
，求证：AG 垂直平分BE ．
23．（24-25 八年级上·广西百色·期末）如图所示，在
ABC
V
中，
10cm,
7cm
AC
BC
．
(1)尺规作图：作边AB 的垂直平分线DE 交AC 、AB 于D、E 两点．
(2)连接BD ，求
BCD
△
的周长．
24．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）如图，AB
AC
，AD
AE
，
DAC
EAB
．
(1)求证：BD
EC
．
(2)用直尺和圆规作图：过点A 作AF
BC
，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
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25．（24-25 八年级上·广东广州·期末）如图，在
ABC
V
中，
90
C
，
36
B
．
(1)尺规作图：作线段AB 的垂直平分线DE ，交BC 于点D，交AB 于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，连接AD ，求
CAD
的度数．
题型六利用角平分线的性质求解
26．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在
ABC
V
中，
7
AB
，
6
AC
，AD 平分
BAC
，DE
AC
于E ，
2
DE
，则
ABC
V
的面积为（
）
A．13
B．19
C．20
D．26
27．（22-23 八年级下·广东清远·期中）如图，在
ABC
V
中，CD 是AB 边上的高，BE 平分
ABC
，交CD 于
点E，已知，
8
BC ，
2
DE
，则BCE 的面积等于
．
28．（24-25 八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，
B
C
，
的平分线交于点O
OD
BC
，
于
D，如果
18cm
20cm
22cm
AB
BC
AC
，
，
，且三角形的面积
2
150cm
ABC
S
，那么OD 的长为（
）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．无法确定
29．（23-24 八年级上·山西长治·期末）如图，在Rt ABC 中，
90
C
，BD 平分
CBA
，交AC 于点D ，
DE
AB
于点E ，若
3
CD
，
12
AB
，则ABD 的面积为（
）
8 / 16
A．9
B．12
C．18
D．36
30．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点A 、B 分别是
NOP
、MOP
平分线上的点，AB
OP
于点E ，BC
MN
于点C ，AD
MN
于点D ，求证：AD
BC
AB
．
题型七角平分线的判定定理
31．（24-25 八年级上·湖北随州·期中）如图，在
ABC
V
中，点D 是BC 边的垂直平分线上的一点，DF
AB
，
DG
AC
，垂足分别为F，G，BF
CG
．求证：平分
BAC
．
32．（24-25 八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，四边形ABCD 中，
90
B
Ð
=
°，AB
CD
∥
，M 为BC 的
中点，AM 平分
BAD
．求证：
(1) DM 平分
ADC
；
(2) AD
AB
CD
．
33．
（24-25 八年级上·广东肇庆·期中）如图，PM
OA
于
,
M PN
OB
于
,
,
30
N PM
PN
BOC
则
AOB
（
）
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A．30
B．50
C．60
D．90
34．（24-25 八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角
ABC
V
的两条高
,
BD CE 相交于点O，且OB
OC
．
(1)求证：BE
CD
；
(2)求证：判断点O 是否在
BAC
的平分线上，并说明理由．
35．（23-24 八年级上·吉林白山·期末）如图，
ABC
V
中，
=90
ACB
，点D，E 分别在边BC
AC
，
上，
=
=
DE DB
DEC
B
，
．
(1)求证：AD 平分
BAC
；
(2)写出AE
AB
与AC 的数量关系，并说明理由．
题型八角平分线性质的实际应用
36．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，三条直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要
求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
）
A．一处
B．两处
C．三处
D．四处
37．（24-25 八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休
息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
．
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38．（24-25 八年级上·广东中山·期中）如图，AB ，AC ，BC 是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围
成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（
）
A．
ABC
V
三条角平分线的交点位置
B．
ABC
V
三条高的交点位置
C．
ABC
V
三边的中垂线的交点位置
D．
ABC
V
三条中线的交点位置
39．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加
油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位
置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)．
40．（2024 八年级上·全国·专题练习）如图，铁路OA和铁路OB 交于O 处，河道AB 与铁路分别交于A 处
和B 处，试在河岸上建一座水厂M，要求M 到铁路OA，OB 的距离相等，则该水厂M 应建在图中什么位
置？请在图中标出M 点的位置．
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一、单选题
1．（24-25 八年级上·安徽淮北·期中）下列命题的逆命题不成立的是（
）
A．等边对等角
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．三个角都是60的三角形是等边三角形
2．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，AD 是
ABC
V
中
BAC
的角平分线，DE
AB
于点E ，
若
ABC
V
的面积为7，
2
DE
，
4
AB
，则AC 长是（
）
12 / 16
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（24-25 八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，以点A 为圆心，适当长为半
径作弧，分别交AB ，AC 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心，大于1
2 DE 长为半径作弧，两弧在
CAB
的内部相交于点F，作射线AF 交BC 于点G．若
8
AB
，
3
CG
，则ABG 的面积是（
）
A．24
B．12
C．10
D．85
4．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
，BD 平分
ABC
，若
6
AD
，则
点D 到BC 的距离是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．（24-25 八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，DE 是AB 的垂直平分线，垂
足为E．若
1
DC ，
2
AD
，则BC 的长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（24-25 八年级上·山东德州·期中）下列说法正确的有（
）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等
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④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．（24-25 八年级上·广东深圳·期中）下列命题中，真命题的个数为（
）
①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条
直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（24-25 八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在
ABC
V
中，
90
C
，AD 平分
CAB
，
10
BC
，
:
3: 2
BD CD
，
15
AB
，则
ABD
△
的面积为（
）
A．20
B．25
C．30
D．45
9．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）如图，三角形ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D，交AB 于
点E，如果
6,
5
AC
BC
，则
BCD
△
的周长是（
）
A．13
B．11
C．12
D．9
10．（24-25 八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O 是
ABC
V
内一点，且点O 到三边的距离相等，
110
BOC
，则
A
的度数为（
）．
A．35
B．40
C．50
D．70
二、填空题
11．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，Rt
ABC
△
中，
90
C
，AD 平分
BAC
，交BC 于点D ，
10
AB
，
15
ABD
S
，则CD 的长为
．
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12．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，
2
3
AB
BC
，
，BD 是
ABC
的平分线，如
果
ABC
V
的面积为3
2 ，那么
DBC
△
的面积为
．
13．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，AB 的垂直平分线交AB 于点D，AC
于点E，连接BE ，如果
2
ABE
CBE
，那么
A
的度数是
．
14．（24-25 八年级上·上海闵行·阶段练习）△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交直线BC 于D 、E ，
且
150
BAC
DAE
，则
BAC
的度数
．
15．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这
个三角形是
．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在
ABC
V
中，D 为BC 的中点，DE
BC
交
BAC
的平分线
AE 于E ，EF
AB
于F ，EG
AC
交AC 延长线于G .
(1)求证：BF
CG
.
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(2)猜想AB 、AC 、AF 的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若
10cm
AB
，
6cm
AC
，则BF ________cm.
17．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）如图，在
ABC
V
中，
90
C
．
(1)尺规作图：作
ABC
的平分线交AC 于D ；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若
4
CD
，求点D 到边AB 的距离．
18．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，在
ABC
V
中，AB
CA
，
(1)利用尺规，作线段AB 的垂直平分线DE ，垂足为E，交AC 于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下
①当BC
AD
，求
A
的度数
②若
ABC
V
的面积是12，
4
BC
，点M、N 分别是BC 、DE 上的动点，求BN
NM
的最小值．
19．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）斜拉索桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的
桥梁上，它不用建造桥墩，为了保持受力平衡，要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等．如图所示，AB
和AC 表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点B 、C 处，已测出OA
BC
，BO
CO
，则该斜拉索桥
是否符合修建规定？说明你的理由．
20．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）请确定一个点P，使得点P 到AB 和BC 的距离相等，且满足它到点
A 和点C 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．）
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